一类奇异边值问题正解的存在性和多重性

第３３卷第１期 Ｖｏ１．３３ Ｎｏ．１

２０１２年１月 Ｊａｎ．２０１２

井冈山大学学报（自然科学版）

Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） １８

文章编号：１６７４．８０８５（２０１２）０１—００１８—０５

一

类奇异边值问题正解的存在性和多重性

王珍，朱少平

（井冈山大学数理学院，江两，吉安３４３００９）

摘要：运用Ｋｒａｓｎｏｅｌｓｋｉｉ锥拉伸与压缩不动点定理讨论了当ａ在ｔ－＝０，１及厂在ｕ＝０处可以是奇异的一类奇异边值

问题的正解的存在性和多重性。

关键词：边值问题；奇异；正解；锥；不动点定理

中图分类号：Ｏ１７５ 文献标识码：Ａ ＤＯＩ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１６７４—８０８５．２０１２．０１．００５

ＴＨＥ ＥＸＩＳＴＥＮＣＥ ＡＮＤ ＭＵＩ ＩＰＬＩＣＩＴＹ ｏＦ ＰｏＳＩＴＩＶＥ ＳｏＬＵＴＩｏＮＳ ＦｏＲ Ａ

ＣＬＡＳＳ ｏＦ ＳＩＮＧＵＬＡＲ ＢｏＵＮＤＡＲＹ ＶＡＬＵＥ ＰＲｏＢＬＥＭ

ＷＡＮＧ Ｚｈｅｎ，ＺＨＵ Ｓｈａｏ—ｐｉｎｇ

（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉ’ａｌｌ，Ｊｉａｎｇｘｉ ３４３００９，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ’Ｓ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ｃｏｎｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ—ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ｔｙｐｅ，ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ

ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ．

Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ；ｓｉｎｇｕｌａｒ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｃｏｎｅ；ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ

研究了三阶非线性微分方程两点边值问题

０ 引言

微分方程奇异边值问题是微分方程的一个重

要领域，各种自然科学也提出了大量的微分方程奇

异边值问题，如在大气对流、天体演变及流体力学

等方面都有着广泛的背景，其正解具有明显的物理

意义。三阶微分方程的奇异边值问题在应用数学和

Ｕｍ（ｆ）＋ （ （ｆ）， （ｆ））＝０， ０＜ｆ＜１．

７￣ｕ（０）＝）， “ （０）＝７３ｕ（１）＋Ｙ （１）＝０，ｂ／＂（０）＝０，

（２）

解的存在性，其中ｆ∈ｃ（【０，１］×Ｒｚ，Ｒ），），１，Ｙ２，），３，

，

０是常数。

受上述研究工作的启发，我们研究边值问题

物理学中具有， 泛的应用，人们在此方面做出了众

多的研究工作，如文献［１．５］等。

姚庆六Ｉ６】采用Ｌｅｒａｙ－Ｓｃｈａｕｄｅｒ非线性抉择研究

了奇异非线性三阶两点边值问题

甜 （ｆ）＝ （ｆ） （ （ｆ）），０＜ｔ＜１，

ｕ（ｏ）＝ 甜（叩）， （叩）＝０， （１）＝０， （３）

Ｌ ／

其中， ∈（０，１），叩∈ｌ １，１ ｌ是常数，口在ｔ＝０，１及厂

在 ＝Ｏ友ｈ可以是奇异的。

（ｆ）＋ （ｆ， （ ），甜 （ｆ），甜 （ｆ））＝０，０＜ｆ＜１，

（０）＝ （０）＝甜 （１）＝０， （１）

的解的存在性，其中／（ｔ，甜，ｖ，Ｗ）：（ｏ，１）× 是

连续的，且允许它在 ０， ＝１处奇异．

１主要引理和定理

Ｂａｉ Ｊ运用Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理与上下解方法

令Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ＝ｃ［０，１］，赋予其范数

收稿［Ｊ期：２０１１—１卜２４；修改日期：２叭２—０ｌ ｌ０

作者简介： 王￣（１９８４一），江西遂川人，助教，硕士，士要从事微分方程边值问题研究（Ｅ—ｍａｉｌ：ｓｕｐｅｒｙｅｚｉ１１２７＠１６３．ｃｏｍ）

朱少平（１９８１一），湖北仙桃人，讲师，硕士，主要从事概率统计教学与研究（Ｅ—ｍａｉｌ：ａｐｉｎｇ７１３２＠１６３．ｃｏｍ）．

井冈山大学学报（自然科学版） １９

＝ｍ ａ ｘ

。

ｌ （ｆ）Ｉ。我们定义

（叩）＝ １ （７７一 ） （ ） ＋２却＋ ，

再由 （０）： （７７）， （叩）＝ｏ， （１）＝０，可得

＝一

｛ ∈Ｅ： （ｆ）≥０， ｍ ［０ｉｎＩｌ】 （ｆ） ＩＩ Ｉ｝’

