湖南大学本科课程《随机过程》第6章习题及参考答案
主讲教师：何松华 教授
1. 给定实数和一个平稳随机过程，定义理想门限系统的特性为
x
X(t)
1X(t)x
Y(t)
0X(t)x
试证：(1)；(2)
E[Y(t)]F(x)R()]F(x,x,)
XYX
证：(1)在任意时刻为只有两种取值1,0的随机变量，则
Y(t)
E[Y(t)]1P{Y(t)1}0P{Y(t)0}P{Y(t)1}P{X(t)x}
F(x,t)F(x) (根据平稳性)
XX
(2)根据相关函数定义，有
R()]E[Y(t)Y(t)]11P{Y(t)1,Y(t)1}01P{Y(t)0,Y(t)1}
Y
10P{Y(t)1,Y(t)0}00P{Y(t)0,Y(t)0}
P{Y(t)1,Y(t)1}P{X(t)x,X(t)x}
F(x,x;t,t)F(x,x;) (根据平稳性)
XX
2．设平方律检波器的传输特性为，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程
yx
2
X(t)
，其概率密度函数为
(xa)1
2
f(x)exp{}
X
2
2
2
X
X
在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；
当时结果有何变化。
a0
解：根据题意，为非零均值的中频窄带随机过程，可以表示为：
X(t)
X(t)aA(t)cos(t)A(t)sin(t)
C0S0
其中、为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量，都服从均值为0、
A(t)A(t)
CS
2
方差为的正态分布，且在同一时刻互不相关，则检波器输出信号
X
X(t)[aA(t)cos(t)A(t)sin(t)]
22
C0S0
aA(t)A(t)2aA(t)cos(t)A(t)cos(2t)A(t)cos(2t)
22222
1111
CSC0C0S0
2222
2aA(t)sin(t)A(t)A(t)sin(2t)
S0CS0
1
Z(t)a[A(t)A(t)]
222
CS
2
通过理想低通滤波后，滤波器输出信号为
由于随机变量、为互不相关(正态分布情况与独立等价)的正态随机变量，则
A(t)A(t)
CS
Z(t)
1
A(t)A(t)
CS
22
XX
22
服从自由度为2的卡方分布，即
2
1
z/2
1
2
f(z)e
Z1
1
ze
1
2
2
2(2/2)
Z(t)a
2
1
z/2
1
2
X1
2
Z(t)
2
，，
Z(t)h[Z(t)]
1
2[Z(t)a]
2
X
2
根据随机变量函数的概率密度关系，
Z(t)
的一维概率密度分布函数为
f(z)f[h(z)]e (za)
ZZ
dh(z)1
1
2
dz
X
za
2
X
2
2
11
E[Z(t)]E{a[A(t)A(t)]}a[]a
22222222
CSXXX
22
当时，，。
a0
f(z)e (z0)
Z
1
X
2
z
X
2
E[Z(t)]
X
2
3．设对称限幅器的特性为
X(t)xx
00
Y(t)g[X(t)]X(t)xX(t)x
00
xX(t)x
00
(1)已知输入随机过程的一维概率密度，求输出随机过程的一维概率密
X(t)Y(t)
f(x,t)
X
度(2)当输入随机过程为零均值平稳高斯过程、自相关函数为时，求
f(y,t)
Y
。
X(t)
R()
X
输出过程的相关函数。
Y(t)
R()
Y
解：
Y(t)
的概率分布函数为
0yx
0
y
F(y,t)f(x,t)dxxyx
YX00
1yx
0
显然，在处不连续，从0跳变到，其导数在该处将产生一
F(y,t)
Y
yx
0
个强度为的冲激，在处也不连续，从跳变到，其导数
xx
00
x
0
f(x,t)dx
X
f(x,t)dxf(x,t)dx
XX
yx
0
x
0
1
在该处将产生一个强度为的冲激，则有
1f(x,t)dx
X
f(y,t)
Y
dy(t)
dt
0yx
0
xx
00
f(x,t)dx(yx)f(y,t)1f(x,t)dx(yx)xyx
