高中数学_基本不等式(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思

《基本不等式》教学设计

一、教学目标

1. 知识与技能：了解基本不等式的几何背景，探索基本不等式的证明

过程，会用基本不等式解决简单最大（小）值问题。

2. 过程与方法：进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不

等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。

3. 情感态度与价值观：培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能

力，培养学生形成数形结合的思想意识。

二、教学重难点

1. 教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探

索基本不等式的证明过程，基本不等式在实际问题中的应用。

2. 教学难点：用基本不等式求最大值和最小值。

三、教材分析

最新版教材之所以把“基本不等式”前置是经过了学习的重要性与可

能性两方面的综合考量。相比旧教材，“基本不等式”的教材地位与

教学要求都发生的变化，由于“基本不等式”本身内涵非常丰富，其

学习过程不可能一蹴而就，“反复认知，螺旋上升”才是课堂教学的

有效策略。

四、学情分析

本节课针对的是高一年级学生，知识上，刚系统学完了不等式性质，

一元二次不等式，在初中阶段，也了解了数学家赵爽“弦图”推出勾

股定理，圆的垂径定理，算数平均数、几何平均数。方法上，能够运

用数形结合和化归的思想提炼基本不等式，阐述基本不等式的几何意

义。能力上，运用作差法，综合法能从数量关系上进行逻辑推理验证

基本不等式。

五、教学方法

1、借助“折纸游戏”，从特殊到一般的猜想，发现基本不等式（数学

抽象、直观想象）。

2、探索基本不等式的证明过程，会用作差比较法、综合法，分析法，

证明基本不等式（逻辑推理、数学运算、直观想象）。

3、从不同角度理解基本不等式（直观想象）。

4、感知与基本不等式相近一些不等式的证明（逻辑推理、数学运算）。

师生活动： 设计意图：

【新课导入】

教师：同学们，上节课我们从赵爽的弦图中推导出重要不

等式，让我们一起来回顾一下。通过比较四个直角三角形和其

拼接而成的正方形的面积大小，我们获得了结论：任意a,b属由简单

22

于R，有，当且仅当a=b时，等号成立。除了这种

ab2ab

问题引入，通

几何的证明方式，我们能否从代数的角度给出证明呢，哪位同

过数学知识

学来说一下？

学生：比较法，做差得到大小关系。

的内部提出

问题。培养学

教师：非常好请坐。那现在我们来思考一个问题，如果用

生自主学习

根a,b代替式子中的a和b，会得出什么样的结论呢？

学生：

ab2ab

教师:那这个结论是如何得到的，又有哪些要求呢，下面

让我们通过一个折纸游戏来探究一下。

【探索新知】

教师：请同学们看我手中的两个正方形，面积分别是a和

b，沿对角线对折后，得到两个三角形，则这个大三角形的面

能力，灵活运

用已学知识，

体会证明的

答题过程。

积是？

学生齐答：a/2

教师：小三角形的面积是？

学生齐答：b/2 用折纸

教师：三角形的腰分别是？ 游戏、代数

学生齐答：根号a和根号b 法、几何法分

教师：现在请同学们小组互助动手尝试，看如何拼接翻折别得到基本

得到一个长是根号a宽是根号b的矩形。 不等式的证

（学生上台演示） 明过程，分析

教师：让我们对比这两个三角形的面积之和与矩形的面并理解。培养

积，能得到什么不等关系？ 学生分析问

ab

ab

学生：

2

题的能力，感

受发现问题

和推导过程

让学生

主动观察、思

考、讨论的氛

教师：历史上，在实际的生产生活中得到了一些数学结论，

后经数学家们的严格证明得到了数学公式和定理，你能否利用

代数的方法得到这个结论

学生：比较法，做差得到大小关系。

教师：很好，那么我们得到的这个不等关系就称作基本不

等式（板书）

基本不等式文字语言可叙述为：两个正数的算术平均数不

小于它们的几何平均数.

教师：接下来，让我们共同探究，能否利用几何的方法证

明基本不等式。观察这个以直径为一边、圆内接的一个三角形。

如何用a,b表示OD？

学生：

OD

ab

2

如何用a,b表示CD？ 围.在教师的

学生：

DCab

观察OD和DC，他们有什么不等关系？

指导下，一方

面让学生经

历从特殊到

ab

ab

学生：ODDC，，显然，当且仅当点C与圆心重



2

合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.

一般，从已知

到未知，步步

教师：圆的半径长不小于半弦长，这就是基本不等式的几

深入的过程。

何意义。

培养学生分

教师：让我们一起来回顾一下，类比重要不等式，我们从

析问题的能

代数和几何两个方法证明了基本不等式.在我们应用它之前，

力，感受发现

ab

ab

问题和推导

2

再对着黑板认识一遍：首先.a,b大于0得到...注意

当且仅当a=b时等号成立。

【例题应用】

1

x

下面我们学以致用看一下例题1:已知，求的最小

x0

x

过程。

值.

