《随机信号分析基础》第5章 课件 _窄带随机过程

第5章 窄带随机过程

在实际通信系统中所遇到的信号和系统多为窄带的，即信号带宽远小于中心频率

Dw

w

0

，

wDwwDww

000

当随机信号功率谱只分布在载波附近窄频带范围（）内，其余均为0，

Dw

则该随机信号属窄带随机过程。

5.1 零均值窄带平稳随机过程

窄带随机过程可以看作振幅和相位作随机缓变的正弦波

A(t)F(t)

XtAttt

()

=w+F

()cos()

êú

ëû

éù

o

（5.1）

=-

AttAtt

c

()cos()()sin()

ww

oso

其中

同相分量(In-pha Component)

A=A(t)cosF(t)

c

正交分量(Quadrature Component,书上称为几何“垂直”分量)

A=A(t)sinF(t)

s

习惯称为“同相”和“正交”分量。

5.1.1 统计特性

通常，一个窄带零均值的平稳过程。可以证明，一个窄带零均值平稳过程其()

X(t)

At和

c

At有特性（不做证明要求）：

s

()

EX(t)=EA(t)=EA(t)=0

{}{}{}

cs

进而有

RRR()R()

AcAsAcAsAsAc

()()

t=t，t=-t

说明同相分量

AtA(t)

cs

()

与正交分量的自相关函数相同。同时由互相关定义有

5‐ 1 / 7

R()=R()cos()()sin()

XAcAcAs

ttwt-twt

00

R

=R()cos()()sin()

AsAsAc

twt+twt

00

R

RR

AcAsAsAc

()()

t=-t，因此

RR

AcAsAsAc

(0)(0)0

==

 说明在同一时刻上，与互不相关。同时

A(t)A(t)

cs

222

RRR

XAcAsX

(0)(0)(0)

==s=s=s

AcAs

 说明与同相分量、正交分量具有相同的平均功率。

X(t)A(t)A(t)

cs

 若为高斯过程，则与也为高斯过程，且相互独立。

X(t)A(t)A(t)

cs

综合：零均值窄带平稳高斯过程的同相分量

X(t)

AtA(t)

cs

()

和正交分量 也是具有相同方差的零

均值平稳高斯过程。

5.1.2 包络和相位的概率密度

反过来，可用两个分量来描述：

X(t)

幅度

AtAtAt

()()()

=+，相位

cs

22

F=

()arctan

t

At

s

()

At

c

()

可以证明(详见第一章中复随机变量

ZXjY

=+=的包络和相位)：

Re

j

Q

 与统计独立。

A(t)F(t)f(a,f)=f(a)f(f)

 包络服从瑞利（Rayleigh）分布，如图5.1所示。

A(t)

5‐ 2 / 7

éù

atat

()()

2

（³） （5.2）

fat

A

(;)exp

=-

22

êú

A0

êú

2ss

XX

ëû

相位服从均匀分布：

F

(t)

ft

F

(;)

f

=

1

， 或 （5.3）

0(t)2(t)

£f£p-p£f£p

2

p

5.2 余弦波加窄带高斯过程

余弦波(信号)+窄带高斯噪声

X(t)acos(t)N(t)

=w+q+

0

其中为窄带零均值高斯噪声，为在上均匀分布的随机相位。

N(t)q(0,2p)

N(t)

可表示为

NtAttAtt

()()cos()sin

=w-w

cs

00

因此

XtaAttaAtwt

() = [cos+()]cos[sin+()] sin

qw-q

cs0

0

= ()cos[+()]

Atwtt

0

F

包络

AtaqAtaqAt

()(cos())(sin())

=+++

cs

22

，

相位

F

() = arctan

t

可以证明：包络服从Rice分布(广义Rayleigh 分布)

A(t)

æöæö

AaaAA

22

+

÷÷

çç

÷÷

(|)()exp, 0

-==³

fAqfAIA

222

çç

(5.4)

0

÷÷

çç

÷÷

çç

sss

2

øèøè

aAt

sin + ()

q

s

aAt

cos + ()

q

c

⋅=

是零阶修正贝塞尔函数。 为噪声方差，

如图5.2。其中

sD[N(t)]I()

2

0

1

2

p

Ixxd

0

()exp(cos)

=

qq

2

p

ò

0

在低信噪比

ra

=

(s)

2

情况下，包络近似为瑞利分布；在高信噪比情况下，包络近似为高斯分

布。

æö

AAa

22

÷

ç



1()exp ,

-»

222

÷

fA

ç

÷

ç

÷

ç

sss

22

èø

5‐ 3 / 7

fA

()exp , 1

»-

æö

()1

Aaa

-

22

÷

ç

÷

ç



÷

22

ç

÷

ç

22

ss

èø

2

ps

（简化推导见书『随机信号分析』223页）

相位分布集中分布在0附近，但在低信噪比情况下，近似为均匀分布。相位分布概率

f()

