频域BLMS算法

第５章频域白适应滤波技术抗窄带干扰

（５－２７）可知：ｋ。取决于礼。。所以，当输入信号相关矩阵的特征值分散时，ＢＬＭＳ算法的

收敛性能很差。

５．２．２算法的稳态误差和失调系数

引入失调系数Ｓ来描绘算法的稳态误差咨对最小误差氛１。的相对偏差，有

、＿全鲍

氛，｝

一ｐｆＬ兄一ｓ 尸客凡

其中，凡为输入信号相关矩阵的特征值。上式也可用输入功率表示：

‘二ＰＬ。一Ｂ ＭＰＰＭＰ．

由此可知：自适应滤波器的阶数越高，权值更新步长越大；输入信号功率越大，就使得失

调系数越大，即算法的稳态误差越大。

５． ２． ３ ＢＬＭＳ算法小结

ＢＬＭＳ算法由于其并行处理的作用，使得其和标准ＬＭＳ算法相比较，运算速度更快。而

且，在同等条件下，山于步长因子ｐ的减小，使得稳态误差相对于标准ＬＭＳ算法来说要小

的多。但在输入信号相关矩阵的特征值分散程度比较大的情况下，ＢＬＭＳ算法的收敛性能本

来很差，而在收敛范围内，对步长因子ｋ的限制越大，即尸取值越小，算法收敛速度越慢。

因此，在抑制大功率多窄带干扰时，ＢＬＭＳ算法同标准ＡＳ算法一样，存在局限性。

５．３频域ＢＬＭＳ算法

由于ＢＬＭＳ算法的输出和梯度分别是线性卷积和线性相关函数的运算，可用快速傅里叶

变换（ＦＦＴ）实现。利用ＦＦＴ变换和重叠保留法，Ｆｅｒｒａｒａ提出了频域ＢＬＭＳ算法１４５１。该算法

能够获得很好的处理效率，有利于抗干扰系统的实时实现。

５．３． １线性卷积与线性相关的ＦＦ丁算法

在频域ＢＵＭＳ算法中，要利用ＦＦＴ算法来完成线性卷积和线性相关的运算，即利用圆

周卷积和圆周相关来代替线性卷积和线性相关，常称之为快速卷积和快速相关１４６１。并由

此引出了重叠相加法和重叠保留法。

首先介绍四个公式，分别为线性卷积，圆周卷积，线性相关，圆周相关。

，，（。）一艺ｘ， （Ｍ）Ｘ，（一）

０‘ｎ ＿＜Ｎ，＋ＮＺ一２

（５－３１）

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尸

ｌ

ｅｓ

ｅｓ

ｅｓ

ｅｓ

ｅｓ

Ｌ

Ｉ ｘ２ （ｍ）ｘ， （（ｎ一，））、ＪＲ，（ｎ） ０：ｎ、Ｎ一‘

Ｊ‘ 、

．

２ Ｒ

（５－３２）

ｒ󰀀： （ｍ）＝艺ｘ２＇（ｎ）ｘ，（ｎ ＋ ｍ）。＜ｍ‘、＋Ｎ２一２

ｎ＝０

Ｎ－１

ｒ，ｘｓ，， （ｍ）＝艺ｘ２＇（ｎ）ｘ， （（ｎ＋ｍ））ＮＲＮ（ｍ） ０＜＿ｍ：Ｎ一Ｉ

若是线性卷积和线性相关时，设ｘ， （ｎ）是长度为Ｎ，的有限长序列（０＜＿ｎ＿＜Ｎ，一１）

ｘ２（ｎ）是长度为Ｎ２的有限长序列（０＜＿ｎ：５ Ｎ２一１），若是圆周卷积和圆周相关时，设ｘ， （ｎ） ，

