选修2

§1.1.1 命题导学案

【学习要求】

1．了解命题的概念.

2．会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式. 1．下列语句为命题的是 ( )

（1）若整数a是偶数，则a能被2整除；

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）相等的两个角正切值相等.

【当堂检测】

A．对角线相等的四边形 B．同位角相等

C． x≥2 D．x－2x－3<0

2

2．下列命题： 学习中要通过命题的一般形式把握命题，从命题的工具作用认识命题，不要过多地纠缠在判断一个语句

①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0； 是不是命题上，只要求能够从课本的例子中了解命题的概念就可以了.

22

③若a>b，则ac>bc；④矩形的对角线互相垂直. 其中假命题的个数是_______

3．把下列命题写成“若p，则q”的形式.

（1）ac>bc⇒a>b； （2）已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2； 1．命题：一般地，我们把用 表达的，可以 的陈述句叫做命题.

1

（3）当m>时，mx－x＋1＝0无实数根； （4）当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0；

2

4

（5）负数的立方是负数.

【学法指导】

【知识要点】

2．命题的真假：判断 的命题叫做真命题，判断 的命题叫做假命题.

3．命题的形式：在数学中，“ ”是命题的常见形式，其中p叫做命题的 ，q叫做命题的 .

【问题探究】

探究点一 命题的概念及分类

问题1 我们在初中已经学过许多数学命题，你能举出一些数学命题的例子吗？当时是怎么定义命题的？ 1．根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出

问题2 观察下列语句的特点： 证明，假命题只需举出一个反例即可.

（1）两个全等三角形的周长相等； （2）5能被2整除； 2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形

（3）对顶角相等； （4）今天天气真好啊！ 式，大前提应保持不变.

（5）请把门关上！ （6）2是质数吗？

（7）若x＝2，则x＝4； （8）3＋2＝6.

2

回答：①以上有几个命题？

②命题必须具备什么特征？

问题3 数学中的定义、公理、定理都是命题吗？ 1．了解四种命题的概念.

问题4 怎样判断一个命题是真命题还是假命题？ 2．认识四种命题的结论，会写出某命题的逆命题，否命题和逆否命题.

例1 判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由. 3．理解四种命题的关系.

（1）求证3是无理数. （2）若x，则x＋4x＋4≥0.

R

2

（3）你是高一的学生吗？ （4）并非所有的人都喜欢苹果.

（5）若xy是有理数，则x、y都是有理数. （6）60x＋9>4.

跟踪训练1 判断下列语句中哪些是命题，是真命题还是假命题？ 在本节的学习中，不要去死记硬背形式化的定义与模式，而应多通过具体实例，发现四种命题形式间的

（1）末位是0的整数能被5整除； （2）平行四边形的对角线相等且互相平分； 逻辑关系，并能利用这种关系对命题真假作出判断，从而体会正难则反思想的应用.

（3）两直线平行，则斜率相等； （4）△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；

（5）余弦函数是周期函数吗？

探究点二 命题的结构 1．四种命题的概念

问题 在数学中，命题的常见形式为“若p，则q”，除此以外，还可以写成什么形式？ 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样

例2 把下列命题改写成“若p，则q”的形式： 的两个命题叫做 .其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的 .

（1）各位数数字之和能被9整除的整数，可以被9整除； 也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为 .

（2）斜率相等的两条直线平行； 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样

（3）能被6整除的数既能被3整除也能被2整除； 的两个命题叫做 .如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的 .

（4）钝角的余弦值是负数. 也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为 .

跟踪训练2 指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假. 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样

【课堂小结】

§1.1.2 四种命题§1.1.3 四种命题间的相互关系导学案

~

【学习要求】

4．会利用命题的等价性解决问题.

【学法指导】

【知识要点】

1

的两个命题叫做 .如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的 . 探究点三 等价命题的应用

也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为 . 问题 我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明

2．四种命题的相互关系 原命题为真命题.你认为等价命题证明问题和反证法是不是一回事？

例3 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.

