卡诺循环(1)

4．循环过程和卡诺循环

4．1循环过程

17世纪末发明了巴本锅和蒸汽泵，18世纪末瓦特给蒸汽机增添了冷凝器，

发明了活塞阀、飞轮、离心节速器等，完善了蒸汽机，使之真正成为动力。其后

蒸汽机被应用于纺织、轮船、火车。瓦特伟大功绩的取得在于他对蒸汽的性能有

着卓越的了解，他从经济有效性方面改进了蒸汽机。但是他的直接后继者却致力

于扩大机器的容量，尽管当时蒸汽机的效率仍然很低。扩大容量是实际工作者的

倾向，他们往往喜欢摸着石头过河，而提高经济有效性则需要具有热学理论头脑

的思想者，这个人便是一位年轻的法国炮兵军官萨地·卡诺（Sadi Carnot）。

在那个时代人们对蒸汽的巨大威力已有充分的认识，但蒸汽只是能量的携带者，

动力的真正来源是锅炉下面的火。卡诺确切地把蒸汽机、内燃机等以“火”为动

力的机械叫做热机，他要探索的是如何利用较少的燃料获得较多的动力，以提高

热机的效率和经济效益。

我们先简单地分析一下蒸汽机的工作过程。如图3-26所示，水泵B将水池

A中的水抽入锅炉C中，水在锅炉里被加热变成高温高压的蒸汽，这是一个吸热

过程。蒸汽经过管道被送入汽缸D内，在其中膨胀，推动活塞对外作功。最后蒸

汽变为废气进入冷凝器E中凝结成水，这是一个放热过程。水泵F再把冷凝器中

的水抽入水池A，使过程周而复始，循环不已。从能量转化的角度看，在一个工

作循环中工作物质（蒸汽）在高温热源（锅炉）处吸热后增加了自己的内能，然

后在汽缸内推动活塞时将它获得内能的一部分转化为机械功，另一部分则在低温

热源（冷凝器）处通过放热传递给外界。经过这一系列过程，工作物质回到原来

的状态。其它热机的具体工作过程虽然各有不同，但能量转化的情况却与上面所

述类似，即热机对外作功所需的能量来源于高温热源处所吸热量的一部分另一部

分则以热量的形式释放给低温热源。

为了从能量转化的角度分析各种热机的性能，我们引入循环过程及其效率的

概念。普遍地说，如果一系统由某个状态出发，经过任意的一系列过程，最后回

到原来的状态，这样的过程称为循环过程。图3-27所示的闭合曲线ABCDA即为

一个在p-V图上表示出来的准静态循环过程。对于任何循环过程系统的内能（和

其它一切态函数）不变。在p-V图上显示为顺时针闭合曲线的为正循环，逆时针

的为逆循环。

图3-27中所示的是正循环，在过程ABC中系统对外作正功，其数值等于

ABCNMA所包围的面积；在过程CDA中系统对外作负功，其数值等于CNMADC所包

围的面积。在整个循环过程中系统对外净作正功A′，其数值等于ABCDA所包围

的面积。同理可知，逆循环对外界净作负功，或者说外界对系统净作正功，其数

值A等于逆时针闭合曲线所包围的面积。

对于理想气体的任意准静态循环过程有一个重要的性质，即热量 Q与温

度T之比的积分恒等于0．现证明如下。按热力学第一定律

dU= Q-pdV，

对于理想气体dU=CdT，p=νRT／V，代入上式，用T除全式，得

V

都只与始态和末态的状态参量T、V和T、V有关，与路径无关，对于

1122

我们知道，沿任意闭合回路（循环过程）积分=0意味着积分与路径（过程）

无关（见第四章3．1节），即被积函数是个态函数。我们还知道，热量Q本身

不是态函数，上式是否表明热温比是个态函数？是的，至少对于理想气体如此。

其实这结论对所有工作物质普遍成立，不过论证这一点需要用到热力学第二定

律。热温比这个态函数叫做“熵”，这是热学里最重要的概念之一。热力学第二

定律和“熵”的概念正是下一章的中心内容。

令高温热源和低温热源给系统的热量分别为Q和Q，对于正循环Q＞0，Q

1212

＜0；对于负循环Q＜0，Q＞0．因为对于任何循环△U=0，按热力学第一定律

12

Q=Q+Q=A′=-A．故对于正循环A′＞0，Q＞Q′=-Q；对于负循环A=-A′＞0，

12122

Q′=-Q＞Q．

112

正循环热机的功能是将热量转化为机械功。从上面的分析可以看出，它不能

把从高温热源吸收来的热量Q全部转化为机械功A′，而必须将其中的一部分Q