ｘ２ （ｎ）都是长度全为Ｎ的有限长序列（０＜＜ｎ＜＿Ｎ一１）。而根据离散傅立叶变换的性质可知，

圆周卷积与圆周相关具有以下性质：

其中，Ｘ， （ｋ） ＝ＤＦＴ［ｘ， （ｎ）］ ， Ｘ２ （ｋ） ＝ＤＦＴ［ｘ２ （ｎ）］ ， Ｒ，ｕ． ｘ２ （ｋ）一ＤＦＴ［ｒＲ，．ｘ， （ｍ）］ ，

ＹＲ （ｋ） ＝ ＤＦＴ［ＹＲ （ｎ）］。由上面两式可知：时域圆周卷积与圆周旧关在频域上相当于两序列

ＤＦＴ的相乘。因此，可以采用ＤＦＴ的快速算法一快速傅立叶变换（ＦＦＴ）算法来计算圆周运

算。但是，一般实际问题都涉及到线性卷积、线性相关运算，那么是否能用圆周运算代替

线性运算是解决这一问题的关键。

经过研究，我们发现：若将序列ｘ， （ｎ） ， ｘ２ （ｎ）进行如下延拓后，线性运算等于圆周运

算（注：Ｎ？Ｎ，＋Ｎ２一１），即：若

ｘ， （ｎ）二

介

扣

队尸林

四

ｘ， （ｎ）

这样，利用式（４－３２）和（４－３３），在一定条件下，就可方便、简洁的求出线性卷积与线性相

关。

ｙ ｎ

－－

ｘ２ （ｎ）＝

Ｙ， （ｎ）＝ＹＲ（ｎ）＝ＩＤＦＴ［Ｘｉ （ｋ）Ｘ２ （ｋ）］

ｒ ，，， （ｍ）＝、，，（，）＝ＩＤＦＴ［Ｘ， （ｋ）Ｘ２＇ （ｋ）］

（５－３３）

（５－３４）

珠（ ｋ）＝Ｘ， （ｋ）Ｘ２ （ｋ） （５－３５）

Ｒ， ｚ，．ｘ２ （ｋ）＝Ｘ， （ｋ）Ｘ２＇ （ｋ） （５－３６）

０‘ｎ‘Ｎ，一１

Ｎ，‘ｎ‘Ｎ一１

（ｎ） ０‘ｎ‘Ｎ：一１

ＮＺ‘ｎ＜ ＿Ｎ一１

（５－３７）

（５－３８）

第５章频域自适应滤波技术抗窄带十扰

从上面分析可知：线性运算等于圆周运算是通过对输入序列进行０值延拓得到的。而

在实际应用中，常遇到某输入序列很长而另一输入序列较短这种情况，此时利用圆周运算，

短序列就必须补很多个０值点，显然很不经济。为此，我们采取了相应的改进：将长序列

分成长度和短序列相当的一段段，分别求出每段的结果，再利用一定的方式把它们组合起

来，得到总的输出。而这每一段的输出都是采用ＦＦＴ算法实现的。

常用的分段办法有两种：重叠保留法和重叠相加法。在执行频域ＢＬＭＳ算法时，重叠

相加法的运算量要比重叠保留法的运算量大，而重叠保留法在当输入序列重叠５０％时最有

效。因此，本章论述的频域算法都是采用重叠５０％的重叠保留法来完成线性卷积和线性相

关的。

１．重叠保留法

设ｘ， （ｎ）为长序列，则我们以ｘ２ （ｎ）的长度Ｎ，为标准，对ｘ， （ｎ）进行分段，用ｘ，； （ｎ）表

示ｘ， （ｎ）的第ｉ段，其中，Ｌ为ｘ， （ｎ）的总段数，则

ｘ，；ｋｎ， 一几。

Ｉ ｘ， （ｎ）

（＇－１）Ｎ２ ＋１‘ｎ‘ｉ Ｎ２