R

跟踪训练3 证明：若a－4b－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

22

【当堂检测】

1．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )

A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

2．命题“如果x<1，则－1<x<1”的逆否命题是 ( )

2

A．如果x<1 3．四种命题的真假性之间的关系

22

≥1，则x≥1，或x≤－1 B．如果－1<x<1，则x

C．如果x>1或x<－1，则x>1 D．如果x≥1或x≤－1，则x（1）两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性.

22

≥1

3．命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是_________，它是_____命题(填“真”或“假”). （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 .

4．给出以下命题：

①“若x＋y

22

≠0，则x、y不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x＋x－m＝0有实根”的逆否命题. 其中为真命题的是________. 探究点一 四种命题的概念

2

5．若命题的逆命题是，命题的否命题是，则是的（ ）.

pp

qq

rr

A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题 D．以上结论都不正确

【问题探究】

问题1 观察下列四个命题：

（1）若两个角是对顶角，则它们相等； （2）若两个角相等，则它们是对顶角；

（3）若两个角不是对顶角，则它们不相等； （4）若两个角不相等，则它们不是对顶角.

命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？

问题2 若(1)为原命题，则(2)为(1)的________命题，(3)为(1)的________命题，(4)为(1)的________命题.

问题3 在四种命题中，原命题是固定的吗？

例1 把下列命题写成“如果p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.

（1）正数的平方根不等于0；

（2）当x＝2时，x＋x－6＝0.

2

跟踪训练1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：

（1）实数的平方是非负数；

（2）若x、y都是奇数，则x＋y是偶数.

探究点二 四种命题的关系

问题1 通过以上学习，你认为如果原命题为真，那么它的逆命题、否命题的真假性是怎样的？

问题2 原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？

问题3 四种命题中，真命题的个数可能为多少？

例2 下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯

形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac>bc，则a>b”的逆命题.

22

其中的真命题是__________.

跟踪训练2 有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题； ②“若a≥b，则a

22

≥b”的逆否命题；

③“若x≤3，则x－x－6>0”的否命题； ④“对顶角相等”的逆命题.

2

其中真命题的个数是 ( )

A．0 B．1 C．2 D．3

2

【课堂小结】

1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：

（1）找出命题的条件p和结论q；

（2）写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；

（3）按照四种命题的结构写出所有命题.

2．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.

§1.2.1 充分条件与必要条件导学案

【学习要求】

1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义.

2．会判断某些条件之间的关系.

【学法指导】

充分条件、必要条件是常用的逻辑用语，在数学中有广泛的应用，对于理解数学有很大的帮助.在此引入概念，

对于这两个概念的准确理解需要一定的时间体会和思考，对于概念的运用和掌握依赖于后续的学习，不要急

于求成，而应在后续的学习中经常借助这些概念表达、阐述和分析.

【知识要点】

充分条件与必要条件

命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题

推出关系

条件关系

p q p q

p是q的 条件 p不是q的 条件

q是p的 条件 q不是p的 条件

【课堂小结】

1．充分条件、必要条件的判断方法：

（1）定义法：直接利用定义进行判断.

（2）等价法：“p⇔q”表示p等价于q，要证p⇒q，只需证它的逆否命题綈q⇒綈p即可；同理要证p⇐q，只需

证綈q⇐綈p即可.所以p⇔q，只需綈q⇔綈p.

（3）利用集合间的包含关系进行判断.

2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转

化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.

【问题探究】

探究点一 充分条件、必要条件

问题1 判断下列两个命题的真假，并思考命题(1)中条件和结论之间的关系：

（1）若x>a＋b，则x>2ab；

22

（2）若ab＝0，则a＝0.

问题2 结合充分条件、必要条件的定义，说说你对充分条件与必要条件的理解.

问题3 判断命题“若x＝1，则 x－4x＋3＝0”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释.

2

问题4 结合以上分析，请你归纳判断充分条件，必要条件有哪些方法？

例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必

要条件，既不充分也不必要条件)

（1）p：(x－2)(x－3)＝0，q：x＝2； （2）p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；

（3）p：x>1，q：x>1； （4）p：x，y不全为0，q：x＋y≠0.

2

跟踪训练1 指出下列命题中，p是q的什么条件？

（1）p：x＝2x＋1，q：x＝2x＋1； （2）p：a＋b＝0，q：a＋b＝0；

222

（3）p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1； （4）p：sin α>sin β，q：α>β.