X0XX000
0yx
0
(2)根据相关函数的定义以及多维随机变量函数的数学期望特性，有：
R()E[Y(t)Y(t)]E{g[X(t)]g[X(t)]}g(x]g(x)f(x,x;)dxdx
Y12X1212
11
22
g(x)g(x)exp{[x2r()xxx]}dxdx
121X12212
2
2
2[1r()]R(0)
XX
21r()R(0)
XX
式中，，根据的定义以及联合概率密度函数的对称性得到
r()R()/R(0)
XXX
g(x)
R()2xexp{[x2r()xxx]}dxdx
Y01X12212
222
2xexp{[x2r()xxx]}dxdx
01X12212
222
xx
00
11
21r()R(0)
XX
2
11
2
2[1r()]R(0)
XX
xx
00
21r()R(0)
XX
2
x
2
2[1r()]R(0)
XX
11
22
[x2r()xxx]}dx]dx 2x[xexp{
1X1222101
2
2[1r()]R(0)
XX
1
[x2r()xxx]}dx]dxexp{ 2x[x
1X1222101
22
2
2[1r()]R(0)
XX
xx
00
x
0
0
21r()R(0)
XX
2
x
1
21r()R(0)
XX
2
xx
12
xx
00
xx
00
exp{[x2r()xxx]}dxdx
xx
00
21r()R(0)
XX
2
1
22
1X12212
2
2[1r()]R(0)
XX
4．设有理想限幅器
1X(t)0
Y(t)g[X(t)]
1X(t)0
假定输入为零均值平稳高斯随机过程。(1)求的一维概率密度和均值；(2)用Price
X(t)Y(t)
定理证明：。
R()arcsin[r()]
YX
2
解：(1)
显然，对任意时刻t，只有两种可能的取值1,-1，且概率各为0.5，则
Y(t)
f(y)0.5(y1)0.5(y1)
Y
E[Y(t)]10.5(1)0.50
(2)
令为零均值、单位方差高斯噪声，则，根据Price定理
X(t)Y(t)g[X(t)]
0X0
kkk22
dg(x)dg(x)R()x2r()xxx
Y1X122X1X2
1
exp{}dxdx
12
2kkk
2
r()dxdx2[1r()]
X12X
21r()
X
上式中，令，并利用冲激函数的积分特性，得到
k1
R()x2r()xxx
Y1X122
22
1
[2(x)][2(x)]exp{}dxdx
XX1XX212
2
2
r()2[1r()]
XX
21r()
X
(x)(x)dxdx(z)(z)dzdz
22
1r()1r()
XX
2
22
XX1X2121212
2
1r()
X
2
1
1x
2
2222
以及得到：根据
R(0)E[Y(t)]10.5(1)0.51
YY
d[arcsin(x)]/dx
R()arcsin[r()]
YX
2
。
5．设有零均值高斯平稳随机过程，其自相关函数为，它的一维概率分布函
X(t)
R()
X
数为，定义一个无记忆非线性系统，试用Price定理证明
F(x)
X
Y(t)F[X(t)]1/2
X
Y(t)
的相关函数为
R()arcsin
Y
证：
根据Price定理
R()
1
X
22R(0)
X
kkk22
dg(x)dg(x)R()x2r()xxx
Y1X122X1X2
1
exp{}dxdx
12
2kkk
2
r()dxdx2[1r()]
X12X
21r()
X
dg(x)
X
F'(x)ee
XXXX
其中，，，
g(x)F(x)1/2
XXX
dx
取，得到
k1
11
22
X
(x)
X
2
2
X
2
x
2
2
11
R()xxx2r()xxx
Y121X122
2222
exp{}exp{}dxdx
12
2
2
r()222[1r()]
XX
21r()
X
exp{}dxdx
(2)1r()
22
[2r()]x2r()xx[2r()]x
X1X12X2
2222
12
2
2[1r()]
X
X
1
1
x2r()xxx
1z122
22