显然Ｋ ｃ Ｅ是锥。

对Ｕ∈Ｋ，我们定义

１ １ （ ）ｕｓ，

（ｆ）＝Ｊ：Ｇ（ （ ）厂（ （ ）） ，ｆ∈［０，ｌ】， （１．１）

＝叩 （ ） 一 （叼一 ） （ ） ，

ｇ（ ） ｎ 件 ∈［０，１］，

首先给出下列假设

（Ａ１）口：（０，１）－－－＞［０，＋ｏ。）连续，ａ（ｔ）Ｔｆ￣恒等于０；

（Ａ２） ：（０，＋∞） ［ｏ，＋。（））连续，且有

ｌｉ ｍ ｓｕ ｐ

ｑ

』１ｇ（ ）口（ ）厂（ （ ））ｄ ：０，

）：［０， 小 是Ｅ中的有

界开子集，＿￣ＯｅＱ， ｃ ；

（Ａ３）ｏ＜』 口（ ）ｇ（ ）ｕｓ＜懈。

引理１．１令０＜仃＜１，ｈ∈ｃ［ｏ，１】，则边值问题

（ｆ）： ，ｏ＜ｆ＜ｌ， １

（０）＝ａｕ（ｒ１）， （７７）＝０， （１）：０，

有唯一解 （ｆ）＝ Ｇ（ｆ， （ ） ，其中

，

ｓ＜ｍｉｎ｛ ｝；

一一 ‘＋ ＋— —— １ ， 叩；７７：

一

斛 ，ｔ—Ｓ

Ｇ（ｔ， １＝

２ ２ｆ一 ｌ

；

１

一一 ‘＋叼 ＋ ２，ｓ＞＿ｍａｘ 叼， ｊ‘

一一

ｆｚ＋７７ｆ＋ 翌 ｍａｘ｛叼，ｆ）．

为格林凼数。

证明由 （，）＝ （ｆ），０＜ｔ＜１，可以得到

（ｆ）＝ （ ） （ ） ＋Ａｔ２＋Ｂｔ＋ｃ，

ｕ（Ｏ１＝Ｃ，

（１）＝ 厅（ ） ＋２Ａ，

＂ ）： １ Ｊ＇

ｏ

＂（０－ ） （ｓ）出＋却 ＋ＢＵ＋Ｃ，

ｃ＝ 肌） 一 ）出，

因此，边值问题（１．３）有唯一解

（，） 圭 （ — ） （ ） 一１２ ｔ （ ）出＋御 （ ）ｃｂ一

，ｒ（ ） （ ） ＋ ）凼一

） （ ）ｕｓ：

一、ｌ， ＿

叫 ） 凼

／ｆ●Ｉ、，，

厅 ０

ｆ

、ｌ， ＋

出 一２

十

／，●●●

一／ 一『『ｂ

ｔ

（ ￥ ２ ） ＋ １ ｒ２

Ｊ０２

０７７２

州 ∥

Ｉ

Ｊ。—２（１—－ｏ－

ｚｚＩ ｌ） ＋

ｔ２＿ｔｓ＋ｒｌｓ＿￣ （７７

７２

ｚ

—一

Ｊ

：

ｌ ）

希 一、●

山Ｉ ２

叩

＼

Ｇ（ ） （

（１．５）

引理ｌ・２ 若０＜ ＜ｌ， ≤叼＜ｌ，ｇ（ｓ）

ｍｉｎ｛ ，７７ ）’ 则格林函数满足

ｇ（ ） Ｇ（ｔ， ） ｇ（ ），，， ∈［０，１］。

证明当 ｍｉｎ｛ｔ，叩｝时，结论显然成立。

现证当ｔ Ｓ ”的情形，由式（１．４）可知

Ｇ（ ）一ｌ

２ｔ２＋ｔｓ＋

＋ ｇ ）（㈤ １．６）

＝

２０ 井冈山大学学报（自然科学版）

咖）＝÷ …丽Ｏ－Ｓ２≥ （ ）

（１．７）

当７７ ｔ时，由式（１．４）有