教师：类比基本不等式，这道题中的a是

学生：x

教师：b是

1

学生：

x

x

1

x

大于等于 教师：那么

培养学

生自主学习

1

2x·

学生：

x

教师：我们发现结果x刚好

学生：消去了 能力，灵活运

教师：得到定值 用已学知识，

学生：2 体会证明的

教师：当且仅当 答题过程

学生：时等号成立

x

1

x

教师：这时我们得到的是

学生：最小值2

教师：好的，我们类比这道例题完成三个变式，这里请三

位同学上来板书

变式1：已知，求的最小值.

x0

变式2：已知，求的最大值.

x0

变式3：已知，求的最小值.

x1

2x

1

x

x

1

x

1

x1

x

教师：我们看变式3，如果时，最值还是这个答案吗

x4

学生：不是

教师：原因是什么

学生：当且仅当的相等

教师：所以我们运用基本不等式求最值的条件可以总结为

学生：一正、二定、三相等

教师：观察我们例1和变式，我们发现在利用基本不等式

后两正数之积为定值，这时我们能求出两正数之和的最小值，

那么我们是否可以得到结论：

让我们一起来证明一下

证明：x0,y0,xy

xy

2

(1)当积xy等于定值P时，即xyP

xy

P,

2

xy2P,

当且仅当xy时，上式等号成立，

当xy时，和xy有最小值2P

这里我们得到了第一个模型：

学生：积确定和有最小值

教师：那么当和确定时我们能获得什么结论呢？

学生：积最小

教师：那让我们类比第一问，证明第二问

(1) 如果积xy等于定值P，那么当xy时,和xy有最小值2P;

1

(2)如果和xy等于定值S，那么当xy时,积xy有最大值S.

2

4

（学生答案投影并讲解）

教师：这里我们得到了第二个模型

学生：和确定积有最大值

教师：让我们利用两个模型完成练习，并总结出两个结论

（1）已知a0,b0,ab10,当__________时，和ab取得最小值__________;

（2）已知a0,b0,ab9,当___________时，积ab取得最大值__________。

【归纳总结】

学生对本节课小结，教师作补充。

本节课通过重要不等式类比学习了基本不等式，通过代

数、几何两种方法证明。

利用基本不等式求最值

基本不等式的两个模型：积定和最小，和定积最大

通过数形结合的思想，理解“形少数时难入微，数缺形时

少直观”

【课堂小测】

学生三分钟限时小测，学生对答案，解决问题。

1.判断对错：

(1) x,yR,则xy2xy. ( )

1

的最小值为2a. ( )(2)当a0时，a

2

a

1

(3)若x2,则x的最小值是2. ( )

x

1

(4)若x0,则x的最大值是-2. ( )

x

3

(5)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．( )



a＋b

2



. ( ) (6)若a>0，b>0，则ab≤

2



1

2.如果a>0，那么a＋＋2的最小值是( )

