幂函数奇偶性

学法指导

奇偶性是幂函数的翅膀

开远市教科所

赵宏伟

幂函数是高中数学的一个内容，也是函数的重要

模型，如何很好地掌握幂函数的图像和性质呢？首先要

识记幂函数在第一象限内的图像，其次分析幂函数的

奇偶性，得出整个幂函数的图像与性质．

幂函数y=x

αα

在第一象限的图像如图在α取值不同

1所示，图像恒

过（1,1）.幂指数α＞0时，图像过点（0,0）,为增函数，其中的情况下的图像.

0＜α＜1，函数图像上凸递增；α＞1，函数图像下凸递增；

α=0时为直线y=1（除去点（0,1））；α＜0时为减函数．

像分布在第一、二象限；若幂函数是非奇非偶函数，等

价于幂函数的图像只分布在第一象限．运用奇偶性可以

减少对幂函数图像的整体记忆，只需记忆第一象限的

图像特征，运用奇偶性可以整体分析幂函数的图像，对

幂函数的图像进行整体把握．下表为y=x

O

O

O

O

O

O

幂函数在第四象限没有图像，在第二、第三象限的

图像要结合奇偶性才能得出．

若幂函数是奇函数，等价于幂函数的图像分布在

第一、三象限；若幂函数是偶函数，等价于幂函数的图

OO

O

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学法指导

n

n∈N，（m，

例１幂函数y=x

且m、n互质）的图像

如图2所示，则（）

m

*

例４已知函数y=x

n-2n-3

2

（n∈Z）

的图像与两坐标轴

都无公共点，且其图像关于y轴对称，求n的值．

分析：因为幂函数图像与y轴无公共点，所以n

-2

n-

3≤0,，解得-1≤n≤3，又因为n∈Z，所以n=0，±1,2,3.又

因为图像关于y轴对称，所以n

-2

n-3为偶数．检验：当n=

0时，nn-3=-3不是偶数；当n=1时，nn-3=-4为偶

-2-2

数；当n=-1时，n

-2-2

n-3=0为偶数；当n=2时，nn-3=-3

22

22

2

2

m

A.m、n为奇数且

＜1.

n

B.m为偶数，n为奇数，

且

C.m为偶数，n为奇数，且

D.m奇数，n为偶数，

且

m

＞1.

n

m

＜1.

n

不是偶数；当n=3时，n

-2

n-3=0为偶数．因此，n的值

为-1，1或3．

例５已知函数f(x)=x

-2m+m+3

2

2

为偶函数，

（m∈Z）

f(3)＜f(5)，且，求m的值，并确定f(x)的解析式．

分析：∵幂函数f(x)=x

2

-2+m+3

m

2

（m∈Z）

为偶函数，

-2m+m+3

2

m

＞1.

n

nm

＜1，＞

即

mn

∴-2m必为偶数．又∵f(3)＜f(5)，即幂函数f(x)=x

+m+3

分析：

根据幂函数的图像得，x∈R，0＜

n

m

m

n

（m∈Z）

在第一象限内是增函数．∴根据幂函数的图像在

第一象限的走向得-2m

+m+3

＞0．解得-1＜m＜．

2

1，

又y=x且幂函数的图像关于y轴对称，所以

=，

姨

x

3

2

2

n为偶数，m为奇数．故选D．

1

例２幂函数的图像过点（2，

）

，则它的单调递增

4

区间是()

B.（0，＋∞)A.(0，＋∞)

D.(－∞，0)C.(－∞，＋∞)

又∵m∈Z，

即∴m=0或1．经检验：当m=0时，-2m

+m+

3=3+m+3=2

，为奇数（舍去）；当m=1时，-2m，为偶数．因

此，m＝1，f(x)=x

．

11

44

2

2

例６若

（3-2＜

m）

（m+1）

，

求实数m的取值范围．

1

1

分析：幂函数y=x

α

的图像过点

（2，，则α=-2.所

）

4

以幂函数y=x是偶函数，图像分布在第一、二象限，且

在第一象限内是减函数，由对称性知，在第二象限是增

函数，故选D．

1

-2

分析：根据已知条件，构造幂函数y=x

模型，

幂函

1

4

数y=x［0，+∞），是非奇非偶函数，且在第

的定义域是

11

44

4

（3-2＜

m）

一象限内是增函数．所以（m+1）3-

等价于

2m＞m+1≥0，解得-1≤m＜

2

．

3

α

例３函数y=x

的图像是

（）

3

综上所述，掌握幂函数y=x

的图像在第一象限

内的走向是关键，奇偶性又是幂函数的隐形翅膀，支

撑着整个幂函数的图像，突破了教材对幂函数的指

1

1,2,3}，

的限制，数α∈{-1，从而指数α可以自由翱

2

1

分析：根据幂函数y=x

的图像在第一象限内的走

1

3

翔在有理数之间，避免了一些不必要的讨论，深化和

拓展了思维.

◇责任编辑张莹◇

·7、82015

中学教师

又因为函数y=x故选B．

是奇函数，

向，

3

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