探究点二 充分条件、必要条件与集合的关系

问题 设集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A⊆B，则p是q的什么条件？q是p的什

么条件？

例2 是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由.

2

跟踪训练2 已知p：3x＋m<0，q：x－2x－3>0，若p是q 的一个充分不必要条件，求m的取值范围.

2

§1.2.2 充要条件导学案

【学习要求】

1．理解充要条件的意义.

2．会判断、证明充要条件.

【学法指导】

在数学中，形如“p是q的充要条件”的命题是相当普遍的.要证明命题的条件是充要条件，就是既要证明

原命题，又要证明原命题的逆命题.证明原命题即证明命题条件的充分性，证明原命题的逆命题，即证明命题

条件的必要性.在本节的学习中注意体验数学的等价转化思想，增强逻辑思维能力.

【知识要点】

1．如果既有 ，又有 ，就记作p⇔q，p是q的充分必要条件，简称 条件.

2．概括地说，如果 ，那么p与q互为充要条件.

【问题探究】

【当堂检测】

1．a<0，b<0的一个必要条件为 ( )

A．a＋b<0 B．a－b>0 C．>1 D．<－1

aa

bb

2．如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的______________条件

3．若“x<m”是“(x－1)(x－2)>0”的充分不必要条件，求m的取值范围.

4．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充

分也不必要条件)

（1）p：△ABC中，b>a＋c，q：△ABC为钝角三角形；

222

（2）p：△ABC中有两个角相等，q：△ABC是正三角形；

（3）若a，b∈R，p：a＋b＝0，q：a＝b＝0.

22

探究点一 充要条件的判断

问题1 已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，那么p是q的什么条件？q又是p的什么

条件？

问题2 结合实例说说你对充要条件的理解.

例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（1）p：b＝0，q：函数f(x)＝ax＋bx＋c是偶函数；

2

（2）p：x>0，y>0，q：xy>0；

（3）p：a>b，q：a＋c>b＋c.

跟踪训练1 （1）a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )

A．ab＝0 B．ab>0 C．a＋b＝0 D．a＋b>0

2222

3

（2）x>2的一个必要不充分条件是__________；x＋y>0的一个充分不必要条件是_________________.

（3）“函数y＝x－2x－a没有零点”的充要条件是________.

2

1．“p且q”就是用联结词“ ”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作 .

探究点二 充要条件的证明 2．“p或q”就是用联结词“ ”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作 .

例2 已知数列{a}的前n项和S＝p＋q (p≠0且p≠1)，求证数列{a}为等比数列的充要条件为q＝－1. 3．真值表

nnn

n

跟踪训练2 求证：方程x＋(2k－1)x＋k＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2.

22

跟踪训练3 求关于x的方程ax＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.

2

【知识要点】

p q p∧q p∨q

真 真

真 假 假

假 真 真

假 假 假

【当堂检测】

1．“lg x>lg y”是“x>y”的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．设{a}是等比数列，则“a<a<a}是递增数列”的 ( )

n123n

”是“数列{a

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．设φ，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的 ( )

R

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋1＝0与直线3x＋my＋3＝0垂直”的___________条件.

5．已知直线l：x＋ay＋6＝0和l：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l∥l的充要条件是a＝________.

1212

6．

已知、是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，那么

p

qq

rr

ss

（1）是的什么条件？（2）是的什么条件？（3）是的什么条件？

s

qqq

r

p

【问题探究】

探究点一 p∧q命题

问题1 观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什

么关系？

问题2 分析问题1中三个命题的真假，并归纳p∧q型命题的真假和命题p，q真假的关系.

例1 将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真假：

（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；

（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；

（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.

跟踪训练1 指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q，并判断它们的真假.

（1）(n－1)·n·(n＋1) (n)既能被2整除，也能被3整除；

N

*

（2）是{}的元素，也是{}的真子集.



探究点二 p∨q命题

问题1 观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？

问题2 分析问题1中三个命题的真假，并归纳p∨q型命题的真假与p、q真假的关系.

例2 分别指出下列命题的形式及命题的真假：

（1）相似三角形的面积相等或对应角相等；

（2）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；

（3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.