a

A．2 B．22 C．3 D．4

【作业布置】

A层：课本46页1.2.3，48页1.2

B层：课本46页4（尝试一题多解），48页5

《基本不等式》学情分析

本节课针对的是高一年级学生，知识上，刚系统学完了不等式性

质，一元二次不等式，在初中阶段，也了解了数学家赵爽“弦图”推

出勾股定理，圆的垂径定理，算数平均数、几何平均数。方法上，能

够运用数形结合和化归的思想提炼基本不等式，阐述基本不等式的几

何意义。能力上，运用作差法，综合法能从数量关系上进行逻辑推理

验证基本不等式。

《基本不等式》效果分析

基本不等式”虽然表现出很多“基本”的属性，但实际上基本不

等式蕴含了丰富背景与内涵，需要深入挖掘；在运用其解决最值问题

时也并非只要抓住“一正二定三等”就可以了，很大程度上依赖于变

形化简的技巧，需要花时间去掌握。因此，学生对数学知识的理解并

不是一蹴而就的，尤其是面对数学一些核心概念、重要的定理与公式，

一般需要经历从简单到复杂、从具体到抽象、由低级到高级，在已有

理解基础上扩展、深化的反复认知过程。正是基于这个基本认知规律

的考量，新教材对“基本不等式”采用了“螺旋上升”的设计策略，

整块内容被分为两节，前后知识内容虽然有适当的重复，但在学习要

求上逐步提高，并使后面的内容成为前面内容的扩展和深化，从而使

教材体现出一个“因袭与扩张”相融合的学习进程。

《基本不等式》教材分析

最新版教材之所以把“基本不等式”前置是经过了学习的重要性

与可能性两方面的综合考量。相比旧教材，“基本不等式”的教材地

位与教学要求都发生的变化，由于“基本不等式”本身内涵非常丰富，

其学习过程不可能一蹴而就，“反复认知，螺旋上升”才是课堂教学

的有效策略。

本节在前面研究不等式的性质的基础上，展开了对一种具体的不

等式——基本不等式的研究。研究基本不等式的定义、几何解释、证

明方法与应用。基本不等式与学生在初中学过的乘法公式有类似的作

用，乘法公式能够简化某些特殊形式的代数式的恒等变形，而基本不

等式使解决满足一定条件的代数式的最值问题有路可循。

基本不等式可以通过许多有趣的方式建立起来，本节从重要不等

式、（上一节由第24 届国际数学家大会的会标中抽象得出）说起，

取这个不等式的特殊形式，完成推导过程。教学中可以借助上一节的

会标图形，帮助学生从直观上理解a与b是否相等与不等式a2十b²

≥2ab取什么符号之间的关系。

接下来，教科书阐述了基本不等式的代数解释，这不仅有利于加

深学生对基本不等式的理解，而且与学生已有的平均数概念建立了联

系，便于学生记忆这个不等式。

此外，教科书在本课时的练习和习题安排了利用基本不等式求代

数式的最大值或最小值的变式练习，如第46页"练习"的第4题，习

题2.2的第1 题的第（1）小题，是通过变形构造两个正数的和为定

值或积为定值的问题。教学中可以根据给定代数式的形式，结合基本

不等式的使用条件，引导学生对代数式进行变形。对于这类问题，教

科书有意控制了这种变式问题的难度，设置的问题都是通过简单变形

就符合基本不等式应用条件的问题。教学中也要注意本部分内容的教

学重点是"能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题"。

例1是用基本不等式求代数式最小值问题中的最简情形.教科书

在解决问题之前，先解释了求代数式最小值的含义，在本例之后，还

强调了代数式的最小值必须是代数式能取到的值.本例的解答则从所

求代数式与基本不等式在形式上的联系入手，教学中可以用"一正、

二定、三相等"这种通俗易懂的语言帮助学生理解和记忆能应用基本

不等式解决问题的特点。

例2让学生用基本不等式证明两类最值问题。教科书设置例2的

目的，一是在例1的基础上再给出一道直接利用基本不等式证明数学

问题的例题;二是借此题的题干给出了利用基本不等式解决问题的两

个数学模型，根据这两个数学模型可知，有两类最值问题可以用基本

不等式解决，即"两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，它

们的和有最小值"和"两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，

它们的积有最大值"，这就为第二课时解决例3，例4埋下了伏笔。

《基本不等式》课后反思

基本不等式虽然表现出很多“基本”的属性，但实际上蕴含了丰

富背景与内涵，需要深入挖掘，结合学生自己已有的经验和知识，类

比重要不等式证明的两个方法，让学生经历了概念概括的过程，从具

体到一般的推广过程，发展了学生理性的思维能力，树立了敢于批判

质疑的意识，形成勇于探究思考的习惯。在运用其解决最值问题时也

并非只要抓住“一正二定三等”就可以了，很大程度上依赖于变形化

简的技巧，需要花时间去掌握。因此，学生对数学知识的理解并不是

一蹴而就的，尤其是面对数学一些核心概念、重要的定理与公式，一

般需要经历从简单到复杂、从具体到抽象、由低级到高级，在已有理

解基础上扩展、深化的反复认知过程。正是基于这个基本认知规律的

考量，新教材对“基本不等式”采用了“螺旋上升”的设计策略，整

块内容被分为两节，前后知识内容虽然有适当的重复，但在学习要求

上逐步提高，并使后面的内容成为前面内容的扩展和深化，从而使教

材体现出一个“因袭与扩张”相融合的学习进程。

在本次赛课的准备阶段经过一次次的琢磨、改正、调整，我在专

业上得到了进步，不仅对本节课有了更深的理解和把握，同时也加强

了我的教学基本功。在今后的授课当中，也要本着“整合、精简、建

构，提高”的方向去努力，提高我的教学能力。

《基本不等式》评测练习

【例1】已知，求的最小值.

x0

x

1

x

变式1：已知，求的最小值.

x0

变式2：已知，求的最大值.

x0

变式3：已知，求的最小值.

x1

2x

1

x

x

1

x

1

x1

x

【例2】已知x，y都是正数，求证：

(1) 如果积xy等于定值P，那么当xy时,和xy有最小值2P;

1

(2)如果和xy等于定值S，那么当xy时,积xy有最大值S.

2

4

练习：

（1）已知a0,b0,ab10,当__________时，和ab取得最小值__________;

（2）已知a0,b0,ab9,当___________时，积ab取得最大值__________。

当堂检测

1. 判断对错：

(1) x,yR,则xy2xy. ( )

1

(2)当a0时，a的最小值为2a. ( )

2

a

1

(3)若x2,则x的最小值是2. ( )

x

1

(4)若x0,则x的最大值是-2. ( )

x

3

(5)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．( )



a＋b

2



. ( ) (6)若a>0，b>0，则ab≤



2

1

2.如果a>0，那么a＋＋2的最小值是( )

a

A．2 B．22 C．3 D．4

作业布置

A层：课本46页1.2.3，48页1.2

B层：课本46页4（尝试一题多解），48页5

《基本不等式》课标分析

六、教学目标

4. 知识与技能：了解基本不等式的几何背景，探索基本不等式的证明

过程，会用基本不等式解决简单最大（小）值问题。

5. 过程与方法：进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不

等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。

6. 情感态度与价值观：培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能

力，培养学生形成数形结合的思想意识。

七、教学重难点

3. 教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探

索基本不等式的证明过程，基本不等式在实际问题中的应用。

4. 教学难点：用基本不等式求最大值和最小值。