考虑决策单元竞争合作动态变化的DEA博弈交叉效率方法

考虑决策单元竞争合作动态变化的DEA博弈交叉效率方法

张圣宗;巩在武

【摘 要】Using DEA to evaluate relative efficiency,DMUs (decision making

units) often needs to consider multiple competitive and

cooperative relationships between DMUs will also change with the change

of gh the traditional competitive and cooperative model

considers the situation that competition and cooperation between DMUs

occur simultaneously,it ignores the dynamic change of competition and

ing the competitive and cooperative strategy as the

importance of different objectives without the need for specifying the

exact assurance regions.%利用DEA方法进行相对效率评估时,决策单元通常需

要考虑多重目标,且随着目标的变化,决策单元间竞争合作状态也会发生动态变化.传

统竞合模型虽然考虑了决策单元间竞争与合作同时存在的现象,但忽视了竞争合作

关系动态变化的过程.本文以竞争合作对策为切入点,将多目标规划中的优先因子引

入传统DEA博弈交叉效率模型中,提出了带有优先等级的多目标DEA博弈交叉效

率模型,即动态竞合博弈交叉效率模型.该模型充分体现了不同目标下决策单元间竞

争合作关系的动态变化,其焦点由传统竞合模型对多重最优权重现象的改善,转向对

最优效率得分的直接寻找.利用DEA动态竞合博弈交叉效率模型,本文对环境污染约

束下2014年长三角地区制造业投入产出绩效进行了客观的评估.分析结果表

明:DEA动态竞合博弈交叉效率模型收敛速度优于传统DEA博弈交叉效率模型,其

交叉效率得分收敛于唯一的纳什均衡点;不同目标重要性的差异程度,对最终排名结

果不产生明显影响,不需要确切指出.

【期刊名称】《运筹与管理》

【年(卷),期】2017(026)005

【总页数】8页(P21-27,36)