其它

＝１，，二，Ｌ

（５－３９）

而长序列ｘ， （ｎ）又可用ｘ，， （ｎ）表示为：

ｘ， （ｎ）一艺ｘ，， （ｎ）

在计算线性卷积时，ｘ， （ｎ）和ｘ２ （ｎ）的线性卷积运算等于各ｘ，， （ｎ）和ｘ２ （ｎ）的线性卷积运

算之和，即：

ｙ， （ｎ）一ｘ， （ｎ） ＊ ｘ２ （ｎ）二艺ｘ，， （ｎ） ＊ ｘ２ （ｎ）

（５－４０）

其中，每一个ｘ，； （ｎ） ＊ ｘ２ （ｎ）都可用上面讨论的快速卷积的办法运算，所不同的是：在

对序列ｘ，； （ｎ）和ｘ２ （ｎ）进行延拓时，重叠保留法采用在序列ｘ，； （ｎ）的前边补上前一段序列

ｘ󰀀；＿，）（ｎ） ，而不是在其后补零；序列ｘ２ （ｎ）仍采用在其后补上Ｎ２个零值点构成长为２Ｎ２的

序列。这时，如果用ＦＦＴ实现ｘ，， （ｎ） ＊ ｘ２ （ｎ）的圆周卷积，则其每个圆周卷积结果的前Ｎ２个

点不等于线性卷积，必须舍去。然后把相邻各输出段留下的序列衔接起来，就构成了最后

的正确输出。

２．重叠相加法

此法和上法稍有不同：重叠相加法对ｘ， ， （ｎ）和ｘ２ （ｎ）的延拓是采用在其后补ＮＺ个零值

点，然后再作圆周运算求解；而相邻两段输出序列必然要发生重叠，即前一段的后Ｎ：个

点和后一段的前Ｎ２个点相重叠，而将重叠部分相加再和不重叠部分组合即为最后的正确

输出。

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５．３．２频域ＢＬＭＳ算法的简单推导

＿，频域ＢＬＭＳ算法［４７－５０１本质上是时域ＢＬＭＳ算法的快速实现，即将时域数据分组构成Ｎ个点

的数据块，且在每块上滤波权系数保持不变。频域ＢＬＭＳ算法在频域内可以用数字信号处理

中的重叠保留法来实现，但其计算量比时域ＢＬＭＳ算法大大减少。也可以用重叠相加法来计

算，但这种算法与重叠保留法相比需要更大的计算量。块数据的任何重叠比例都是可行的，

但以５０％的重叠计算效率为最高，算法实现的结构框图如图５－３所示。

图５－３频域ＢＬＭＳ算法的结构框

Ｆｉｇ． ５一３ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａ

设滤波器阶数等于Ｍ，采用５０９ ６重叠保留法时，输入ｘ（ｎ）分成长为Ｍ的批。第ｋ批

的输入为

ｘ（ｋ）＝［ｘ（ｋＭ）， ｘ（ｋＭ ＋ １）， － － －， ｘ（ｋＭ ＋ Ｍ一１）］

（５－４１）

图

ｉｎ

ＢＬＭＳ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ

若ｋ＝１时，在ｘ（１）的前面添置Ｍ个零。

令权系数在第ｋ批输入时为

两者线性卷积长为２Ｍ一１。