跟踪训练2 对下列各组命题，用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断它们的真假.

（1）p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0；

（2）p：3>4，q：3<4；

（3）p：π是整数，q：π是分数.

探究点三 p∨q与p∧q的应用

问题 如果p∧q为真命题，那么p∨q一定是真命题吗？反之，如果p∨q为真命题，那么p∧q一定是真命题

吗？

例3 设有两个命题.命题p：不等式x－(a＋1)x＋1≤0的解集是；命题q：函数f(x)＝(a＋1)在定义域内是

2x



增函数.如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围.

跟踪训练3 本例中其它条件不变，把“p∧q为假命题，p∨q为真命题”改为“p∨q为真命题”，求a的取值范围.

【课堂小结】

1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.

2．充要条件的证明与探求

（1）充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.

（2）探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直

接求出充要条件.

§1.3.1 且(and)~1.3.2 或(or) 导学案

【学习要求】

1．了解联结词“且”“或”的含义.

2．会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.

【学法指导】

用集合的“交”、“并”之间的关系理解由“且”、“或”构成的命题，建立命题和集合运算之间的关系，体会逻

辑用语在表述中的作用，注意逻辑联结词“或”与自然语言中的“或者”的区别与联系，以便准确地表达相关的

数学知识.

4

【当堂检测】

1．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的 ( ) （2）p：y＝tan x是偶函数；q：y＝tan x不是偶函数.

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 问题2 逻辑联结词“非”的含义是什么？

2．给出下列命题： 例1 写出下列命题的否定，并判断其真假.

①2>1或1>3； ②方程x－2x－4＝0的判别式大于或等于0；

2

③25是6或5的倍数； ④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集. （4）p：5＋6≠11； （5）p：空集是任何非空集合的真子集.

其中真命题的个数为 跟踪训练1 写出下列命题的否定形式. ( )

A．1 B．2 C．3 D．4 （1）面积相等的三角形都是全等三角形；

3．“p是假命题”是“p或q为假命题”的___________条件. （2）若m＋n＋a＋b＝0，则实数m、n、a、b全为零；

4．p：<0，q：x－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是_______________________.

问题1 观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？

（1）p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根.

（1）p：3是有理数； （2）p：5不是75的约数； （3）p：7<8；

2222

（3）若xy＝0，则x＝0或y＝0.

探究点二 命题的否定与否命题

问题1 已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定，并加以辨析.

问题2 填写下表中常见词语的否定形式：

正面 等于 大于 小于 都(全) 任意任意

词语 (＝) 是 的 两个

否定

词语

正面

词语

至多一个 p且q 至少有一个 至多n个 p或q

(>) (<)

能 是 所有

1

2

x－3

【课堂小结】

1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的

“或”两个中至少选一个.

2．一个复合命题，从字面上看不一定是“或”、“且”字样，这样需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联

结词的关系，如“或者”，“x＝±3”、“≤”的含义为“或”；“并且”，“綊”的含义为“且”.

§1.3.3 非(not) 导学案

【学习要求】

1．理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.

2．逻辑联结词“或”“且”“非”的初步应用.

否定

词语

【学法指导】

从逻辑联结词“非”的含义理解命题的否定(非命题)，也可以利用补集来理解命题的否定，培养批判思维

能力.

例2 写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.

（1）若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；

（2）若xy＝0，则x＝0或y＝0.

跟踪训练2 写出下列各命题的非(否定).

（1）p：100既能被4整除，又能被5整除； （2）q：三条直线两两相交；

（3）r：一元二次方程至多有两个解； （4）s：2<x≤3.

探究点三 p∨q、p∧q、綈p命题的综合应用

问题 对涉及命题的真假且含参数的问题，参数范围怎样确定？

3

例3 设命题p：函数f(x)＝log|x|在(0，＋∞)上单调递增，命题q：关于x的方程x＋2x＋log＝0的解集只

aa

2

2

有一个子集.若“p或q”为真，“綈p或綈q”也为真，求实数a的取值范围.

跟踪训练3 已知a>1，命题p：a(x－2)＋2>0，命题q：(x－1)>a(x－2)＋1.若p∨綈q为真，綈q为假，求

2

实数x的取值范围.