cexp{}dxdx
12
22
22
2[1r()]
zz
21r()
zz
r()
X
11
[1r()][2r()]
XX
22
2
式中，、，；上式中的积分为
r()
z
c
z
2r()
X
2
2
[2r()]r()
XX
222
2
4r()
X
2
一个均值为0、方差为、归一化相关函数为的平稳高斯随机过程的二维联合概率密度分布
z
r()
z
函数的全积分，积分值为1，于是有：
R()
Y
11
r()2
X
R()arcsinc
Y0
4r()
X
2
1
r()
X
22
显然随机变量的取值范围为[-1/2,1/2]，当在[-1/2,1/2]范围内变化时，其概率分布函数为
Y(t)
y
F(y)P{Y(t)y}P{F[X(t)]1/2y}P{F[X(t)]y1/2}
YXX
P{X(t)F(y1/2}F[F(y1/2}]y1/2
XXX
(1)(1)
11
f(y)dF(y)/dy1 (y)
YY
22
式中，为的反函数。因此，在任意时刻的概率密度分布为[-1/2,1/2]上的均匀分布，
F()
X
(1)
F()
X
Y(t)
其均值为0，方差为1/12，代入或并利用或求得：
R()0R(0)1/12
YY
r()0r(0)1
XX
c0
0
，于是有：
R()arcsinarcsin
Y
R()r()
11
XX
2222R(0)
X
6．平方律检波器的传输特性为，在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程
yx
2
X(t)Y(t)
，
其方差为，相关函数为，求检波器输出过程的一维概率密度、均值
2
R()
X
及相关函数。
解：
yx
2
，存在两个反函数，，则在任意时刻的概率密度
xh(y)yxh(y)y
12
Y(t)
函数为
f(y)||f[h(y)]||f[h(y)]||e||e
YX1X2
exp (y0)
1y
dh(y)dh(y)
12
1111
dydy
2y22y2
(y)(y)
22
22
22
2
2
2y
2
E[Y(t)]E[X(t)]
22
R()E[Y(t)Y(t)]E[X(t)X(t)]
Y
22
根据联合正态分布随机变量的联合矩函数特性
E[XXXX]E[XX]E[XX]E[XX]E[XX]E[XX]E[XX]
1234123413241423
得到
R()E[X(t)]E[X(t)]E[X(t)X(t)]E[X(t)X(t)]
Y
22
E[X(t)X(t)]E[X(t)X(t)]
R()R()R()R()2R()
2242
XXXXX
7．全波线性检波器的传输特性为，在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过
y|x|
程其方差为，相关函数为，(1)求检波器输出过程的一维概率密度、
X(t)Y(t)
，
2
R()
X
均值；(2)用Price定理求输出过程的相关函数及方差。
Y(t)
解：(1)
，存在两个反函数，，则在任意时刻的概率密度
y|x|Y(t)
xh(y)yxh(y)y
12
函数为
22
dh(y)dh(y)
11
f(y)||f[h(y)]||f[h(y)]|1|e|1|e
YX1X2
12
22
dydy
22
y(y)
22
exp (y0)
y2
2
2
2
0
0
2
E[Y(t)]E[|X(t)|]|x|edxxedx(x)edx
2xedxede
xxx
222
111
222
xxx
222
222
222
2
x
00
222
12x22
222
2
2
2
x0
(2)设
X'(t)
为零均值、单位方差、自相关函数为的平稳高斯随机过程，则有
r()R()/
XX
2
Y(t)|X'(t)|y|x|
，对应的函数为，其二阶导数在处产生一个强度为的冲激，其余
x02
处的二阶导数值为0，则根据Price定理得到：
R()x2r()xxx
222
Y1X122
1
[2(x)][2(x)]exp{}dxdx
1212
22
2
r()2[1r()]
XX
21r()
X
21
2
1r()
