博弈论习题参考答案(2)

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《博弈论》习题参考答案（第2次作业）

一、选择题

1.B 2.C 3.A 4.A 5.B

7.C 8.B 9.C

二、判断正误并说明理由

1.F 上策均衡是比纳什均衡更严格的均衡概论

2.T 上策均衡是比纳什均衡更严格的均衡概论

3.T 博弈类型按局中人数多少分为单人博弈、双人博弈和多人博弈

4.F 博弈双方偏好存在差异的条件下，一个博弈模型中可能存在2个纳什均衡，

如性别战

5.T 零和博弈指参与博弈各方在严格竞争下，一方收益等于另一方损失，博弈

各方收益与损失之和恒为零，所以双方不存在合作可能性

6.T 上策均衡是通过严格下策消去法（重复剔除下策）所得到的占优策略，只

能有一个纳什均衡

7.F 纳什均衡是上策的集合，指在给定的别人策略情况下，博弈方总是选择

利益相对较大的策略，并不保证结果是最好的。

8.F 局中人总是以自己的利益最大化选择自己的策略，并不以对方收益的变

化为目标

9.T 纳什均衡是上策的集合，指在给定的别人策略情况下，没有人会改变自

己的策略而减低自己的收益

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10.F 局中人总是以自己的利益最大化选择自己的策略，并不以对方收益的变

化为目标

11.F 局中人总是以自己的利益最大化选择自己的策略，并不以对方收益的变

化为目标

12.T 虽然斯塔格伯格模型各方利润总和小于古诺模型，但是领导者的利润比

古诺模型时高

三、计算与分析题

1、 （1）画出A、B两企业的损益矩阵。

B企业

做广告 不做广告

做广告 20，8 25，2

A企业

不做广告 10，12 30，6

（2）求纯策略纳什均衡。

（做广告，做广告）

2、画出两企业的损益矩阵求纳什均衡。

（1）画出A、B两企业的损益矩阵

百事可乐

原价 涨价

原价 10，10 100，-30

可口可乐

涨价 -20，30 140，35

（2）求纳什均衡。

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两个：（原价，原价），（涨价，涨价）

3、假定某博弈的报酬矩阵如下：

乙

甲

左 右

上 a,b c,d

下 e,f g,h

(1)如果（上，左）是上策均衡，那么，a>?, b>?, g<?, f>?