【知识要点】

1．命题的否定

一般地，对一个命题p ，就得到一个新命题，记作綈p，读作“ ”或“ ”.

2．命题綈p的真假

若p是真命题，则綈p必是 ；若p是假命题，则綈p必是 .

【问题探究】

探究点一 綈p命题

5

【当堂检测】

1．已知命题p：3≥3，q：3>4，则下列判断正确的是 ( )

A．p∨q为真，p∧q为真，綈p为假 B．p∨q为真，p∧q为假，綈p为真

C．p∨q为假，p∧q为假，綈p为假 D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假

2．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是 ( ) （1）x>3； （2）2x＋1是整数；

A．(綈p)∨q B．p∧q C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)

－－

【问题探究】

探究点一 全称量词与全称命题

问题1 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？

（3）对所有的x，x>3； （4）对任意一个x,2x＋1是整数.

RZ

问题2 怎样判定一个全称命题的真假？

例1 判断下列全称命题的真假：

（1）所有的素数是奇数； （2）∀x，x＋1≥1；

R

2

（3）对每一个无理数x，x也是无理数.

2

跟踪训练1 试判断下列全称命题的真假： A．q，q B．q，q C．q，q D．q，q

（1）∀x，x＋2>0；(2)∀x，x

R

24

N

≥1.

探究点二 存在量词与特称命题

问题1 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？

（1）2x＋1＝3； （2）x能被2和3整除；

（3）存在一个x，使2x＋1＝3；

00

R

（4）至少有一个x，x能被2和3整除.

00

Z

问题2 怎样判断一个特称命题的真假？

例2 判断下列特称命题的真假：

（1）有一个实数x，使x＋2x＋3＝0；

000

2

（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；

（3）有些整数只有两个正因数. 2．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别.

跟踪训练2 判断下列命题的真假：

（1）∂x，x<1；

00

Z

3

（2）存在一个四边形不是平行四边形；

（3）有一个实数α，tan α无意义.

探究点三 全称命题、特称命题的应用

问题 不等式有解和不等式恒成立有何区别？

例3 （1）已知关于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围； 1．通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义．

22

（2）令p(x)：ax＋2x＋1>0，若对∀x，p(x)是真命题，求实数a的取值范围.

2

R

跟踪训练3 （1）对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立，求实数m的取值范围；

（2）存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值范围.

3．已知命题p：函数y＝2－2在上为增函数.p：函数y＝2＋2在上为减函数.

12

xxxx

RR

则在命题q：p∨p，q：p∧p，q：(綈p)∨p和q：p∧(綈p)中，真命题是 ( )

112212312412

13231424

4．若命题p：2n－1是奇数，n，q：2n＋1是偶数，n.则p，q，綈p，綈q，p∧綈p，p∨綈p，p∧

ZZ

綈q，p∨綈q，綈p∧綈q，綈p∨綈q中真命题的个数是________.

【课堂小结】

1．若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U

中的补集∁p.因此(綈p)∧p为假，(綈p)∨p为真.

U

§1．4.1 全称量词§1．4.2 存在量词导学案

~

【学习要求】

2．会判断全称命题和特称命题的真假．

【学法指导】

通过实例体会全称命题、特称命题的形式及含义，运用类比的思想学习两个概念，找出它们的异同，体

会数学、文字语言与符号语言的统一，加深对命题与量词描述客观事实和数学问题的认识.

【当堂检测】 【知识要点】

1．下列命题中特称命题的个数是 ( ) 1．全称量词

①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sin x|≤1. 定义：短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.

A．0 B．1 C．2 D．3 全称命题：含有 的命题，叫做全称命题.

2．下列命题中的假命题是 ( ) 形式： .读作：“对任意x属于M，有p(x)成立”.

A．∂x，lg x＝0 B．∂x，tan x＝1 C．∀x，x>0 D．∀x,2>0

RRRR

3x

3．用量词符号“∀”“∂”表述下列命题： 定义：短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.

（1）凸n边形的外角和等于2π. 特称命题：含有 的命题，叫做特称命题.

（2）有一个有理数x满足x＝3. 形式： .读作：“存在一个x属于M，使p(x)成立”.