【关键词】DEA;博弈;交叉效率;动态变化;竞争;合作

【作 者】张圣宗;巩在武

【作者单位】南京信息工程大学经济管理学院;中国制造业发展研究院,江苏南京

210044;南京信息工程大学经济管理学院;中国制造业发展研究院,江苏南京

210044

【正文语种】中 文

【中图分类】C934

由Charnes[1]发展起来的数据包络分析(DEA：data envelopment analysis)方法，

作为一种数学规划方法，被广泛应用于评价具有多投入多产出特征的决策单元相对

效率[2～4]。然而，传统DEA模型(如CCR模型)是纯自评模型，在最优权重选择

时，被评价决策单元仅追求自身效率最大化，导致不合理的极端权重。交叉效率理

论[5,6]利用决策单元之间的互评来代替传统DEA模型自我评价体系，使得被评价

决策单元效率得分不仅依赖于自身最优权重，也取决于其他决策单元的最优权重。

由于交叉效率能从全局最优的角度对决策单元进行完全排序，很快在许多DEA应

用中流行[7～9]。虽然交叉效率被证明能有效解决决策单元全排序问题，但仍存在

一些弊端，其中，交叉效率模型会因计算软件等因素的不同产生不唯一的交叉效率

得分。为改善多重最优权重现象，学者们引入二次目标，以被评价决策单元自身效

率最大化为前提，以最小化或最大化其他决策单元总效率为目标，提出进取型

(Aggressive Strategy)或仁慈型(Benevolent Strategy)两类二次目标交叉效率模

型。进取型模型或仁慈型模型能有效改善最优权重束的选择，但交叉效率得分不唯

一的现象仍然存在，且两类模型分别对应的应用场景还缺乏一个公认的学术准则，

降低了此类改进方法的有效性。此外，其他学者也提出不同的方法来缓解交叉效率

不唯一的问题[10～14]。其中，Banker R D[15]首次将DEA模型与博弈理论相结

合，考虑无约束二人零和有限博弈，对CCR模型做了新的解释。随后，Liang

L[16]将博弈理论与交叉效率结合，提出博弈交叉效率方法。该方法中，决策单元

被视为博弈中的参与者，交叉效率得分被看作收益。在非合作博弈立场中，被评价

决策单元在其他决策单元交叉效率不减约束下最大化自身收益。该文章详细论述了

获取最优博弈交叉效率得分的迭代算法，并证明非合作博弈交叉效率模型可以获得

纳什均衡解。

DEA博弈交叉效率模型弥补了交叉效率模型用于多属性综合评价时结果不唯一的

缺陷，并提升了评价结果的区分度和合理性，因此很快得到了广泛的应用。Wu J

采用DEA博弈交叉效率评价方法改良VRS(variable returns to scale)模型，并将

其应用于分析夏季奥运会排名中，指出金牌、银牌和铜牌的相对重要性不需要指定

某个特定的范围[17]。随后，Wu J 又通过延伸DEA博弈交叉效率模型对多目标决

策中的备选方案进行评估和排序[18]。Lotfi F H[19]和张启平[20]也分别对纳什讨

价还价博弈模型做了进一步的扩展。

上述研究无论在理论上还是在应用中，很少考虑决策单元之间同时存在竞争与合作

的复杂关系，而是简单地把所有决策单元看作盟友或敌对关系。在实际中，一些决

策单元之间表现出同盟或合作关系，而另一些决策单元之间则表现出敌对或竞争关

系。考虑到决策单元之间竞争与合作共存这一事实，孙加森提出两个不同的竞争合

作交叉效率模型，分别对应于不同的博弈应用问题[21]。Yang F 则提出一种竞合

DEA交叉效率方法，将所有决策单元分为若干组，各个决策单元的偏好权重能最

大化盟友的总效率而最小化敌对方的总效率[22]。上述两篇文章均考虑了决策单元

间竞争与合作同时存在的现象，以被评价决策单元自评所能实现的最大效率，并保

