车辐式结构找形分析的逐点去约束法

第４２卷第２期

西 安 建 筑 科 技 大 学 学 报（自然科学版）

Ｖｏ１．４２ Ｎｏ．２

２０１０年４月

Ｊ．Ｘｉ ａｎ Ｕｎｉｖ．ｏｆ Ａｒｃｈ．８Ｌ Ｔｅｃｈ．（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）

Ａｐｒ．２０１０

车辐式结构找形分析的逐点去约束法

田广宇，郭彦林，王 昆

（清华大学土木工程系，北京１０００８４）

摘要：车辐式结构是一种双层索系的柔性结构，需要通过找形分析确定结构的初始预应力态．与索膜、索网

结构等柔性结构不同，车辐式结构的找形分析不是用给定的预应力值寻找结构位形，而是从给定的位形出发

求解可能存在的预应力分布情况．目前已有的找形方法有平衡矩阵理论、力密度法、动力松弛法、非线性有限

元法等．除了非线性有限元法外，其他方法都难以直接通过通用有限元软件进行找形分析．本文在平衡矩阵理

论的基础上，将车辐式结构整体找形问题转化为针对每个节点处３个索杆单元的计算．通过使每个节点在预

应力作用下达到设计位形，求出结构初始应力态的预应力分布．这种方法不但能够直接用于有限元软件的计

算，还能够判定结构的初始应力态是否存在． ．

关键词：车辐式结构；找形分析；平衡矩阵理论；非线性有限元；逐点去约束法

中图分类号：ＴＵ３９４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００６—７９３０（２０１０）０２—０ｌ５３一Ｏ６