为了进行频域处理，必须对输入及脉冲响应进行延拓，使其周期Ｎ？２Ｍ－ｌａ ５０９６重

叠保留法的延拓周期为２Ｍ。且权矢量延拓为

ｗ（ ｋ） ＝ ［ｗ， （ｋ）， ｗ｝ （ｋ），二、－，－ｉ （ｋ）］Ｔ （５－４２）

ｗ＇ （ｋ） ＝ ［ｗ＇ （ｋ），０，二、０］ Ｔ （５－４３）

即其后添Ｍ个０成为２Ｍ长。而输入矢量则按下列方式延拓成２Ｍ长。

＝ ［ｘ（（ｋ一１） Ｍ），一、ｘ（ｋＭ一１）， ｘ（ｋＭ）， － － －， ｘ（ｋＭ＋Ｍ一０１

ｘ＇ （ｋ） ＝ ［ｘ＇ （ｋ一１）ｘＴ （ｋ）］ （５－４４）

第５章频域自适应ｉｔ披技术抗窄带十扰

将上述２Ｍ维矢量进行２Ｍ点ＦＦＴ得

磷（ ｋ）＝ＦＦＴ［ｗ＇（ｋ）］Ｔ

（５－４５）

Ｘ ｆ＿ （ｋ）＝Ｄｉａｇ（ＦＦＴ［ｘ＇（ｋ）］

（５－４６）

ｗ＇（ｋ）和ｘ＇（ｋ）的卷积也是２Ｍ长，但只有其后面Ｍ个元才是ｗ（们和ｘ（ｋ）的卷积ｙ（ｋ） ａ

ｗ＇（ｋ）和ｘ＇（ｋ）的卷积由下式实现：

ｙ＇（ｋ）＝ＩＦＦＴ［Ｘ，： （ｋ）Ｗ，（ｋ）ｌ

（５－４７）

则ｗ（ｋ）和ｘ仕）的卷积为

ｙ（ｋ） ＝［ｙ（ｋＭ），・，ｙ（ｋＭ＋Ｍ一１）］

＝ ｙ＇（ｋ）的最后Ｍ个元素。

（５－４８）

为在频域实现权更新公式（５－３０）

需计算（５－２９）的ｖ污的求和项。误差与输入

的互关为：

Ｖｉ（ｋ）＝叉ｅ（ｋＭ ＋ｉ）ｘ（ｋＭ＋‘一Ｊ），一０，１，二，Ｍ－１

（５－４９）

则有Ｖ（ｋ）＝［Ｖ，（ｋ），．．．，ＶＭ－，（ｋ）ｌ＇

（５－５０）

所以：ｗＳ ＝粤、（、）

（５－５１）

Ｌ

令列矢量

ｅ ，， （ｋ）＝ＦＦＴ［０， － － ．，０， ｄ（ｋＭ）一ｙ（ｋＭ），

二，ｄ （ｋＭ十Ｍ一１）一ｙ（ｋＭ十Ｍ一１）］，

则０（ｋ）可由下式得到：

：（、）一｛｛ＩＦＦＴ ［Ｘ Ｆ （ｋ），，， （ｋ）｝的前Ｍ项。

Ｊ、，‘一“１

频域中权矢量更新公式为：

二。、十１）＿二。、）十２、二：一

（５－５２）

Ｄ（ｋ）

Ｕ

咖

（５－５３）

式（５－４３）－（５－５３）就是ＢＬＭＳ的频域实现公式。此算法又称为快速ＬＭＳ（ｆａｓｔ ＬＭＳ，ＦＬＭＳ）

算法。频域ＢＬＭＳ算法的流程图如图５－４所示：

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图５－４ ＦＬＭＳ算法的流程图

Ｆｉｇ． ５－４ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｃｈａｒｔ ｏｆ ＦＬＭＳ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ

５．３．３频域ＢＬＭＳ算法的计算量分析

频域自适应滤波与时域算法相比，除了在收敛条件和收敛速度上具有较大优势外，还

有一个最大的优点就是计算的速度快。这里，对这两种算法的计算复杂度来进行比较．通

常只比较这两种算法的乘法个数。

（ １）对于时域ＬＭＳ算法：设滤波器阶数为Ｎ，于是，每计算一次输出需要Ｎ次实数乘法，

更新一次权值也需要Ｎ次实数乘法，总共需要２Ｎ次实数乘法。这样，一个长度为Ｎ的实

序列输入信号，则实数乘法总数为２Ｎ Ｚ次。

（ ２）频域ＢＬＭＳ算法：由前面的公式推导可知，每产生Ｎ次输出值共需要４次２Ｎ点ＦＦＴ

运算和２次２Ｎ点复数相乘。对于实输入数据，根据ＤＦＴ的对称特性，一个２Ｎ点ＦＦＴ可用

一个Ｎ点ＦＦＴ实现。若采用基２ＦＦＴ算法，则每个Ｎ点ＦＦＴ大约需要（Ｎｌｏｇｚ Ｎ）／２次复数

乘法，每个复数乘法按４次实数乘法计算，则一次ＦＦＴ需２Ｎ ｌｏｇ， Ｎ次实数乘法，四次ＦＦＴ

运算共需要８ＮＩｏｇＺ Ｎ次实数乘法，再加上２次２Ｎ点复数相乘，即１６Ｎ次实数乘法，则每

产生Ｎ个输出值共需８ＮＩｏｇＺ Ｎ＋１６Ｎ次实数乘法。

这样，二者的运算量之比为

ｆ （Ｎ）＝（４ ｌｏｇ， Ｎ＋８）ＩＮ

可以看出，频域ＢＬＭＳ算法要比时域ＬＭＳ算法快得多。例如，Ｎ＝５１２时，频域ＢＬＭＳ算法是时域

第５章频域白适应滤波技术抗窄带十扰

ＬＭＳ算法的２１倍。

５．３．４频域ＢＬＭＳ算法特性

１．频域ＢＬＭＳ算法抑制窄带干扰的优越性

频域ＢＬＭＳ算法的最大优点就是计算速度快。前面己经对频域ＢＵＳ算法和时域Ｌ ＡＳ算法

在计算量上作过一比较。当滤波器阶数很大时，频域ＢＵＳ算法的效率很高。

另外，频域ＢＬＭＳ算法相对于时域ＢＵＳ算法在收敛特性上有所改善。由傅立叶变换的性

质可知，傅氏变换将产生一组近似正交的分量，而山这些分量构成的自相关矩阵也近似为

对角阵。由此可见，在彼此间近似不相关的各频率点上直接进行ＢＬＭＳ自适应滤波，即使时

域输入信号的相关性比较强，其相关矩阵的特征值分散程度比较大，也对频域算法的收敛

特性影响不大。基于此，我们可以得出以下结论：在多窄带干扰特别是强窄带干扰存在的

系统中，由于输入信号的强相关性，导致时域ＢＬＭＳ算法的不可行性，而频域ＢＬＭＳ算法的提

出，为抑制大功率多窄带干扰提供了行之有效的手段。

２．频域ＢＬＭＳ算法抑制窄带干扰的局限性

失调误差和收敛速度作为评价自适应算法的两个重要指标，均受步长因子的影响。若

在一定范围内选择较大步长，则收敛较快，但收敛到稳态附近时会产生较大的剩余误差，

即失调量大；反之使用较小步长可减小剩余误差量，算法的收敛精度较高，但收敛速度变

慢。可见，在固定步长的情况下，收敛速度与失调误差是一对难以协调的矛盾。而频域ＢＬＭＳ

算法虽然具有上述优点但作为一种固定步长因子的自适应算法，自然也存在着这一缺点，

必须采取措施加以改进。

５．４变步长频域ＢＬＭＳ算法

Ｉ－

在采用自适应技术抑制直接序列扩频通信窄带干扰过程中，针对频域ＢＵＳ算法收敛

速度较慢和收敛精度不够良好的缺点，将频域ＢＬＭＳ算法与变步长技术相结合，提出了一

种基于改进的Ｓｉｇｍｏｉｄ函数的变步长频域ＢＬＭＳ算法（Ｖａｒｉａｂｌｅ ｓｔｅｐ－ｓｉｚｅ ＦＬＭＳ，ＶＦＬＭＳ），

使之更有效地抑制直扩通信系统中的窄带干扰。

５．４， １步长函数的实现

近年来，许多学者针对时域ＬＭＳ算法的固有缺点，提出了变步长自适应滤波算法，即

在自适应初始阶段和跟踪阶段，步长较大，以便有较快的收敛速度，在算法进入稳态后，

保持较小步长以获得较小的稳态误差。覃景繁等人，［１借助Ｓｉｇｍｏｉｄ函数，对ＬＭＳ算法提

出了一种变步长算法，该算法能同时获得较快的收敛速度、较快的跟踪速度和较小的稳态

误差，但该文提出的Ｓｉｇｍｏｉｄ函数比较复杂，增加了计算量，且在误差ｅ（ｎ）接近零处变化

太大，不具有缓慢变化的特征，使得该变步长ＬＭＳ算法在自适应稳态阶段仍有较大的步长

变化，这是该算法的不足。基于这一点，高鹰等人（５２１对该算法中的Ｓｉｇｍｏｉｄ函数做出改

进，提出一种基于改进的Ｓｉ．ｇｍｏｉｄ函数的变步长ＬＭＳ算法：

ｅ（ ｎ）＝ｄ（ｎ）－ｘ＇（ｎ）ｗ（ｎ）’（５－５４）

ｗ（ｎ＋１）＝ｗ（ｎ） ＋ ２ ｐ（ｎ）ｘ（ｎ）ｅ（ｎ）

（５－５５）