）： ｔ２－－ｔｓ＋７ｔ￣‘

）… ｑ２＋

（ 一７７）（ｓ＋７－２ｔ）＋ 丽７７２

南 ｇ（ ） ‘Ｌ８

并且

）： ｔ２－－ｔｓ＋ｔｉｔ ０３７ ２

（ｓ－７／）＋

＋ ）…丽ｏ－７２≥ （

（１．９）

ｍａｘ｛７，ｔｌ 时，由式（１．４）知

Ｇ（ ）：Ｉｔ＋７ｔ－￣

ｏｒ７２ 芋＋ ０＂７／ ２ ｇ（ ）

、

（１．１Ｏ）

且

Ｇ（ ）＝２

ｔ２＋７ｔ。 ｏｒ ／２

≥

２

一 ‘＋‘ ＋ ２ 丽 ０ｇＩ（ ）

ｔ

一

（１．１１）

综上所述，Ｅｈ￣（１．６）一（１．１１）￣ｔ

ｇ（ ） Ｇ（ｆ， ） ｇ（ ），（ｆ， ）∈【ｏ，１］×【０，１］

（１．１２）

证毕。

引理１．３（锥拉伸与压缩不动点定理）设Ｅ是

Ｂａｎａｃｈ空间，ＫｃＥ是一个锥，Ｑ， 都是Ｅ中的

有界开子集，使得０∈Ｑ， ｃ ，又设 ：Ｋ 是

全连续算子，如果下列条件之一满足

（１）Ｉ｛ ｌＩ－＜Ｉｌ ｕ Ｉｌ， ∈ ｎ池，且Ｉｃ Ｔｕ ｃＩ－－ＩＩ ｕ ｌｉ，

∈ＫＮ ；或者

（２）ｌ１ ∈ＫＮｃ￣Ｑ，且ｌｌ ｌＩ－－Ｉ ，

∈ＫＮｏＰ￣Ｎ Ｔ在 ｎｆ ／ｑ）中至少有一个不动

点。

定理１．１假设条件（Ａ１），（Ａ２），（Ａ３）满足，

则Ｔ： ／Ｑ 是全连续的。

证明由“∈ ／Ｑ 及条件（Ａ３），引理１．２和

式（１．１），显然有ＴＫ ｃ Ｋ。

对 ２，设

ｌ

ｉｎｆ

０ ｔ＜一；

．

ｔ＜ｓ＜ｔ

（ ），

ｎ

（ｆ）： 口（ｆ），

ｆ≤ ：

（１・ ３）

，ｚ ｎ

口（ ），

ｎ－

１

——

＜ １．

，

ｎ

则 ：［０，１］ 【０，＋。。）连续， （ ） 口（ ），ｔｅ（ｏ，１）

令（ ）（ｆ）＝ Ｇ（ｆ， （ ）／（ （ ）） ，ｆ∈【０，１】，与

前面的证明相似，可证 ： ／Ｑ Ｋ是全连续的。

设

０≤ ＜ ，

ｍ

）：

｛Ｉ ，

ｏ－

（ ），

ｓ≥一．

Ｌ

ｍ

Ｉ１．１

则

ｆｍ：【０，＋ｏ。） 【０，＋∞）连续， （ ）≤ （ ）， ∈（０，＋ｏ。）。

令 ．

（ ）（ｆ）＝ Ｇ（，， （ ） （ （ ）） ，ｔｅ［０，１１。

ｆ１．１５）

易知 ： ／Ｑ。 Ｋ是全连续算子。注意到式

（１．１３），（１．１４）及条件（Ａ２）得

甜～

ｌｉｍ ｓｕｐ

…

Ｇ（ （ ）（ （ ））一 （ｚ，（ ）））

衄

ｇ（ （ ）（ （ ））一 （ （ ））） ＝

…

ｌｉｍ ｓｕｐ ） （ （ ））一 （

ｓｕｐ ｇ）ａ（ｓ （ 。。’