12

排放给低温热源（见图3-28a）。热量转化为机械能的百分比称为正循环热机的

效率，记作η．于是

逆循环热机的功能是制冷，即通过外界作功A从低温热源汲取热量Q（见图

2

3-28b），故其制冷功能可用制冷系数ε来描述，其定义是制冷量Q与外功A之

2

比：

4．2理想气体卡诺循环及其效率

为了从理论上研究热机的效率，卡诺提出一种理想的热机，并证明它具有最

高的效率。卡诺热机的循环过程如图3-29所示，由两个等温过程和两个绝热过

程组成。正循环中第一个等温过程AB是系统与温度为T的高温热源接触的吸热

1

过程，相继的过程BC是从高温到低温的绝热膨胀过程，第二个等温过程CD是系

统与温度为T的低温热源接触的放热过程，最后的过程DA是从低温回到高温的

2

绝热压缩过程。上述循环倒过来进行，就是逆循环。上述循环过程称为卡诺循环

（Carnotcycle）。现在我们来研究以理想气体为工作物质的准静态正卡诺循环

的效率。在从状态B到状态C和从状态D到状态A的绝热过程中

在从状态A到状态B和从状态C到状态D的等温过程中

由此得

从而结合（3．56）式得

将（3．57）式代入（3．54）式，得正卡诺循环的效率

即理想气体准静态正卡诺循环的效率只由高、低温热源的温度T和T决定。

12

T愈高，T愈低，则效率愈高。

12

同理，对于逆卡诺循环

故理想气体准静态逆卡诺循环的制冷系数为

在一般情况下制冷系统的高温热源就是大气，T是室温。上式表明，希望达

1

到的制冷温度T愈低，制冷系数愈小。

2

例题7 一定量理想气体经过下列准静态循环过程：

（1）由状态V、T绝热压缩到状态V、T；

1A2B

（2）由状态V、T经等体吸热过程达到状态V、T；

2B2C

（3）由状态V、T绝热膨胀到状态V、T；

2C1D

（4）由状态V、T经等体放热过程达到状态V、T．

1D1A

求此循环的效率。

解：循环过程的p-V图如图3-30所示。对于两绝热过程，有

由此得

对于两等体过程，有

Q=C（T-T），Q′=C（T-T），

1VCB2VDA

于是

引入压缩比r=V／V，则

12

本题讨论的循环称为奥托循环（Otto cycle），或定体加热循环，它是四冲

程汽油机的工作循环。奥托循环的效率只由压缩比r所决定，r愈大，效率愈高。

例题8 一定量理想气体经过下列准静太循环过程：

（1）由状态V、T绝热压缩到状态V、T；

1A2B

（2）由状态V、T经等压吸热过程达到状态V、T；

2B3C

（3）由状态V、T绝热膨胀到状态V、T；

3C1D

（4）由状态V、T经等体放热过程达到状态V、T．

1D1A

求此循环的效率。

解：循环过程的p-V图如图3-31所示。对于等体过程和等压过程，有

Q=C（T-T），Q′=C（T-T），

1pCB2VDA

于是

对于两绝热过程，有

引入压缩比r=V／V，定压膨胀比ρ=V／V和绝热膨胀比δ=V／V，注意到

123213

δ=r／ρ，最后得到

本题讨论的循环称为狄塞尔循环（Diel cycle），或定压加热循环，它是

四冲程柴油机的工作循环。

例题9 一定量理想气体经过下列准静态循环过程：

（1）由状态V、T等温压缩到状态V、T；

1121

（2）由状态V、T等体降温到状态V、T；

2122

（3）由状态V、T等温膨胀到状态V、T；

2212

（4）由状态V、T等体升温到状态V、T．

1211

求此循环的制冷系数。

解：循环过程的p-V图如图3-32所示。对于两等温过程，有

对于两等体过程，系统与外界的热量交换相抵消，制冷系数为

本题讨论的循环称为逆向斯特令循环（reverd Stirling cycle），是回

热式制冷机的工作循环。

本章提要

1．热力学第一定律：

一般表述 △U=A+Q．

对准静态元过程 dU= A+ Q．

（1）内能U：态函数（增量与过程无关）。

（2）功A、热量Q：与过程有关。

对于pVT系统：dA′=pdV．