X
2
R()
Y
2
2
arcsin[r()]c
X0
r()
X
根据分部积分性质，得到
arcsin(x)dxxarcsin(x)1x
2
R()r()arcsin[r()]1r()ccr()
YXXX10X
2
2
2
2
22
2
2
R(){E[Y(t)]}
显然，的均方值与的均方值相同，代入、
y
x
Y
R(0)E[Y(t)]E[X(t)]
Y
222
以及、得到：，于是有：
r(0)1r()0
XX
cc0
01
R()R()R()
XXX
2
2
2
R()arcsin[]1
Y
224
Y
222222
E[Y(t)]{E[Y(t)]}1
8．半波线性检波器的传输特性为
22
y
x|x|
xx0
2
0x0
在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程其方差为，相关函数为，
X(t)
，
2
R()
X
(1)求检波器输出过程的一维概率密度、均值；(2)用Price定理求输出过程的相
Y(t)Y(t)
关函数及方差。
解：(1)
在任意时刻的概率分布函数为
Y(t)
0y0
F(y)P{Y(t)y}1/2y0
Y
F(y)y0
X
y
2
2
dF(y)
Y
11
f(y)(y)e (y0)
Y
2
dy2
2
E[Y(t)]yf(y)dyy(y)edy
Y
00
y
11
2
2
2
2
y
2
2
2
2
0(y)dyedy
0
00
1y
2
22
2
E[Y(t)]yf(y)dyy(y)edy
222
Y
00
y
2
11
2
2
2
yy
22
0(y)dyedyedy
2
0
00
222
22
1y1y
22
222
22
(2)设
X'(t)
为零均值、单位方差、自相关函数为的平稳高斯随机过程，则有
r()
X
X'(t)X'(t)0xx0
Y(t)y
0X'(t)00x0
，对应的函数为，其二阶导数在处产生一个强度
x0
为的冲激，其余处的二阶导数值为0，则根据Price定理得到：
R()x2r()xxx
222
Y1X122
1
[(x)][(x)]exp{}dxdx
1212
22
2
r()2[1r()]
XX
21r()
X
1
2
1r()
X
2
R()
Y
2
arcsin[r()]c
X0
r()2
X
2
根据分部积分性质，得到
arcsin(x)dxxarcsin(x)1x
2
2
R()r()arcsin[r()]1r()ccr()
YXXX10X
2
2
2
2
22
代入、以及、
R(){E[Y(t)]}
Y
2
R(0)E[Y(t)]E[X(t)]
Y
2
r(0)1
X
2
2
2
r()0
X
得到：、，于是有：
c0
1
c
1
2
4
2
R()arcsin[]1R()
YX
24
22222
R()R()R()
XXX
2
1
224
Y
E[Y(t)]{E[Y(t)]}
2
2222
111
9．图示非线性系统。输入为零均值、功率谱密度为的高斯白噪声，
G()N/2
X0
X(t)
求输出随机过程的自相关函数和功率谱密度。
Y(t)
解：根据电路方程容易得到RC低通滤波器的传递函数为
H(j)
j
式中，，则根据随机过程通过线性系统理论，低通滤波器输出过程的功率谱密度函数为
1/(RC)
N
0
2
G()G()|H(j)|
ZX
2
22
2
根据典型傅立叶变换对关系得到低通滤波器输出过程的自相关函数为
e
||
2
22
N
R()e
Z
0
||
4
2
由于为零均值平稳高斯过程，则也为零均值平稳高斯过程，方差，则
X(t)Y(t)
R(0)
Z
根据题6给出的平方律检波器的输入输出过程相关函数的关系(证明过程省略)得到：
N
0
4
NN
R()2R()2e
YZ
00
2||42
44
22
根据典型傅立叶变换关系得到检波器输出过程的功率谱密度函数为
4
NN
G()2()2
Y
00
22
444
22
10．设随机变量和是零均值、方差为的联合高斯随机变量，其概率密度分布函
X
Y
2
数分别为和，且，证明：
f(x)f(y)
XY
E[XY]