井冈山大学学报（自然科学版） ２１

所以， ： ／Ｑ －－）Ｋ是全连续的，注意到

ｎ ｎ

ｆ 时ａｎ（ ）：口（ｆ），类似可证

ｎｌｉｍ 一 ｌｌ＝０， （１．１７）

－－－

｝ｏＯ

“∈ ／Ｑ．” “

因此，Ｔ： ／Ｑ 是全连续的算子。证毕。

２主要结果及证明

为万使起见，我们先定义卜回的一些符号

ｉｆｍ

ｆ （ｕ）ｌｉ ｍ ｆ （ｕ）

， ＝

．

，

＋

ｃ 哿蹄Ｊ：Ｇ（ ）口（ ） ，

Ｄ 毋蹄Ｊ：Ｇ（ ）口（ ） ，

故有０＜Ｄ Ｃ＜∞。

定理２．１假设条件（Ａ１），（Ａ２）满足，且存在

两正数ＭＩ≠Ｍ２，使

（Ｂ１）厂（ ） － Ｕ，ｖ ∈［ｏ， 】；‘

（Ｂ２） ） Ｍ２

，

Ｖ ∈【 ， ］，

则边值问题（３）至少有一个正解 ∈Ｋ，且

ｍｉｎ｛Ｍ１，Ｍ２） ＩｌｕｌＩ≤ｍａｘ｛Ｍ１， ）。

证明不失一般性，假设 ＜ ，令

＝

｛甜∈Ｅ： ｌＩ＜ ）， ＝｛ ∈Ｅ： ｌｌ＜ ），由

（Ｂ１）知，对任意 ∈ＫＮ ，有

＝ｍ

ｆ∈【ａ０’ｘ１］ Ｇ（ （ ） （ ）） ≤

ｍ

ａｘ Ｇ（ ， ）Ｍ

１ ｄｓ＝ ＝ ＩＩ

，

乙

所以

ｌ ｌＩ＜Ｉｌｕｌｌ， ∈露ｎ （２．１）

另外，由（Ｂ２）知，对任意 ∈ ｎ ，有

＾ ≤ｕ（ｓ） ＾ ， １

故

Ｉ１￣１１＝ｍ

ａ ｘ

ｆ￣Ｇ（ （ ）／（甜（ ））

』 Ｇ（ ） （ ）） ≥

ｆ Ｇ（ （ ） Ｍ２ ＝ Ｉ，

所以

ｌＩｒ．ＩＩ Ｉｌｕｌｌ， ∈ ｎａ ， （２．２）

应用引理１．２中的（１）及式（２．１），（２．２）知，Ｔ

在 ｎ（ Ｉ Ｑ１中有一个不动点 ，且 为边值问题

（３）的正解。证毕。

推论２．１假设条件

ｃ ｆ０＝Ｏ￣１ ；

４ ∈

（ ），

满足，则边值问题（３）至少有一个正解。

证明由（Ｂ３）可设ｓ： 一 ，＞０，则存在足

够小的Ｍ１＞０．使

１

￣ａｌ－ｌ－Ｅ＝一

，

Ｕ Ｃ

∈［０， ］， （２．３）

即满足定理２．１中条件（Ｂ１）．

由（Ｂ４）可设ｓ ＝卢 一—１ ＞０，则存在足够大

ＧＵ

的 ＞０，使

１

＝

，

∈［ ，佃］，（２．４）

毗当 ∈［ ， ］时，ｆ（ｕ） （ ＿Ｄ） Ｄ ，

即满足定理２．１中条件（Ｂ２）。

由定理２．１知，边值问题（３）至少有一个正解。证毕。

推论２．２假设条件

５ ｆｏ＝ａ２￣（去 ）；

（Ｂ６） ∈卜

满足，则边值问题（３）至少有一个正解。

证明由（Ｂ５）可设￡： 一 ０，则存在

ＧＤ

足够小的 ＞０，使

一

ｓ＝ …［ 一］ ，

因此，当 ∈［ｏ－ＭＥ，Ｍ２】时，有

Ｓ（ｕ） （ Ｄ）～ Ｄ～ＭＥ， （２．５）

即满足定理２．１中条件（Ｂ２）。

再考虑（Ｂ６），可设ｓ＝ １

一

／３：＞。，则存在足

够大的 ＞Ｍ２＞０，使

…

吉乙 一 ［ ，＋。。）

以下分两种情沉考虑

井冈山大学学报（自然科学版）

（ｉ）假设／无界；

够小的正数 ∈【０， ］，使得

厂（甜）＜ｃ～Ｍ１，０＜“＜Ｍ１， （２．１ｏ）

＞ ，使得

因ｆ∈ｃ（（０，１），（０，佃）），则有 ＞Ｐ。使

厂（ ） Ｓ（Ｍ ）， ∈（ｏ，Ｍ】。

由于Ｍ１＞ ，则

由（Ｂ６）及推论２．２的证明知，存在足够大的正数

厂（ ）≤／（ ）＜ ， ∈【０， 】， （２．６）

ｆ（ｕ）＜Ｃ ，０＜ ＜ ， （２．１１）

即满足定理２．１中条件（Ｂ１）。

（ｉｉ）假设

．

厂有界，则

ｆ（ｕ） Ｌ，Ｕ∈（０，＋ｏ０），

取足够大的 ＞ＬＣ，由上式知

ｆ（ｕ） Ｌ Ｃ ＾ ， ∈（０，＾ ）， （２．７）

即满足定理２．１中条件（Ｂ１）。

因此，由定理２．１知推论２．２得证。证毕。

推论２．３假设条件（Ｂ１），（Ｂ４）和（Ｂ５）成

立，’则边值问题（３）至少有两个正解ＵＩ￣Ｈ２且

Ⅲ 嘲 嘲

０ ＩＵｌＩ＜Ｍ ｌｌｕ２１ｌ。

证明由（Ｂ４）及推论２．１的证明知，存在足够

大的正数 ＞ ，使得

ｆ（ｕ）＞Ｄ ，甜∈［ ， 】， （２．８）

鉴于（Ｂ５）以及推论２．２的证明知，存在足够小的

正数 ∈［０， 】，使得

ｆ（ｕ）＞Ｄ一 ， ∈Ｉ ， ｌ （２．９）

由（Ｂ１）及定理２．１知，边值问题（３）至少有两个

正解甜１，Ｕ２，且

