何天成:从高联到IMO金牌,超详细数学竞赛学习方法(一)

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何天成：从高联到IMO金牌，超详细数学竞赛学习方法（一）

本文作者何天成，第58届国际数学奥林匹克（IMO）金

牌获得者，华南师大附中2017届毕业生，北京大学数学科

学学院2017级新生。本文首发于数学新星网。作者非常详

细地阐述了从高联一试/二试，到参加CMO，国家集训队，走

向IMO，各级竞赛的心路历程和学习方法，对于参加竞赛的

同学具有非常大的指导意义，因为篇幅较长，故分为三篇分

享给大家。请看过的同学温故知新，没看过的同学一定要认

真做好笔记，满满的干货~正文如下：2017年7月，我有幸

作为中国国家队的一员参加了第 58 届国际中学生数学奥

林匹克竞赛（ IMO ) ，并获得了一枚金牌。回顾六年竞赛

之路，我从开始的一个懵懂无知的新人，一路上经历了不少

挫折，走了不少弯路，在跌跌撞撞中算是摸索出了自己的一

套学习竞赛的方法，最后的结局也是幸运的。而正是这份幸

运，让我觉得有责任把自己学习数学竞赛的经验与心得分享

出来，希望后来者能吸取我的经验和教训，找到自己的不足，

并更好地看清未来。

引 言对于一场考试，我喜欢用以下 3 个参数来衡量最终

的分数：最终分数=实力分 x 运气分 x 状态分。其中实力，

运气，状态均为非负实数。

这里，“实力”顾名思义，尽管不好量化，但是一般来说实

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力相差很大还是能看出来的。

“运气”主要代表“题目是否对路”，比如一个擅长几何的

选手参加一场几何送分的考试，当然运气分较低；而参加一

场几何难度他刚刚好能做出来的考试，运气分就比较高了。

当然，运气分是取决于考试本身的，可以认为主观上不能改

变它，但是在集训队这样的多次考试中，平均下来，运气会

比较稳定；并且，我们可以用比如“补短板”或者“狂刷一

科”等方法改变运气分的波动大小。另一方面的运气来自于

改卷，即能不能得到预想中的分数，这一点理论上来说也是

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的赌博，比如就想联赛做出俩题混一等奖，然后狂刷代数与

几何之类的。我对这种方法不予评价，但反正我自己的经历

是，凡是赌博的情况都必输，实力不到说啥都没用，不如按

部就班的来，读者可以自己考虑实力不够的时候的做法。

第二点大概就是关于过程的书写，事实上，很多人对自己的

过程非常有自信。如果你批改过其他人的过程，总会觉得“这

啥意思啊？搞了半天都不知道想干啥”或者“这里一句话带

过根本就不显然嘛”。一般来说，过程写不好有两种：如果

你讲都讲不清楚，那么可能是语文学的不好，请回炉再造；

如果跟别人讲思路的时候别人可以理解，但是过程写不好的

话，可能是没有掌握好写过程的技巧。写过程的主要目的有

两个：一是要准确，不能让老师误解你的意思；二是要通俗

易懂，节省老师的时间，让老师能够比较容易get到你的过

程的脉络。

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而第二点其实容易被忽视。我经常看到有些过程一路往下

推，密密麻麻一大堆，又不知道他想干什么；语言又完全用

的是集合的方法，全都是定义和运算，让人摸不着头脑。这

时候，一旦出现一些笔误，很有可能老师就“如释重负”地

圈起来给0分了。这就像写一篇议论文，要是你一直举例子

不立论，当然不会给高分。

这就需要把证明的脉络清晰地刻画出来，常见的连词有：证

明分为如下几步、下面证明一个引理（结论）、我们断言（证

明）以下结论、我们只需证明如下结论即可证明此题等。这

样的好处是，如果你断言的关键步骤恰好是答案中的步骤，

或者老师知道是对的，那么老师就大致知道你做出来，只需

验证一下细节即可；就算你的证明出现了一些漏洞，老师也

能知道你做出了什么，会更容易得到步骤分。

当然，还有一个大大增加可读性的方法：画图。特别是组合

题，很多组合题用代数语言表达很繁琐，不易找到重点，也

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扯西扯，然后说证毕——做不出来就做不出嘛，要承认自己

就是在混分，至于能给几分就看你做了什么结论了；但总有