F

0

密度函数如图5.3 所示。

图5.2 Rice分布概率密度函数

图5.3 余弦波加高斯窄带过程的相位分布

5‐ 4 / 7

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

设随机信号，其中均为常数，为零均值的高斯随机信号，其方差

X(t)=acos(wt)+n(t)w

a,n(t)

为

sX(t)

2

，求概率密度函数

解: 是均值为零、方差为

n(t)

sn(t)

2

的高斯随机信号，得的概率密度函数：

fte

n

()

=

1

2

ps

-

n

2

2

s

2

又，带入上式即可得到的概率密度函数：

n(t)X(t)acostX(t)

=-w

fte

X

()

=

1

2

ps

-

[()cos]

xtat

-w

2

2

s

2

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

例： 若随机信号

Stmtwtq

m

()()cos(+)

=，其中

c

w

c

为常数；是零均值宽平稳随机信号，且自

m(t)

相关函数和功率谱密度分别为

RtP(w)R(0)1q[p,p]

mmm

()

和且；在区间是从均匀分布的随

=-

机变量，它与彼此统计独立。

m(t)

(1) 证明

St

m

()

是宽平稳的；

(2) 求

StP(w)

ms

()

功率谱密度及总平均功率。

P

解：(1) ∵

EStEmtt

[()][()cos(+)]

m

=

wq

c

（）

m(t)和统计独立

q

=wq

EmtEt

[()][cos(+)]

c

=wqq

Emttd

[()]cos(+)

ò

=wq

Emtt

[()]sin(+)

2

p

0

c

2

p

1

c

0

2

p

1

=-

Emttt

[()]sin(+2)sin(c)

éù

êú

ëû

wpw

c

2

p

=

0

CttRttEStESt

ssmm

mm

(,)(,)[()][()]

121212

=-

REStSt

smm

m

()[()()]

t=+t

=wq+tw+tq

Emttmtt

{()cos(+)()cos[()+]}

c

c

=+twqw+tq

EmtmtEtt

[()()]{cos(+)cos[()+]}

cc

1

=t´wt+q-wt

REt

m

(){cos[(2+)2]cos()}

cc

2

22

pp

11

1

=t´wt

Rt

m

(){cos[(2+)

òò

c

+qq-wtq

2]cos()}

dd

c

00

22

pp

2

1

=twt

R

m

()cos()

c

2

11

2

且

ESt=R=R=<¥

[()](0)(0)

msm

m

22

1

2

p

5‐ 5 / 7

由上可见：

StE[S(t)]R(t)

mms

()

的均值与时间t无关，相关函数只与时间间隔有关。

m

t

∴

St

m

()

是宽平稳的随机信号。

（2）由于

St

m

()

是宽平稳随机信号，所以由维纳‐辛钦定理知：

StP(f)R()

mss

()

的功率谱密度与其自相关函数是一对傅立叶变换对。则有：

m

t

1

PFTRFTR

ssm

()[()][()cos()]

w=t=twt

m

c

2

11

PP

=⋅w*w

[()()]

mc

22

p

其中

PfP()

mc

()

是的功率谱密度，是

m(t)

w

cos()

wt

c

的频谱，

又因为

P=-++

ccc

()[()()]

wpdwwdww

所以

11

PP

smcc

()()*[()()]

wwpdwwdww

=-++



22

p

1

=w-w+dw+w

[()(]

PP

mcmc

4

11

功率

P=R=R=

sm

m

(0)(0)cos0

22

1111

¥¥

或则

PPdPPd

=⋅=-++=

()[()()]

wwwwwww

smcmc

4222

pp

òò

-¥-¥

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

若零均值平稳窄高斯随机信号的功率谱密度如题图

X(t)

（1）试写出此随机信号的一维概率密度函数；

（2）写出的同相分量、正交分量在同一时刻的联合概率密度函数。

X(t)

Gw

x

()

A

w

0

解：（1）零均值平稳窄带高斯信号 的正交表达式为

X(t)

w

0

W

2

XtAtwtAtwt

()=()cos-()sin

cs

00

1

¥

AW

基于功率谱计算功率得

PRGwdw

====

xX

(0)()

s

22

pp

ò

-¥

5‐ 6 / 7

X(t)

为0均值的高斯随机信号,所以

XtN

()(0,)



s

2

因此可得一维概率密度

fxe

X

(),

=s=

1

2

ps

-

x

2

2

s

2

2

AW

2

p

（2）由

A(t)A(t)X(t)A(t)A(t)X(t)

cscs

与的关系知：也为平稳高斯随机信号，且与有相同的期

望和方差。且在同一时刻二者互不相关或者是计独立。即

R(0)=R(0)=0

AsAcAcAs

faafafaee

AcAscsAccAss

(,)()()exp

==-=

111

22

psps

--

22

aa

cs

22

ss

22

æö

aa

cs

22

+

÷

ç

÷

ç

÷

22

ç

22

pss

÷

èø

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

5‐ 7 / 7