答：a>e, b>d, f>h, g

(2)如果（上，左）是纳什均衡，上述哪几个不等式必须满足？

答：a>e, b>d

4、答：（1）将这一市场用囚徒困境的博弈加以表示。

北方航空公司

合作 竞争

合作 500000，500000 0，900000

新华航空公司

竞争 900000，0 60000，60000

（2）解释为什么均衡结果可能是两家公司都选择竞争性策略。

答：若新华选择“竞争”，则北方也会选择“竞争”（60000>0）；若新华选择

“合作”，北方仍会选择“竞争”（900000>500000）。

若北方选择“竞争”，新华也将选择“竞争”（60000>0）；若北方选择“合作”，

新华仍会选择“竞争”（900000>0）。

由于“竞争”为双方的占优策略，故均衡结果为两家公司都选择竞争性策略。

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5、博弈的收益矩阵如下表：

乙

左 右

上 a，b c，d

甲

下 e，f g，h

（1）如果（上，左）是占优策略均衡，则a、b、c、d、e、f、g、h之间必

然满足哪些关系？

答：从占优策略均衡的定义出发：

对甲而言，策略“上”（a,c）优于策略“下”（e,g）；

对乙而言，策略“左” （b,f）优于策略“右”(d,h)。

所以结论是：a>e, b>d, f>h, c>g

（2）如果（上，左）是纳什均衡，则（1）中的关系式哪些必须满足？

答：纳什均衡只需满足：a>e, b>d,

（3）如果（上，左）是上策均衡，那么它是否必定是纳什均衡？为什么？

答：占优策略均衡一定是纳什均衡，因为占优策略均衡的条件包含了纳什均

衡的条件。

（4）在什么情况下，纯策略纳什均衡不存在？

答：当对每一方来说，任意一种策略组合都不满足纳什均衡时，纯战略纳什

均衡就不存在。

7、求纳什均衡。

小猪

按 等

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按 5，1 4，4

大猪

等 9，-1 0，0

纳什均衡为：大猪“按”，小猪“等”，即（按，等）

6、

乙

低价 高价

低价 100，800 50，50

甲

高价 -20，-30 900，600

（1）有哪些结果是纳什均衡？

答：（低价，低价），（高价，高价）

（2）两厂商合作的结果是什么？

答：（高价，高价）

8、用反应函数法结合划线法，求出下列博弈的所有纯策略纳什均衡。

参与人2

甲 乙 丙 丁

参与

A 2,3 3,2 30

人1

,4 ,3

B 4,4 5,2 01

,1 ,2

C 3,1 4,1 11

,4 0,2

D 3,1 4,1 -1

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1,2 0,1

参与人1的反应函数：

R1(2)=B,若2选择甲

=B,若2选择乙

=A,若2选择丙

=C或D,若2选择丁

参与人2的反应函数：

R2(1)=丙,若2选择A

=甲,若2选择B

=丙,若2选择C

=丙,若2选择D

求共集，得纯策略纳什均衡为（B，甲）与（A，丙）

9、求出下面博弈的纳什均衡(含纯策略和混合策略)。

乙

甲

L R

U 5,0 0,8

D 2,6 4,5

解：（1）纯策略Nash均衡：由划线法可知，该矩阵博弈没有纯策略Nash均衡。

（2）混合策略Nash均衡

设甲选择“U”的概率为P1，则选择“D”的概率为1-P1

乙选择“L”的概率为P2，则选择“R”的概率为1-P2

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对甲而言，最佳策略是按一定的概率选“U”和“D”，使乙选择“L”和“R”的

期望值相等

即 P1*0+(1-P1)*6= P1*8+(1-P1)*5

解得 P1=1/9

即（1/9,8/9）按1/9概率选“U”、8/9概率选“D”为甲的混合策略Nash均衡

对乙而言，最佳策略是按一定的概率选“L”和“R”，使乙选择“U”和“D”的

期望值相等

即 P2*5+(1-P2)*0= P2*2+(1-P2)*4

解得 P2=4/7

即（4/7,3/7）按4/7概率选“L”、3/7概率选“R”为乙的混合策略Nash均衡

10、根据两人博弈的损益矩阵回答问题：

乙

甲

左 右

上 2,3 0,0

下 0,0 4,2

(1) 写出两人各自的全部策略。

答：全部策略：（上，左），（上，右），（下，左），（下，右）

(2) 找出该博弈的全部纯策略纳什均衡。

答：由划线法可知，该矩阵博弈全部纯策略Nash均衡为

（上，左）和（下，右）两个

(3) 求出该博弈的混合策略纳什均衡。

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解：设甲选择“上”的概率为P1，则选择“下”的概率为1-P1

乙选择“左”的概率为P2，则选择“右”的概率为1-P2

对甲而言，最佳策略是按一定的概率选“上”和“下”，使乙选择“左”和“右”

的期望值相等

即 P1*3+(1-P1)*0= P1*0+(1-P1)*2

解得 P1=2/5

即（2/5,3/5）按2/5概率选“上”、3/5概率选“下”为甲的混合策略Nash均衡

对乙而言，最佳策略是按一定的概率选“左”和“右”，使乙选择“上”和“下”

的期望值相等

即 P2*2+(1-P2)*0= P2*0+(1-P2)*4

解得 P2=2/3

即（2/3,1/3）按2/3概率选“左”、1/3概率选“右”为乙的混合策略Nash均衡

11、某寡头垄断市场上有两个厂商，总成本均为自身产量的20倍， 市场需求函

数为Q=200-P。

求：（1）若两个厂商同时决定产量，产量分别是多少？

（2）若两个厂商达成协议垄断市场，共同安排产量，则各自的利润情况如何？

（3）用该案例解释囚徒困境。

答：（1）由已知条件 Q=200-P，P=200-Q

TC1=20q1，TC2=20q2 q1+q2=Q

可得1,2厂商的利润函数分别为：

K1=Pq1-TC1=(200-(q1+q2))q1-20q1=180q1-q12-q1q2

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K2=Pq2-TC2=(200-(q1+q2))q2-20q2=180q2-q22-q1q2

令dK/dq1=0 得厂商1的反应函数为180-2Q1-Q2=0，

令dK/dq2=0 得厂商2的反应函数为180-Q1-2Q2=0，

联解可得q1=q2=60

K1=K2=3600

(2) 由已知条件 Q=200-P，P=200-Q

TC=TC1+TC2=20q1+20q2=20Q

可得1,2厂商的总利润函数为：

K=PQ-TC=(200-Q)Q-20Q=180Q-Q2

令dK/dQ=0 得 Q=90,q1=q2=45

K=PQ-TC=(200-Q)Q-20Q=180Q-Q2=8100

K1=K2=4050

(3) 将q1=45,q2=60 和q1=60,q2=45分别代入1,2厂商的利润函数

可得1,2厂商的利润为：

K1（q1=45,q2=60）=Pq1-TC1=(200-(q1+q2))q1-20q1=180q1-q12-q1q2=3375

K1（q1=60,q2=45）=Pq1-TC1=(200-(q1+q2))q1-20q1=180q1-q12-q1q2=4500

K2 (q1=45,q2=60)=Pq2-TC2=(200-(q1+q2))q2-20q2=180q2-q22-q1q2=4500

K1（q1=60,q2=45）=Pq1-TC1=(200-(q1+q2))q1-20q1=180q1-q12-q1q2=3375

厂商2

合作（q2=45） 不合作（q2=60）

合作（q1=45） 4050，4050 3375，4500

厂商1

不合作（q1=60） 4500，3375 3600，3600

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根据划线法，可得厂商1.2的上策是（不合作，不合作）即（3600,3600）

双方利润均低于（合作，合作）（4050,4050）显然它属于“囚徒困境”

13、（市场威慑）考虑下面一个动态博弈：首先，在一个市场上潜在的进入者选

择是否进入，然后市场上的已有企业（在位者）选择是否与新企业展开竞争。在

位者可能有两种类型，温柔型（左图）和残酷型（右图），回答下面问题。

在位者在位者

进入进入

进入者进入者

默许默许

（20，30） （10，20）

斗争斗争

（-10，0） （-10，25）

不进入不进入

.