一些人不会做就瞎搞一通然后证毕。这样的人多了，就加大

了老师判卷子的难度，就会连累一些“好人”。反正我觉得，

要是明知道是错的还写证毕，绝对是败人品的行为。

状态方面，我觉得有两点：一是平时加强模拟考试——模拟

考试绝对不仅仅指的是做一套题那么简单！我觉得模拟考试

要起到效果，必须完完全全地模拟真实的情况。特别是 4、

5 小时的考试，很多人只是开始两个小时上三板斧，然后消

极怠工，这其实一点效果都没有。真实考试有 4、5小时呢，

要是平时这么模拟，真实考试的最后 2 个小时难道你就能

继续保持极高的做题状态吗？二是平时做题最好“认真对

待”，两天的考试可以带一些心理负担，这样真正考 CMO这

样的考试万一面对第一天考试失利，就不会心理太崩盘。

各级竞赛 一全国高中数学联赛

全国高中数学联赛是高中竞赛的第一步，但其实也是不确定

性最大的一步。不同的省份有不同的联赛的备考攻略。如果

你来自一些超级联赛强省，比如上海、浙江等，那么你的一

试水平一定要过硬，因为正常的年份很可能会出现很多人二

试并列拼一试的情况；但如果是中等的省份，就拿广东举例

吧，在大部分年份二试 3 题＋ 一试 90 分可以进省队，并

且二试 2 题的话几乎进不了省队，所以其实只需要做“适

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当”的一试练习，然后把重点放在二试上。

注意，这里的“ x 题”指的是最终得分，不同的省改卷严

格程度不一，但是一般来说，被判错是少数，并且很有可能

是自己的问题（有些人经常写伪证自己看不出来，或者写过

程水平太差确实没法看，却自我感觉良好），所以在备考的

过程中要训练自己的书写，要尽量写的严谨、工整，避免被

判错；但至于最终结果要是还是被判错了，也没办法啊，尽

力而为，问心无愧。

由于联赛的考场很多，并且各地规则不一，请尽量熟悉自己

将去到的考场与考试细则，并在考前做好充足的准备，避免

出现考试之外的问题。笔者在参加联赛的过程中曾经遇到过

以下问题（都是血的教训啊） :

考场偏僻，当天起的很早赶赴考场，很疲倦；考场空调直吹，

极冷；教室很大，老师发卷不及时，导致开考 5 分钟才拿

到卷子；考试要求换草稿纸（收一张给一张）；洗手间较少，

要等很久等等。总之，在考试之前，一定要做好充分的准备，

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考试结束后再想，在考试的时候一定要保证“分数最大化”，

该跳过的题就跳过，这样在真正的联赛中才不容易手忙脚

乱。

联赛有一个不太好的地方：答题的区域非常小，尤其是二试

第一题，要是想到了一个很复杂的方法，有可能要挖掉一大

半第二题的空间才能写下。因此在模拟的过程中也要注意这

一点千万千万不能写错！在考场上若是发现写了一大半的过

程都是错的，修正思路很长，真是欲哭无泪……不差这几分

钟，要想好了再写，多花点时间写，表达尽量清楚，因为联

赛时间紧。还有一个问题就是如何快速写出合要求的过程，

这也是需要平时训练的。很可能最后留给一试最后一题的时

间只有 5 分钟了，如果你快速读完题目后直接开始写，抓

得分点，说不定最后能有 10 分。

总之，模拟考试的最高境界就是“平时如考试，考试如平时”。

平时训练的过程中一定要计时作答，做不出来的题也要写上

已得到的结论，完全模拟考试的状态。同时，在一试二试都

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概就是所谓的“90分”标准。我个人认为90分应该是适当

训练可以达到的，而且在训练得当的情况下，基本可以保证

拿到这个分数。当然，我的训练其实不多，（因为前而说的

弱省原因），但是也不算少。首先，如果你刚学高中竞赛，

对一试的知识点掌握的还不透彻，那么大概还是需要把套路

过一遍的——这个过程有点像准备高考，但是要求更高。如

果有教练当然极好，让教练帮着补补就好了；如果自学的话，

大概需要做一些题。一试我能想到的问题大概是下面的这些

东西：

解析几何，其实来来回回方法就那么几种：设直线方程配合

韦达定理，设点，设参数方程；还有稍高级的方法，比如几

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次曲线之类的嘛，那么比如把 x , y 坐标平方乘系数加加