持这种效率不变为前提，寻找最大化盟友个体或总体效率而最小化敌对方个体或总

体效率的偏好权重。换句话说，这两篇文章关注点在于最优偏好权重的选取，实质

是对多重最优权重问题的改善，其交叉效率得分仍存在不唯一的现象。并且，被评

价决策单元在自评角度下所得到的最大效率过于理想，以保持这种效率不变为先决

条件，本身就不合理。上述模型虽考虑了决策单元间竞争与合作同时存在的现象，

但忽视了竞争与合作关系的动态变化过程。

实际中，决策单元在选择最优偏好权重时，通常需要考虑多重利益目标，且这些利

益目标之间具有不同的重要性，即优先等级。通常，只有当上一级利益目标处于稳

定状态(已实现)，下一级利益目标才得以考虑。考虑的利益目标不同，决策单元间

的竞争合作状态也可能发生变化。在某个决策单元选择最优偏好权重时，被评价决

策单元出于某种利益目标与其他一些决策单元结盟(所形成的群体称为同盟集合)。

当这一利益目标达到稳定状态后，被评价决策单元又将考虑次级重要的利益目标。

此时，在上一级利益目标与被评价决策单元为合作关系的决策单元，可能因为利益

立场的不同而产生分歧，导致同盟集合分裂成若干个子同盟集合(本文假设已成为

敌对关系的决策单元在今后不再结为盟友)。决策单元间的竞争合作关系发生动态

变化，形成新的竞合状态。依次类推，到最后一级利益目标时，被评价决策单元与

其他决策单元间仅存在竞争关系(其他决策单元间可能还存在合作关系)。由此可见，

随着利益目标的变化，决策单元间的竞争合作关系并不是某种固定状态，应是一个

动态变化的复杂过程。因此，合理的权重体系不仅要考虑不同的决策单元间的不同

关联关系，还应考虑这种关联关系的动态变化过程。

为了充分反映决策单元间竞争合作关系的动态变化，本文在DEA博弈交叉效率模

型的基础上，以竞争合作对策为切入点，引入多目标规划中的优先因子，提出了带

有优先等级的多目标DEA博弈交叉效率模型，即动态竞合博弈交叉效率模型。与

以往模型相比，动态竞合博弈交叉效率模型具有以下优点：

·引入多目标规划，并以优先因子刻画不同目标的重要性差异，充分体现不同利益

目标下决策单元间竞争合作关系的动态变化。

·该模型将决策单元所能实现的最优效率作为未知量参与计算，而不是以被评价决

策单元自评所能实现的最大效率，并保持这种效率不变为先决条件，其计算结果更

具合理性。

·该模型聚焦于最优交叉效率得分的寻找，而不是对多重最优权重引起的交叉效率

得分不唯一问题的改善。不管存在多重最优权重与否，其结果均收敛于唯一的纳什

均衡点，得到的博弈交叉效率得分是唯一的。

根据常规DEA模型，假设有n个城市，每个城市看作一个决策单元(DMU：

decision making unit)，其中DMUj(j=1,2,…,n)，投入m种不同的资源生产得到

s种不同的产出，DMUj的投入产出向量分别记作：

传统CCR模型如下：

基于竞争合作对策视角，本文将式(1)转换为式(2)：

min δd

其中ωid，μrd分别为投入和产出的权重。δd是一个偏移变量，表示DMUd的

产出与投入之间的距离，δd越小，DMUd的效率值越大。实验证明，多重最优权

重有可能造成模型(1)与模型(2)所计算的最优权重不相等，但无论最优权重唯一与

否，总有其中为模型(1)目标函数最优值为模型(2)目标函数最优值。

1.1 具有多级目标的DEA动态竞合模型

为了充分体现决策单元间竞争合作关系的动态变化，本文将多目标规划中的优先因

子引入模型(2)中，给予不同目标不同的重要性，并赋予逐级递减的优先因子(即上

一级目标重要程度始终高于下一级目标重要程度)，构建具有多级目标的DEA动态

竞合模型(模型(3)所示)。min p1(δ1-ε1)+…+pTd(δd-εTd)