0000

2

6

2．存在量词

（3）对任意角α，都有sin（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆；

22

α＋cosα＝1.

【课堂小结】

1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不（1）三个给定产品都是次品；

含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断. （2）数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；

2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，

则该全称命题是假命题. （4）可以被5整除的整数，末位是0.

3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元探究点二 特称命题的否定

素都不成立，则该特称命题是假命题. 问题1 你能写出下列特称命题的否定吗？

§1.4.3 含有一个量词的命题的否定导学案

【学习要求】

1．能正确地对含有一个量词的命题进行否定. （2）p：有的三角形是等边三角形；

2．理解全称命题与特称命题之间的关系. （3）p：有一个素数含三个正因数.

【学法指导】

要正确地对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否定，我们一方面要充分理解量词的含义，另一方（2）p：若a＝－2n＋10，则∂n∈N，使S<0.

面应充分利用原先的命题与它的否定在形式上的联系. 探究点三 特称命题、全称命题的综合应用

通过探究观察，总结规律，容易得到全称命题的否定是特称命题，以及特称命题的否定是全称命题的结论. 例3 已知函数f(x)＝4x－2(p－2)x－2p－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范

【知识要点】

1．全称命题的否定： 有一个方程有实数解，求实数a的取值范围.

全称命题p：∀xM，p(x)，它的否定綈p：



2．特称命题的否定：

特称命题p：∂xM，p(x)，它的否定綈p：

00



3．全称命题的否定是 命题.特定命题的否定是 命题.

（3）p：对任意x，x的个位数字不等于3.

Z

2

跟踪训练1 写出下列命题的否定：

（3）∀a，b，方程ax＝b都有惟一解；

R

（1）有些实数的绝对值是正数；

（2）某些平行四边形是菱形；

（3）∂x，x＋1<0.

00

R

2

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

例2 写出下列特称命题的否定：

2

（1）p：∂x，x＋2x＋2≤0；

000

R

跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假.

（1）p：∂x>1，使x－2x－3＝0；

000

2

nn

22

围.

跟踪训练3 已知下列三个方程：(1)x＋4ax－4a＋3＝0；(2)x＋(a－1)x＋a＝0；(3)x＋2ax－2a＝0.若至少

2222

【当堂检测】

1．命题：对任意x，x－x＋1≤0的否定是 ( )

R

32

3322

A．不存在x，x－x＋1≤0 B．存在x，x－x＋1≥0

000000

RR

2323

C．存在x，x－x＋1>0 D．对任意x，x－x＋1>0

000

RR

2．对下列命题的否定说法错误的是 ( )

【问题探究】

探究点一 全称命题的否定

问题1 我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”.对给定的命题p，如何得到命题p的否定(或綈p)，它们的真

假性之间有何联系？

问题2 你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？

（1）所有矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）∀x，x－2x＋1≥0.

R

2

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

例1 写出下列全称命题的否定： 4．命题“零向量与任意向量共线”的否定为______________________

（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数；

A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数

B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形

C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形

D．p：∂x，x＋x＋2≤0；綈p：∀x，x＋x＋2>0

RR

22

3．命题“对任何x，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是____________________________

R

【课堂小结】

7

对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题： 数m的取值范围.

（1）确定命题类型，是全称命题还是特称命题. 题型二 分类讨论思想

（2）改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词. 例3 已知命题p：关于x的方程x－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x＋ax＋4在[3，＋∞)上

（3）否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等. 是增函数.若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围.

（4）无量词的全称命题要先补回量词再否定. 跟踪训练3 已知命题p：方程2x＋ax－a＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x＋2ax

§章末复习课导学案

【知识要点】

22

222

000

＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围.

【当堂检测】

1．已知a，b，c，命题“若a＋b＋c＝3，则a＋b＋c

R

222

≥3”的否命题是 ( )

A．若a＋b＋c≠3，则a＋b＋c<3 B．若a＋b＋c＝3，则a＋b＋c<3

222222

C．若a＋b＋c≠3，则a＋b＋c＋b＋c

222222

≥3 D．若a≥3，则a＋b＋c＝3

2．已知命题p：∂n,2>1 000，则綈p为 ( )