减减说不定就全部消掉了。

当然，做解析多了之后，要总结经验，在花了一定时间做不

下去，一定要赶紧止损，换个方法，说不定不费很大力气就

做出来了。最后，要记住，验证平行坐标轴的情况。

数列技术含量稍高，不过绝大多数数列问题都是可以用局部

不等式或者裂项做出来的。少数有高级技巧，比如积分估计，

三角函数换元之类的。个人觉得数列其实难度很难估测，有

的题目确实有难度。当然，就联赛的真题来看，数列题目并

没有很多模拟题那么难，需要注意的是一定不能着急的瞎放

缩，要多变形 ——绝大部分的数列都是用代数变形后裂项

做出的。

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然后做几个题试试手感，之后就再也不会为立体几何担心

啦！

剩下的题目，算是其他题目吧，其实套路也有不少，需要大

量练习，通过练习逐渐学会一些技巧。每个人都是从 30 分

做到100分的嘛，开始不要着急，如果遇到完全没有办法的

题目可以适当想想暂时跳过，记住答案里面的关键点，在下

一次见到类似的方法时不要忘记就好。

一般来说，在经过至多一年的学习，一试水平大概就可以达

到“90分”目标，偶尔能全对，但也可能算错很多题划水。

这个时候，基础的东西都学会了，剩下的提分点就在考试的

状态上了。关于一试的时间分配，我个人的习惯是，30 分

钟做完填空题，然后一道一道地做大题（前两个大题大约做

10到 15分钟，最后二个比较难的话就一直做），但是最后

至少留下 10 分钟检查。我觉得在练习的过程中找到自己熟

悉的节奏很重要，并且考试的时候要严格执行之前的策略，

不要为了贪最后一个题目放弃检查（当然，如果你的习惯是

不检查，也可以）。

我推荐在至少离考试还有 2 个月的时候开始进行一试模拟

训练，大概每 2 到 3 天做一套计时的一试题。开始的时候

肯定状态不会太好，容易算错，但是经过比较长的熟悉之后，

在离考试将近一个月左右的时候应该问题就不大了。但是状

态还是要继续保持，如果突然出现状态特别差，不要疲劳作

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战，可以先休息调整一下再仔细分析在考试过程中出现的时

间分配问题（错的多的情况往往是因为花了过多时间做难题

导致时间分配不均）。

2

二 试

联赛不确定性最大的地方，大概就在于二试。

我认为联赛二试是数学竞赛中最不容易稳定发挥的考试。时

间太短导致随机性很大，尽管题目一般本质不算太难，却也

都有关键的步骤。从二试到之后的“大题”训练是数学竞赛

的重点，不过好在联赛二试的题目，说难也不难，相对 CMO

等之后的考试而言套路比较少。个人认为有集训队实力的同

学应该做联赛二试的题目不会很困难，具体的专题训练写在

之后了。

这里只提一点联赛二试要注意的问题：联赛二试时间确实很

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关于具体的答题，我觉得最要注意的就是不能“超纲”了。

有些人在培训中得到了很多很强的结论和性质，但是在联赛

中，要谨慎使用，最好给出证明（也可以留个空位，看情况，

有时间最后补）。特别的，几何题非常不推荐用复数法，重

心坐标！不到万不得己，不要采用这几个方法（当然，要是

真的不行就死马当活马医吧）。

反正，要是有分，你要庆幸；要是没分，不要怨改卷老师。

这些“高级”方法或多或少需要用到一些考纲外的性质，可

能会扣分；并且计算法解几何出现笔误其实很正常。联赛几

何，一般来说最好算的方法是三角，可以多练练三角计算（当

然，纯几何也是要练习的）。（未完待续...）

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