车辐式结构是一种双层索系的柔性结构．与其他柔性结构相同，寻找合理的初始应力态是其设计的

主要内容之一，即找形分析．与索膜、索网结构不同，车辐式结构找形分析一般是从给定的位形出发寻找

可能实现这一位形的预应力分布情况．

已有的找形方法中，平衡矩阵理论Ｅ１－４ｊ、力密度法嘲、动力松弛法 用于索杆张力结构时，都无法借

助通用有限元软件进行计算．非线性有限元虽然可以用于通用有限元软件，但是针对这一方法的研究主

要集中在索膜结构和索网结构的找形分析上，对车辐式结构的研究较少．

本文所提出的逐点去约束法，正是针对车辐式结构专门研究的一种找力分析方法．它之所以能够简

便地实现找力分析，与车辐式结构独特的拓扑关系相关．

１ 逐点去约束法找形分析

１．１基本原理

平衡矩阵理论口 “ ］的基本方程是式（１）：ＡＴ＝Ｐ （１）

其中：Ａ为平衡矩阵；Ｔ为构件内力；Ｐ为外力产生的等效节点力向量．式（１）实质上是每个节点处内力

与外力互相平衡的方程．平衡矩阵Ａ的数学特性，如秩、子空间等，反映了结构的几何和力学特性．但是

此方程是针对结构整体进行分析的．矩阵Ａ是每个节点处所有杆件方向向量的集成矩阵．获得平衡矩

阵Ａ的过程较为复杂，现有的通用有限元软件ＡＮＳＹＳ等无法直接给出平衡矩阵Ａ，需要其他较为专业

的软件或自己编程．

车辐式结构的基本单元——索桁架是平面受力的．通过内外环将各榀索桁架联系在一起，共同参与

空间受力．每一榀索桁架上除了与内外环相连的节点，其他节点处都只与３个构件相连（１根撑杆或１

根连接索与２根弦索），承受平面内荷载．本文称之为一个“基本单元”（图ｌａ）．如果每个基本单元中的３

个构件的内力连同外荷载能够相互平衡，并使得节点处于设计坐标，那么将所有构件的内力集成到式

（１）中的向量Ｔ时，式（１）也是自然满足的．此时，这些构件的内力就是初始应力态的预应力．

图１６所示的基本单元中，节点１在索１、索２和撑杆的内力Ｆ 、Ｆ 和Ｆ。以及外荷载Ｐ的作用下

收稿日期：２００９—１１－ｌ２ 修改藕日期：２０１０—０２—０４

作者简介：田广字（１９８４一），男．陕西兴平人，博士研究生，主要从事钢结构研究

１５４ 西安建筑科技大学学报（自然科学版） 第４２卷

，

！ １ 三

．

。２ 只

ｒｙｐｅ ２

Ｎｏｄｅ４

（ａ）Ｔｗｏ ｋｉｎｄｓ ｏｆｂａｓｉｃ ｅｌｅｍｅｎｔ

（ｂ）Ｂａｓｉｃｅｌｅｍｅｎｔｗｉｔｈｌｏａｄｓ

图１基本单元及其受力情况

Ｆｉｇ．１ Ｂａｓｉｃ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎｄ ｉｔｓ ｌｏａｄｓ

达到设计位形．作为简化，以撑杆所在的方向为Ｙ轴建立坐标系．建立节点平衡方程，写成矩阵形式为

式（２）．其中Ｐ。和Ｐ。为荷载Ｐ分别在ｚ轴和Ｙ轴的分量（图中未画出），０ 和０２是索ｌ和索２与 轴

正方向的夹角．

ｃ ｏ

ｓ ０１ Ｃ Ｏ

０ ．¨

坩

ｉｎ

ｉｎ

ｒｃｏｓ０１ ｃｏｓ０２ ０ Ｐｌ

Ａ—Ｉ ｛

８０ ２；］匡３ ］一［； ］

ＣＯＳＯｚ

ｓｉｎ０ｚ

，●＿●＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿●＿＿ＪＪ●●＿●－●Ｉ

Ｏ １

１●●Ｊ

一

（２）

Ａ

ｒ●●●●Ｌ

Ｃ Ｓ

（４）

【 ｌ

Ｆ—ＥＦ ，Ｆ。，Ｆ。］ ＋ａ［ ， ，Ｆ ］ （５）

０ Ｏ

１●●Ｊ

—．． ．．．．．．．Ｌ

ｌ ｌ

当Ｐ不为零时，式（２）是一个非齐次线性方程组，其系数矩阵记做Ａ（式３）．Ａ为２×３的矩阵，其秩

为２．式（２）的增广矩阵记做 （式４）， 的秩也为２．根据求解线性方程组的理论 ，该方程的通解可表

嘲

达成式（５）的形式．其中，由于向量［Ｆ ，Ｆ ，Ｆ。］ 是式（２）的一个特解，向量［ ，Ｆ ， 。］ 是式（６）的基础

解系．式（６）为式（２）对应的齐次线性方程组，也就是式（２）中外荷载向量Ｐ为零的情况．ａ为任意实数，

本文中称之为组合系数．式（６）的基础解系表示为式（７）．

｛ ，Ｆ一ｚ，一Ｆ３｝ 一｛ ， ，１｝ （７）

，

６

任何一组满足式（７）比例关系的力向量［Ｆ ，Ｆ ，Ｆ。］ 施加到节点１，在外荷载Ｐ＝０的条件下，节点

１都将保持平衡．这一组比例关系叫做这个基本单元的自应力模态＿１ ．

对于式（２）而言，设其有两个不同的特解ＥＦ ，Ｆ ，Ｆ。］ 与［Ｆ ，Ｆ ，Ｆ 。］ ．这两个特解之差为［△Ｆ ，

△Ｆ２，△Ｆ３］ 满足：

△Ｆｌ：ＡＦ２：ＡＦ３一Ｆ１：Ｆ２：Ｆ３ （８）

这也是线性代数的基本理论 可以获得的结论．

需要说明的是，车辐式结构内环处的节点上连有４个构件（２根内环索，ｌ根弦索，１个飞柱），虽然

与图１所示的基本单元不同，但是其承受的是空间３个方向的荷载，列出节点平衡方程的话，系数矩阵

为３×４的矩阵，秩为３．其解的情况与式（２）一致．

应用有限元软件ＡＮＳＹＳ针对图１的基本单元求解时，软件无法直接求解式（２），而是求解式（９）

（ＫＥ＋ＫＧ）Ｕ－－Ｆ。＋Ｐ＋Ｒ （９）