其中，td=1,2,…,Td表示DMUd逐级考虑的目标，当td=Td时，DMUd与所有

其他决策单元仅存在竞争关系。通常d(d=1,2,…,n)的取值不同，Td取值可能不同

(具体表现形式在案例分析中将进行详细的阐述)。p1,p1,…,pTd表示对不同等级的

目标赋予的优先因子，且满足约束(3-7)，即目标的重要程度随td的增加呈递减趋

势，上一级目标的重要程度高于下一级目标的重要程度。(td=1,2,…,Td-1)表示考

虑第td级目标时，该集合里的所有决策单元与DMUd是合作关系(包括DMUd)。

当td=Td时，={DMUd}，即DMUd自身效率最大化(约束(3-4)所示)；

(td=1,2,…,Td)表示考虑第td级目标时，新增加的与DMUd为竞争关系的决策单

元组成的集合。δtd=(td=1,2,…,Td-1)表示考虑第td级目标时，同盟集合产出与

投入的距离，δd越小，同盟集合的总效率值越大(约束(3-2)所示)；

εtd(td=1,2,…,Td)表示考虑第td级目标时，敌对集合产出与投入的距离，-εtd越

小，敌对集合的总效率值越小(约束(3-3)、(3-5)所示)。为避免出现零权重，本文

引入一个非阿基米德无穷小量ξ(ξ>0)，确保每个投入和产出都能参与效率评估(约

束(3-8)所示)[23]。

求解模型(3)，可得DMUd的自评效率Edd=1-δd以及相对应的投入和产出最优

权重和本文定义DMUj基于DMUd的最优权重的交叉效率为：

DMUj(j=,12,…,n)交叉效率得分定义为：

1.2 具有多级目标的动态竞合博弈交叉效率模型

模型(3)在求解过程中往往存在多组最优权重，导致通过式(4)和式(5)计算的交叉效

率得分不唯一。根据Liang L[16]，本文将每个城市看作一个决策单元，并视为博

弈中的参与者。假设，在动态竞合博弈环境下，DMUj在最大化自身效率时，要

确保DMUd最优交叉效率得分不减小。具有多级目标的d-动态竞合博弈交叉效率

模型如下所示：

当然，在每个决策单元实现最优交叉效率得分前，我们不知道任何决策单元的最优

交叉效率得分，于是本文提出如下迭代过程来获得所有决策单元的最优交叉效率得

分：

(1) 求解模型(3)，并根据式(4)、(5)获得最初的交叉效率得分。令t=1，且

(2)代入并求解模型(6)，令更一般的情况是

(3)若对某些j(j=1,2,…,n)，||>ζ(ζ是一个给定的极小正常数), 则令并返回第二步继

续迭代。否则，对所有j(j=1,2,…,n)，均有||≤ζ，则停止计算便是整个博弈过程的

最优解。

长三角地区是中国经济最发达，综合实力最强的区域，对中国现代化建设和经济发

展转型具有重要的推动作用。2014年统计数据显示，长三角地区GDP为

128829.05亿元，占全国(636138.7 亿元)的20.25%，其中制造业总产值为

221576.7亿元，占长三角工业总产值(233785.88 亿 元)的94.78%。长三角地区

制造业发展是该地区工业化的驱动力和地区国民经济核心，但同时也带来严重的环

境污染。2014年长三角地区制造业废水排放量为45.708亿吨，占整个长三角地

区废水排放总量(118.932 亿吨)的38.48%，制造业二氧化硫排放量在长三角二氧

化硫排放总量中也占有相当高的比重，制造业发展的环境代价不容忽视。本节利用

本文提出的DEA动态竞合博弈交叉效率模型，对环境污染约束下长三角地区制造

业投入产出绩效进行分析，探究2014年长三角制造业发展现状。

根据文献[24 ～26]，本文构建表1所示指标。环境指标中，分别以废水排放量表

征水污染，以废气排放量、烟尘排放量及二氧化硫排放量表征大气污染，以废弃物

综合利用率来表征固体废弃物利用情况，以综合能源消耗量来表征能源消费状态。

根据长三角地区制造业发展实际情况及数据可行性，本文选择了长三角地区19个

城市进行分析，包括上海，江苏11市(南京、无锡、常州、扬州、苏州、连云港、

镇江、泰州、宿迁、南通、徐州)及浙江 7 市(杭州、宁波、绍兴、嘉兴、湖州、台

州、舟山)。本文数据来源于各市2015年统计年鉴。其中，废弃物综合利用率、

废水排放量、废气排放量、烟尘排放量及二氧化硫排放量均以工业为口径进行数据

收集，其余指标均以制造业为口径(上海综合能源消耗量以工业为口径)。为最小化

各地区因人口、行政区域面积等规模引起的差异，除废弃物综合利用率外，其余指

标均以各城市地区生产总值为分母进行处理。

根据第 1 节的理论，本节设定ξ=0.0001，ζ=0.0001，通过MATLAB R2012a对

长三角地区19个城市2014年环境污染约束下各地区制造业投入产出绩效进行评

估。在评估过程中，出于地域及隶属省(市)考虑，各地区先以省(市)为单位，构建

上海市、江苏省和浙江省三个同盟集合，形成省(市)内合作，省(市)外竞争的竞合

状态。并以最大化其所在省(市)总效率而最小化其他地区总效率为利益目标，即第

一级目标。当第一级目标处于平稳状态后，省内各地区便以自身效率最大化为新的

利益目标。利益目标变化导致江苏省和浙江省两个同盟集合破裂，形成省内各地区

相互竞争的新竞合状态。注意到，上海作为直辖市，考虑第一级目标便与所有其他

地区形成竞争关系，即TSH=1；而其他地区均要依次考虑两个等级目标才能形成

与其他地区间仅存在竞争关系的状态，即Tj=2,j≠SH(SH为上海)。

动态竞合博弈交叉效率模型取p1=10,p2=1。

表2所示为通过两种不同方法对环境污染约束下长三角地区制造业投入产出绩效

评估，博弈交叉效率模型[16]评估效率得分及排名如表2第3、4列所示； 动态竞

合博弈交叉效率模型评估效率得分及排名如表2第5、6列所示。就本文研究数据