（0，100） （0，100）

左图：温柔型 右图：残酷型

（1）找出给定在位者的两种类型所分别对应的纳什均衡，以及子博弈精炼纳什

均衡

（1）温柔型在位者的纳什均衡为 (进入, 默认)

残酷型在位者的纳什均衡为 (不进入, （进入，斗争）)

（2）已有企业为温柔型的概率至少多少时，新企业才愿意进入？

20p10(1p)0

得到p1/3

四、论述题

1、解释“囚犯困境”，并举商业案例说明。

（1）假设条件举例：两囚徒被指控是一宗罪案的同案犯。他们被分别关在不同

的牢房无法互通信息。各囚徒都被要求坦白罪行。如果两囚徒都坦白，各将被判

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入狱5年；如果两人都不坦白，两囚徒可以期望被从轻发落入狱2年；如果一个

囚徒坦白而另一个囚徒不坦白，坦白的这个囚徒就只需入狱1年，而不坦白的囚

徒将被判入狱10年。

（2）囚徒困境的策略矩阵表。每个囚徒都有两种策略：坦白或不坦白。表中的

数字分别代表囚徒甲和乙的得益。

囚徒乙

坦白 不坦白

囚徒甲 坦白 -5， -5 -1， -10

不坦白 -10， -1 -2， -2

（3）分析：通过划线法可知：在囚徒困境这个模型中，纳什均衡就是双方都“坦

白”。给定甲坦白的情况下，乙的最优策略是坦白；给定乙坦白的情况下，甲的

最优策略也是坦白。而且这里双方都坦白不仅是纳什均衡，而且是一个上策均衡，

即不论对方如何选择，个人的最优选择是坦白。其结果是双方都坦白。

（4）商业案例：寡头垄断厂商经常发现它们自己处于一种囚徒的困境。当寡头

厂商选择产量时，如果寡头厂商们联合起来形成卡特尔，选择垄断利润最大化产

量，每个厂商都可以得到更多的利润。但卡特尔协定不是一个纳什均衡，因为给

定双方遵守协议的情况下，每个厂商都想增加生产，结果是每个厂商都只得到纳

什均衡产量的利润，它远小于卡特尔产量下的利润。

2、解释并讨论古诺的双寡头模型的纳什均衡。为什么其均衡是一种囚徒困境？

见上课笔记

或计算题第11题

3、用“小偷与守卫的博弈”说明“激励（监管）悖论”。

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（1）假设条件举例：偷窃和防止偷窃是小偷和门卫之间进行博弈的一场游戏。

门卫可以不睡觉，或者睡觉。小偷可以采取偷、不偷两种策略。如果小偷知道门

卫睡觉，他的最佳选择就是偷；如果门卫不睡觉，他最好还是不偷。对于门卫，

如果他知道小偷想偷，他的最佳选择是不睡觉，如果小偷采取不偷，自己最好去

睡觉。

（2）小偷与门卫的支付矩阵表（假定小偷在门卫睡觉时一定偷成功，在门卫不

睡觉时偷一定会被抓住）：

门卫

睡觉 不睡觉

小偷 偷 1，-1 -2, 0

不偷 0, 2 0, 0

（3）分析：通过划线法可知：这个博弈是没有纳什均衡的。门卫不睡觉，小偷

不偷，双方都没有收益也没有损失；门卫不睡觉，小偷偷，门卫因为是本职工作

得不到奖励，小偷被判刑丧失效用2单位；门卫睡觉，小偷不偷，门卫睡觉的很

愉快得到效用2单位，小偷没有收益也没有损失；门卫睡觉，小偷偷，门卫因失

职被处分而丧失效用1单位，小偷偷窃成功获得效用1单位。

（4）“激励（监管）悖论”说明：现实中，我们看到，当门卫不睡觉时，偷窃分

子便收敛一阵；严打的时期一过，偷窃分子又开始兴风作浪，在不能容忍小偷过

分猖狂的时候，门卫不得不再次开始认真。即偷的小偷越多，那么不睡觉的门卫

将会越多，偷的小偷越少，不睡觉的门卫将越少；反过来，不睡觉的门卫越多，

偷的小偷就越少，不睡觉的门卫越少，偷的小偷就越多。如果偷窃集团倾巢出动，

那么门卫的选择也是全部不睡觉，但门卫一旦全部不睡觉，小偷最好选择全部不

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偷，小偷一旦选择全部不偷，门卫最好全部选择睡觉。

（5）结论：加重对小偷的处罚在长期中并不能抑制偷窃（而只能使门卫偷懒）；

加重处罚失职门卫恰恰是会降低偷窃发生的概率。这种门卫和小偷的博弈所揭示

的，政策目标和政策结果之间的这种意外关系，常被称为“激励的悖论”。

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