其中：Ｋ 为结构的弹性刚度矩阵；Ｋ。为几何刚度矩阵；Ｕ是节点位移向量；Ｆ。和Ｐ分别是构件预应力

和外荷载在节点处的等效节点力向量；Ｒ是求解过程中由于位移ｕ的高阶项产生的不平衡力向量．其

中Ｋ 与构件的预应力、节点坐标以及弹性模量相关．

可以使用位移迭代法或者力迭代法通过多次求解式（９）获得式（２）的解．位移迭代法和力迭代法的

具体计算过程分别见文献Ｅ１０３和文献［１１］，本文不再熬述。无论是位移迭代法，对于只有三个索杆单元

第２期 田广字等：车辐式结构找形分析的逐点去约束法 １５５

的简卓结构而言，收敛速度是非常快的，但是随着单元数目的增加，结构形式的复杂化，迭代的次数将变

得很大，收敛速度将变得很慢，尤其是迭代初始条件（迭代起始预应力）与最终平衡状态（在迭代完成以

前是无法知道的）相差较大时，计算代价非常大，甚至可能在某些迭代步骤中造成结构刚度矩阵奇异，无

法继续计算。

因此本文发展了逐点去约束法．如前所述，它的基本思想就是将整体结构的迭代计算分解为若干个

基本单元的迭代计算．每个单元内，节点在构件的预应力和外荷载作用下达到了设计位形，那么整个结

构在这些杆件的预应力和外荷载作用下也将达到设计位形．本文以下将多次使用“多余约束”一词，该词

指的是在找形计算过程中人为施加的约束，而不是结构本身的边界约束条件．

１．２找形过程

以图２ａ所示的索桁架为例说明找形过程．如果各索的设计位形和预应力是合理的，那么在预应力

和外荷载Ｐ的作用下，结构会达到图２ａ所示状态．

（ａ）Ｃａｂｌｅ ｔＹＩＩＳ￥ （ｂ）Ｓｔｅｐ １ （ｃ）Ｓｔｅｐ２

图２找形过程

Ｆｉｇ．２ Ｆｏｒｍ ｆｉｎｄｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ

具体步骤如下：

（１）首先去掉节点５处的约束，如图２ｂ所示．给单元４、５和１４赋予初始内力，通过位移迭代法或者

力迭代法可以求出当节点５位于设计坐标时，单元４、５和１４的内力分别为 、 和Ｆ１ （上标表示第

一

次去掉约束进行求解，下标表示单元号，下同）．

（２）去掉节点４处的约束，同时恢复节点５的约束．因为节点４与节点５都与单元４相连，为了让求

解节点４的过程不影响已完成的节点５的平衡，需要利用生死单元技术“杀死”单元４，同时将单元４的

内力 施加给节点４，如图２ｃ所示．此时可以求出单元３和单元１３的内力 和 。（由于单元４被

“杀死”，本次求解得到其内力）．

（３）逐步消除其他各点的约束．每个单元的两端分别有一个约束，故每个单元都要经历２次去掉约

束的过程．其中，去掉第一个节点的多余约束时，该单元处于“激活”状态，去掉第二个节点的多余约束

时，该单元处于“杀死”状态．处于激活状态时求出的杆件内力就是式（２）的特解．

（４）将外荷载Ｐ去掉，重复上述步骤（１）至步骤（３），即可获得式（６）的基础解系．与式（２）的特解叠

加后就是式（２）的通解．

调整组合系数，可以使得求解上弦各节点和下弦各节点得到的飞柱预应力相同．这时可能会出现某

根连接索在分别求解上下弦节点时获得的预应力不同的情况．例如，求解上弦节点得到的飞柱和连接索

内力依次为Ｆ Ｆ 。、Ｆ 和Ｆ 求解下弦节点得到的飞柱和连接索内力依次为Ｆ Ｆ 。、Ｆ 和Ｆ ｍ如

果Ｆ ≠Ｆ （或Ｆ 。≠Ｆ 或Ｆ ＃－Ｆ ），那么可以判定该几何位形是不合理的，在任何预应力作用下

都无法实现该位形．这时需要对结构的几何位形进行修正．修正的方法可以参考文献Ｅ１３］．

２ 算 例

２．１算例１：平面索桁架分析

文献［１２］中的算例如图３所示．除了单元７和８为撑杆以外，其他单元均为拉索．索的截面积为

２８．２７４ ３ １Ｔｉｍ ，弹性模量为１．８０×１０５ ＭＰａ．杆的截面积为７．０６８ ６ ｍｍ ，弹性模量为２．Ｏ６×１０５ ＭＰａ．

１５６ 西安建筑科技大学学报（自然科学版） 第４２卷

不考虑自重时求解自应力模态，见文献［１２—１３－］，本文不再

赘述．自应力模态见表１．这一组内力比是式（６）的基础解

系．

考虑自重时，对结构进行找形分析．按照表２第所示的

迭代起始内力逐点去掉多余约束，计算节点在设计位形时 图３ 算例２索桁架示意图ｍ

的单元内力，得到表２的所示迭代终止内力．这一组内力值

是式（２）的一组特解．求解上弦节点２、４时得到的是飞柱和

Ｆｉｇ．３ Ｃａｂｌｅ ｔｒｕｓｓ ｏｌ Ｅｘａｍｐｌｅ ２［Ｉ２］

上半部分索的内力，求解下弦节点３、５时得到的是飞柱和下半部分索的内力．这两部分将取不同的组合

系数ａ．对于上半部分索，取ａ ：一７３９；对于下半部分索，取ａ。＝一１７２ ４．按照式（５）将表ｌ与表２的解

叠加，得到表３的预应力值．与文献Ｅ１２－１的结果相比，预应力值是一致的．表１中的ＰＩＦ代指内力比

（Ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ）．表２中的ＳＩＦ代指迭代起始内力（Ｓｔａｒｔｉｎｇ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ），ＥＩＦ代指迭代