而言，博弈交叉效率模型并不能实现全排序，其中上海、扬州、泰州、台州四个城

市交叉效率得分均为1，为DEA有效。相比而言，本文提出的动态竞合博弈交叉

效率模型，能实现决策单元全排序，且评价结果显示，环境污染约束下19个地区

制造业投入产出均无法达到DEA有效。动态竞合博弈交叉效率模型与博弈交叉效

率模型相比，交叉效率得分方面：除常州、南通有小幅度上升外，其余地区动态竞

合博弈交叉效率得分均小于博弈交叉效率得分。其中下降最明显的是苏州和绍兴，

分别从0.9398和0.8839减小到0.4761和0.4827；在排名上：常州、连云港、

南通分别上升10位、5位、4位，列第6名、第12名、第2名；上海、苏州、

泰州、绍兴分别下降3位、9位、6位、5位，列第4名、第17名、第7名、第

16名。波动较大的城市主要集中在江苏省，其原因可能是江苏省制造业发展水平

差异较大，呈现出苏南、苏中、苏北递减的趋势。由于上海不存在盟友，在动态竞

合环境下，排名有所下降。

动态竞合博弈交叉效率模型评价结果显示：

·环境污染制约下制造业投入产出绩效排名前四的地区分别是扬州、南通、台州和

上海，其中扬州和南通能耗及负向产出较少，正向产出具有很明显的优势，属于低

能耗、低污染、高产出的产业结构；台州和上海同样具有能耗及负向产出低的特点，

但单位地方总产值正向产出不足，属于低能耗、低污染、低产出的产业结构；而上

海正处于产业转型阶段，重心由传统制造业逐步向高新技术产业转移，但其在规模

与技术上仍处于领先地位，故环境污染约束下制造业投入产出绩效优势明显。

·环境污染制约下制造业投入产出绩效排名后四的地区依次为湖州、嘉兴、苏州和

绍兴，其中湖州和嘉兴各项投入及负向产出均偏高，而正向产出处于劣势，属于高

投入、高污染、低产出的产业结构；苏州和绍兴在正向产出上略有优势，但负向产

出较多，制造业发展的环境成本较大，属于高污染发展模式。

·常州制造业发展模式与其他地区均存在明显的差异，无论是投入、能耗还是正负

向产出，都明显高于其他地区。虽然绩效排名靠前，但发展模式完全是以高投入，

高能耗、高污染为代价换取高产出，这样的发展模式是不健康的。

·对长江沿岸而言，除上海外，环境污染约束下，长江以南各地区制造业投入产出

绩效均不如长江以北各地区。长江以南各地区虽然制造业发展水平较高，但其环境

成本也较高。

图1，图2分别为博弈交叉效率模型及动态竞合博弈交叉效率模型迭代过程(以上

海，省会城市南京和杭州，经济强市无锡、常州、苏州和宁波为对象)。正如Lang

L[16]所述，博弈交叉效率模型在迭代过程中表现出明显的规律性，即当t增加为

奇数时，效率得分减小；当t增加为偶数时，效率得分增大，最终收敛于唯一的纳

什均衡点。相比而言，动态竞合博弈交叉效率模型的迭代过程总体上呈现出递增的

趋势，当效率得分增加到一定程度，将在小范围内波动。最终收敛于唯一的纳什均

衡点，即各决策单元最优交叉效率得分。就本文研究数据而言，博弈交叉效率模型

经过18次迭代，所有决策单元才收敛于最终的纳什均衡点；而本文提出的动态竞

合博弈交叉效率模型经过9次迭代， 所有决策单元实现最终的平衡。动态竞合博

弈交叉效率模型的收敛速度远远优于博弈交叉效率模型的收敛速度。

同 Wu J[17]，本节对本文提出的模型随参数p1，p2取值的变化进行类似的灵敏

度分析，探究不同等级目标重要性之间的差异变化对评价结果的影响。为了测试不

同参数p1，p2取值下不同交叉效率得分排名结果的一致性，本节对不同参数p1，

p2取值对应的交叉效率得分进行了相关性分析，结果如表 3 所示。可以看出，这

些结果都表现出高度的相关性。在所有排名结果是完全独立的假设条件下，检验值

均为0.0000。也就是说，参数p1，p2不同取值下排名完全独立的假设被拒绝。

我们可以得出结论：参数p1，p2不同取值下排名结果是明显相关的。换而言之，

参数p1，p2的选择对最终排名影响较小。不同等级目标重要性的差异程度，对最

终排名结果不产生明显影响，不需要确切指出不同等级目标重要性的差异程度。

本文以竞争合作对策为切入点，将多目标规划中的优先因子引入传统DEA博弈交

叉效率模型中，提出了带有优先等级的多目标DEA博弈交叉效率模型，即动态竞

合博弈交叉效率模型。该模型充分考虑了不同利益目标下决策单元间竞争合作关系

的动态变化，并将决策单元所能实现的最优效率得分作为未知变量，以博弈迭代的

方式进行求解。其焦点由传统竞合模型对多重最优权重现象的改善，转向对最优效

率得分的直接寻找。不管是否存在多重最优权重，其交叉效率得分均收敛于唯一的

纳什均衡点。

利用DEA动态竞合博弈交叉效率模型，本文对环境污染约束下 2014 年长三角地

区制造业投入产出绩效进行了客观的评估。分析结果显示：长三角地区制造业发展

模式具有不同的特征。绩效排名前四的地区中，扬州和南通属于低能耗、低污染、

高产出的产业结构，而台州和上海属于低能耗、低污染、低产出的产业结构；投入

产出绩效后四名的地区中，湖州和嘉兴属于高投入、高污染、低产出的产业结构，

而苏州和绍兴属于高污染的发展模式；常州虽然投入产出绩效排名靠前，但其产业

结构是是以高投入、高能搞、高污染为代价来推动高产出；除上海外，长江以南各

地区投入产出绩效均不如长江以北各地区，长江以南各地区虽然制造业发展水平较

高，但环境成本不容忽视。

实证分析还表明，DEA动态竞合博弈交叉效率模型收敛速度优于传统DEA博弈交

叉效率模型。而不同等级的目标重要性的差异程度，对最终排名结果不产生明显影

响，不需要确切指出。

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