E[f(X)f(Y)]
XY
1
24
42
证：根据高斯分布以及联合高斯分布随机变量的联合概率分布函数特性以及多维随机变
量函数的数学期望性质，并令，有
r/
2
XxyY
222
111
E[f(X)f(Y)]Eeeef(x,y)dxdy
XYXY
222
22
22
2222
2
2
1
xy
[x2rxyy]
22
11
22
2
2(1r]
2
eedxdy
22
2
2
21r
11
2(1r)
22
edxdy
22
2
2
21r
2rr
2
[x2xyy]
22
222
11
2(1r)2r
edxdy
22
2
2
21r
[(2r)x2(/)xy(2r)y]
2222
1
r
(1r)/(2r)(1r)(2r)(2r)
22222222
2
令、、
r
0
0
2r
2
1r(2r)r4r
0
2222
11111
，则有(参见题5)
c/
0
2
22222242
2
21r21r24r24
00
1
[x2rxyy]
22
0
22
1
2(1r)
00
E[f(X)f(Y)]cedxdyc
XY00
，证毕。
22
21r
00
11．设功率谱密度为的白噪声通过一个物理带宽为的理想低通滤波器，在
N/2
0
/2
低通滤波器后接一个传输特性为的平方律检波器，求检波器输出随机信号的自相
yx
2
关函数和功率谱密度，并将功率谱密度函数用图表示。
解：理想低通滤波器输出信号的功率谱密度函数为
N/2||/2
G()
X
0
otherwi0
根据相关函数与功率谱密度之间傅立叶变换关系，得到理想低通滤波器输出信号的自相
关函数为
11
/2/2
NN
00
j1
R()F[G()]edcos()d
XX
2222
/2/2
(根据奇函数sin()在对称区间内积分为0，虚部为0)
NN
sin(/2)
sin()
00
224/2
2
R(0)
X
N
0
4
根据题6给出的平方律检波器的输入输出过程相关函数的关系(证明过程省略)得到：
NN
00
sin(/2)
R()2R()2
YX
44/2
42
22
2
根据傅立叶变换性质，有：
N()
0
22
G()2()2G()G()()2G()G()
YXXXX
8
4
根据卷积原理，宽度为、高度为1的矩形函数的卷积为宽度为、高度为的三角函数，
2
N
0
2
则宽度为、高度为的矩形函数的卷积为宽度为、高度为的三角函数，则
2
N/2
0
4
N()N
00
222
||
G()()[1]
Y
82
输出过程的功率谱密度函数如下图所示。
12．设为均值为相关函数为的平稳高斯过程，将其加入到模型为
X(t)
mR()
XX
、
1X(t)0
Y(t)g[X(t)]
1X(t)0
的理想限幅器输入端，求限幅器输出过程的自相关函数。
R()
Y
R()m
XX
2
解：令
X(t)Y(t)g[X(t)m]
0X0X
为零均值、单位方差高斯噪声，则，令，
r()
X
2
R(0)m
XX
根据Price定理，有：
kkk
dg(xm)dg(xm)R()
YX1XX2X
kkk
r()dxdx
X12
x2r()xxx
1X122
22
exp{}dxdx
12
2
2
2[1r()]
X
21r()
X
1
上式中，令，并利用冲激函数的积分特性，得到
k1
R()
Y
[2(xm)][2(xm)]
XX1XXX2X
r()
X
x2r()xxx
1X122
22
exp{}dxdx
12
2
2
2[1r()]
21r()
X
X
1
(m/)
XX
2
2
exp{}(xm)(xm)dxdx
XX1XX2X12
2
1r()
1r()
X
X
2
2
2
(m/)
XX
2
exp{}(zm/)(zm/)dzdz
1XX2XX12
2
1r()
1r()
X
X
(m/)
XX
2
exp{}
2
1r()
1r()
X
X
令
(m/)
XX
2
2u(0)
(n)
n
u(x)exp{}x
1xn!
1x
n0
式中，为函数在处的阶导数的值，则有
u(0)
(n)
u(x)
x0
n
u(0)
(n)
R()[r()]c
YX0
n1
n0
(n1)!