终止内力（Ｅｎｄｉｎｇ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ）．

裹１ 自应力模态 表２单元内力表／ｋＮ

Ｔａｂ．１ Ｓｅｌｆ ｓｔｒｅｓｓ ｍｏｄｅ

Ｔａｂ．２ Ｉｎｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ／ｋＮ Ｔａｂ．３ Ｉｎｉｉａｌｔ ｓｔｒｅｓｓ

裹３初始预应力衰／ｋＮ

ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ／ｋＮ

Ｒｅｍｏｖｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ ｏｆ Ｎｏｄｅ ２＆４ Ｒｅｍｏｖｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ ｏｆ Ｎｏｄｅ ２＆４ ＩＥｌｅｍｅｎｔ Ｐｒｅ－ｓｔｒｅｓ，，

Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｅ｜ｅｍｅｎｔ ＥｌＦ ＰＩＦ Ｅｌｅｍｅｎｔ ＰＩＦ ＳＩＦ ＥＩＦ Ｅ｜ｅｍｅｎｔ ＳＩＦ １ ４．０８２

１ １ —７４．１４７３ ０．４０８ ７ ７ ３ ３．９６ —０．０９９ ５３０．６６ ３０５．６４７ ９ —１１８．８

３ ３ —７４．１４７３ ０．３９６ ８ ８ ５ ４．０８２ —０．０９９ ３９．６１ ２９６．５２２ —３９６

５ ５ ０．４０８ ２ ４．Ｉ７９ １ ３８７．８８ ３０５．６４７ ９

Ｒｅｍｏｖｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ ｏｆ Ｎｏｄｅ ３ ８ ５ Ｒｅｍｏｖｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ ｏｆ Ｎｏｄｅ ３＆５ ４ ４．０５４

Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｅ｜ｅｍｅｎｔ ＥＩＦ ６ ４．１７９ ＰＩＦ Ｅｌｅｍｅｎｔ ＰＩＦ ＳＩＦ ＥＩＦ Ｅｌｅｍｅｎｔ ＳＩＦ