Ｍ２ ＜ １，／１＜Ｍ１≤Ｉ／／２Ｉ＜

证毕。

推论２．４假设条件（Ｂ２），（Ｂ３）和（Ｂ６）成

立，则边值问题（３）至少有两个正解 ，， ，，且

０ ｉ＜ ｌＩｎ『Ｉ。

证明由（Ｂ３）以及推论２．１的证明知，存在足

由（Ｂ２）及定理２．１知边值问题（３）至少有两个正解

ｌ，甜２，且满足

Ｍｌ之 ＩｎＩ＜Ｍ ＩＵ ＩＩ＜

证毕。

参考文献

Ｓｕｎ Ｙ Ｐ Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｔｈｉｒｄ．ｏｒｄｅｒ

ｔｈｒｅｅ‘ｐｏｉｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈ．Ａｎａ１．Ａｐｐ １．，

２００５（３０６）：５８９—６０３．

ｎＡｄｅｒｓｏｎ Ｄ Ｒ．Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ａ ｔｈｉｒｄ．ｏｒｄｅｒ

ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｉｇｈｔ ｆｏｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｍａｔｈ．ｎＡａ１．Ａｐｐ １．，

２００３（２８８）：１－１ ４．

ｎＡｄｅｒｓｏｎ Ｄ Ｒ，Ｄａｖｉｓ Ｊ Ｍ．Ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｎｄ

ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ ｆｏｒ ｔｈｒｅｅ－ｏｒｄｅｒ ｆｉｇｈｔ ｆｏｃａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ

ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈ．ｎＡａ１．Ａｐｐ１．，２００２（２６７）：１３５．１５７．

Ｆｅｎｇ Ｙ Ｌｉｕ Ｓ．Ｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ａ ｔｈｉｒｄ—ｏｒｄｅｒ ｔｗｏ．ｐｏｉｎｔ

ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ａｐ１．Ｍａｔｈ．Ｌｅｔｔ．，２００５（１ ８）：

１０３４ １０４０．

Ｌｉ Ｓ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｔｈｉｒｄ．ｏｒｄｅｒ

ｔｗｏ－ｐｏｉｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｍａｔｈ．ｎＡａ１．Ａｐｐ１．，

２００６（３２３）：４１３－４２５．

Ｙａｏ Ｑｉｎｇｌｉｕ．Ａｎ Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ Ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ａ

Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｔｈｉｒｄ—ｏｒｄｅｒ Ｔｗｏ－ｐｏｉｎｔ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ

Ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｃｈｉｎ．Ｑｕａｒｔ．Ｊ．Ｍａｔｈ．，２００８（２３）：６ １．６６．

Ｂａｉ Ｚｈａｎｂｉｎｇ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｓｏｍｅ

Ｔｈｉｒｄ—Ｏｒｄｅｒ Ｂｏｕｎｄａｒｙ－Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｅｌｅｃｔｉｏｎｉｃ

Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＤｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，２００８（２５）：１－６．