式中
cR()m[exp{}dxexp{}dx]
0YY
22
0
0
(xm)(xm)
XX
22
11
2R(0)2R(0)
XX
2R(0)2R(0)
XX
13．平方律检波器的传输特性为，在检波器输入端加入一窄带随机信号，其中
yx
包络服从瑞利分布
A(t)
b
2
2
aa
2
f(a)exp{} (a0)
A
22
2
求检波器输出过程的一维概率密度、均值和方差。
解：根据窄带随机过程理论，当包络服从参数为的瑞利分布、相位服从[-,]
A(t)(t)
2
上的均匀分布，且、相互独立时，窄带随机过程服从
A(t)(t)
X(t)A(t)cos[t(t)]
c
均值为0、方差为的正态分布[证明过程参见第2章15题，或构造两外一个随机变量
2
Y(t)A(t)sin[t(t)]
c
，根据多维随机变量的多维函数的联合概率密度特性得到
]
f(x)exp{} (x)
X
1x
2
2
2
2
根据函数关系得到检波器输出过程的一维概率密度为
Y(t)X(t)
b
2
Y(t)
2
112y/b1y
2by2by
exp{}exp{} (y0)f(y)2
22
2b
Y
Y(t)
的均值、方差分别为
E[Y(t)]E[X(t)]
bb
22
22
2
2222
bbbbb
4422244
D[Y(t)]E[Y(t)]{E[Y(t)]}E[X(t)]3
44422
14．同步检波器如下图所示，设为窄带平稳随机信号，其相关函数为
X(t)
R()ecos()sin(||) ()
XX000
2||
0
求检波器输出端的相关函数及平均功率。
解：(
由相关函数知该窄带随机过程的物理功率谱密度不是关于对称的，但不改变窄带信号的希
0
尔伯特特性
)将窄带随机过程表示为
X(t)
X(t)C(t)cos[t(t)]
0
忽略符号特性(不改变相关函数及功率特性)，则理想低通滤波器输出信号可以表示为
Y(t)AC(t)sin[(t)]AC(t)
11
S
22
式中，为窄带随机过程的包络，为窄带随机过程的正交分量。根据
C(t)
X(t)X(t)
C(t)
S
窄带随机过程理论，的相关函数为
C(t)
S
ˆ
()sin()R()R()cos()R
SX0X0
2||
ecos()sgn()sin()cos()
X000
0
2||2||
esin()Hesgn()sin()sin()
X0X00
0
2||2||2||
1
eesgn()sin(2)Hesgn()sin()sin()
XX0X00
00
2
R()AR()
YS
1
2
4
式中，表示表示Hilbert变换。
H()Y(t)
的平均功率
E[Y(t)]AE[C(t)]AR(0)AR(0)A
2222222
1111
SSX
X
4444
对于窄带随机过程，可以进行近似计算。令，则有
G()G() ()
XaX00
2||
R()eG()cos()d
aXXa
0
1
R()esgn()G()sin()d
bXXa
111
222
2||
1
0
0
00
G()edG()[cos()jsin()]de[1jsgn()]
XaXXa
j2||
0
则功率谱的基带部分(非对称) 所对应的相关函数为
G()
X
G()
Xa
1
2||
R()e[1jsgn()]
XaX
2
0
根据希尔伯特变换原理以及傅立叶变换性质可知
ˆ
()]jF[R()e]jF[R()e]F[R
jj
00
XXaXa
ˆ
()jR()ejR()eR
jj
00
XXaXa
11
2||2||
j{e[1jsgn()]}ej{e[1jsgn()]}e
XX
jj
00
22
00
2||
e[sin()sgn()cos()]
X00
0
ˆ
()sin()R()R()cos()R
SX0X0
2||2||
e[1sgn()sin(2)]e[1sin(2||)]
X0X0
00
15．设全波线性检波器的传输特性为，检波器的输入为，其中为直
y|x|
aN(t)
a0
流电平信号，为零均值平稳高斯随机过程其方差为，求检波器输入、输出端的
N(t)
，
2
信噪比(考虑高信噪比情况)。
解：输入端的信号平均功率以及噪声平均功率分别为、，则检波器输入端信噪比为
a
2
aS
2
2
N
in
在高信噪比情况下，全波线性检波器的输出信号可以近似表示为
2N(t)N(t)
2
Y(t)|aN(t)|a2aN(t)N(t)a1
2
aa
22
N(t)12N(t)N(t)
22
a1aN(t)
2
2aa2a
式中，第1项为输出信号，平均功率为，第2项为输出噪声，其平均功率为，
a
a
22
N(t)
2
N(t)3
24
第3项为信号与噪声的耦合项，平均功率为，一般将其作为噪声功
E
4a2a
2
率看待，则输出信噪比为
a4aS
24
222424
N3/(4a)4a3
out
本文发布于:2023-11-02 23:05:18，感谢您对本站的认可！
本文链接：https://www.wtabcd.cn/zhishi/a/1698937518204394.html
版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系，我们将在24小时内删除。
本文word下载地址：《随机过程》第6章习题及参考答案.doc
本文 PDF 下载地址：《随机过程》第6章习题及参考答案.pdf
| 留言与评论（共有 0 条评论） |