２ ２ ７ —１．００２ ０．４０８ ７ ７ —０．０９９ ５３０．６６ ７０７．７９２ ６ —１１８．８—１７１．６５３ ３

４ ４ ８ —１．００２ ０．３９６ ８ ８ —０．Ｏ９９ ３９．６１ ６８６．６５９ ８ —３９６ —１７１．６５３ ３

６ ６ ０．４０８ ｌ ３８７．８８ ７０７．７９２ ８

２．２算例２：深圳宝安区体育场车辐式结构优化

深圳市宝安区体育场屋盖为马鞍型车辐式结构（图４），平面投影为椭圆形，直径２３０ ｍ×２３７ ｍ．屋

盖由３６榀索桁架组成，索桁架跨度５４ ｍ．图５ｂ为轴线１处索桁架示意图和整个屋盖轴线编号图．索桁

架的节点１连接在箱型界面的外环梁上，另一端节点９和节点１８通过柔性的上下环索连接．构件９—１Ｏ、

ｌ８—１９分布表示上下环索．上下环索之间的飞柱（构件９—１８）高度为１８ ｍ．上下弦索之间为连接索（即构

件２—１Ｏ，３—１１，等等）．

１０

１９

（ａ）ＢａｏａｎＳｔａｄｉｕｍ Ｃｏ）Ｎｕｍｂｅｒｓｏｆｎｏｄｅｓ ａｎｄａｘｅｓ

图４ 深圳宝安体育场

Ｆｉｇ．４ Ｓｈｅｎｚｈｅｎ Ｂａｏａｎ Ｓｔａｄｉｕｍ

应用逐点去约束法求解盖结构的初始预应力，可以发挥通用有限元软件ＡＮＳＹＳ的参数化分析优

势，对所有的索桁架同步分析．分析过程为，对各榀索桁架同步依次放松节点９至节点２、节点１８至节

第２期 田广宇等：车辐式结构找形分析的逐点去约束法 １５７

点１１处的约束，便可以求出结构的初始预应力值，如表４所示．它们与设计预应力值的最大误差仅

１‰．可见利用本文的逐点去约束法找形获得结果是非常准确的．

表４初始预应力值／ｋＮ

Ｔａｂ．４ Ｉｎｉｔｉａｌ ｐｒｅ—ｓｔｒｅｓｓ／ｋＮ

结 语

本文在平衡矩阵理论的基础上，将车辐式结构的整体找形分析转化为针对单个节点的计算，形成逐

点去约束法．用本方法可以在通用有限元软件上对车辐式结构进行找力分析，并能够判定结构的几何位

形是否合理．本方法应用于深圳宝安体育场屋盖的车辐式结构找形分析中，与设计预应力值一致．

车辐式结构在大跨度体育场馆中应用较多，本方法可以直接应用通用有限元软件进行求解，为工程

设计提供了一种便捷的方法．

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Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ ｒｅｍｏｖａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｆｏｒｍ—ｆｉｎｄｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ

ｏｆ ｓｐｏｋｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ

ＴＩＡＮ Ｇｕａｎｇ—ｙｕ，ＧＵＯ Ｙａｎ—ｌｉｎ，ＷＡＮＧ Ｋｕｎ

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔｓｉｎｇｈｕａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００８４，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｐｏｋｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ａｒｅ ｋｉｎｄ ｏｆ ｄｏｕｂｌｅ—ｌａｙｅｒ ｃａｂｌｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，ｗｈｏｓｅ ｉｎｉｔｉａｌ ｓｔｒｅｓｓ ｓｔａｔｅ ｉｓ ａｃｈｉｅｖｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ｆｏｒｍ－

ｆｉｎｄｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ．Ｆｏｒｍ－ｆｉｎｄｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｓｐｏｋｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ｆｏｒ ｆｉｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｄｒｅ—ｓｔｒｅｓｓ ａｃｃｏｒｄ—

ｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎｅｄ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｏｍ ｃａｂｌｅ￣ｍｅｍｂｒａｎｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｏｒ ｃａｂｌｅ－ｎｅｔ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．ｗｈｏｓｅ ｆｏｒｍ—

ｆｉｎｄｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｔｏ ｇｅｔ ｔｈｅ ｓｈａｐｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｍｂｒａｎｅ ｏｒ ｃａｂｌｅ－ｎｅｔ ｕｎｄｅｒ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｐｒｅ—ｓｔｒｅｓｓ

．

Ｅｘｃｅｐｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｉ—

ｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ，ｏｔｈｅｒ ｍｅｔｈｏｄｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｍａｔｒｉｘ ｔｈｅｏｒｙ，ｆｏｒｃｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ｍｅｔｈｏｄ，ｄｙｎａｍｉｃ ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ

ｃａｎ ｎｏｔ ｂｅ ｕｓｅｄ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｉｎ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｓｏｆｔｗａｒｅ

．

Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｍａｔｒｉｘ ｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｔｒａｎｓ—

ｆｏｒｍｓ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ｆｏｒｍ—ｆｉｎｄｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｓｐｏｋｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｔｏ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ａｎ ｏｎｅ—ｐｏｉｎｔ—ｔｈｒｅｅ－ｅ１ｅｍｅｎｔ ｓｕｂｓｔｒｕｃ—

ｔｕｒｅ’ａｓ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ ｒｅｍｏｖａｌ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｂｅ ｕｓｅｄ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｓｏｆｔｗａｒｅ，ｂｕｔ ａｌ一

．

ｓｏ ｉｎ ｊ ｕｄｇｉｎｇ ｗｈｅｔｈｅｒ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ ｓｔｒｅｓｓ ｓｔａｔｅ ｅｘｉｓｔｓ ｏｒ ｎｏｔ．

Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｐｏｋｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ；／．０ｒ ｆｉｎｄｉｎｇ；ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｍａｔｒｉｘ ｔｈｅｏｒｙ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ；ｃｏｎｓｔｒａｉ ｔｓ ｒｅｍ０ｒｅｄ

ｍｅｔｈｏｄ

Ｂｉｏｇｒａｐｈｙ：ＴＩＡＮ Ｇｕａｎｇ—ｙｕ，Ｃａｎｄｉｄａｔｅ ｆｏｒ Ｐｈ．Ｄ．，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００８４，Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ，Ｔｅｌ ００８６—１０—６２７８８１２４，Ｅ－ｍａｉｌ：ｔｇｙ０７＠ｍａｉｌｓ

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ｔｈｕ．

ｅｄｕ．ｃｎ ‘