2．焓：H≡U+pV．

理想气体C-C=νR．

pV

（2）节流过程：在绝热管内加压使气体通过多孔塞，降压膨胀。

p、V、T、→p、V、T，

111222

H=H=常量。

12

（3）化学反应热与生成焓

化学反应过程1→2

通常化学反应在大气压下进行，属定压过程，化学反应热即反应焓。

规定反应焓：参考点选为p=1atm，T=298.15K（25℃）。

00

生成焓H：由纯元素合成某化合物的摩尔反应焓。

f

标准生成焓H：标准状态（1atm）下的生成焓。

f

赫斯定律：反应焓只与初态和末态有关，与中间步骤无关。

——可由间接反应的反应焓求生成焓，也可由生成焓求反应焓。

化学反应：aA+aA+„→bB+bB+„，

11221122

A、A„反应物，B、B„生成物；a、a、„，b、b、„，化学计量系数。

12121212

3．理想气体的热力学过程

（1）等温过程：pV=常量，

（2）绝热过程：Q=0

（3）多方过程：

4．循环过程△U=A+Q=0，Q=-A=A′．

工作在高温热源T和低温热源T之间的热机

12

卡诺循环：由两等温过程和两绝热过程组成。

思考题

3-1．试比较内能、热量和温度三概念的异同与联系。

“焓”一词英文旧称heat content，即物体中“含有的热量”，这名词恰

当吗？冰吸收熔解热而融化为水，我们能说“水比冰含有更多的热量”吗？正确

的说法应如何？

3-2．给自行车打气时气筒变热，主要是活塞与筒壁摩擦的结果吗？试给此

现象以正确的解释。

3-3．在暖水瓶内灌满开水后塞上瓶塞，瓶塞不会跳起来。当你倒些水出来

以后再塞上瓶塞，瓶塞过一会儿往往会跳起来。试解释之，并在p-V图上画出瓶

内空气经历的过程。

3-4．通常在p-V图上等温线和绝热线的斜率是负的，

（1）等温线可能是水平的吗？绝热线呢？

（2）绝热线的斜率可以是正的吗？等温线呢？

3-5．本题图所示的装置中气缸壁和活塞都是绝热的，内装搅拌器，缸里贮

有的某物质处于气液两相共存状态。此系统能实现等压膨胀过程吗？等压压缩过

程呢？

3-6．同上题装置，但内贮冰和水的混合物。此系统能实现等压膨胀过程吗？

等压压缩过程呢？

3-7．同上题装置，但内贮理想气体，它从p-V图上某点A的状态出发，能

到达附近所有的点吗？。试在p-V图上勾画出系统能够到达状态的范围。

3-8．试论证：沿气液共存的等温线压缩透热气缸内的物质时释放出来的热

量，等于系统焓的减少。

以上结论对单相气体是否成立？

3-9．推断下列过程中Q、A、△U、△H的正负或零值：

（1）水在1atm、25℃下蒸发；

（2）冰在1atm、0℃下融化；

（3）理想气体准静态绝热膨胀；

（4）理想气体准静态等温膨胀；

（5）理想气体准静态等压加热；

（6）理想气体准静态等体冷却；

（7）理想气体向真空绝热膨胀；

（8）理想气体绝热节流。

3-10．关于绝热过程的泊松公式（3．37）对混合理想气体适用吗？其中的

γ应怎样计算？

3-11．实际气体自由膨胀时温度升高还是降低？内能和焓怎样变化？

3-12．负热容量意味着此系统在放热的过程中升温，这可能吗？

3-13．理想气体的定体热容量C和定压热容量C都是正的，多方过程的热

Vp

容量C是正是负？

n

3-14．设居室的四壁基本上是绝热的，但漏气，室内空气的压强与外界的气

压平衡。冬季到了，室内开始生火。某甲不懂物理，某乙学过一点物理，某丙比

较熟悉热力学的概念。下面是他们的对话：

丙：你们说，屋子里为什么要生火？

甲：为了要暖和呗！

丙：你是说生火使室内空气的温度升高？

甲：是的。

乙：生火使室内空气的能量增加。

甲：用态函数的术语来表达，你说的“能量”指什么？

乙：内能。

甲：不对！这是等压过程，应指的是“焓”。

他们谁说得对？设空气可看作理想气体。

3-15．北京明十三陵中的定陵地下宫是1958年开发的。当时发现，在帝王

的灵柩前设有“长明灯”，那是装有灯芯的一大缸灯油。当初灯是点燃的，如今

500多年后早已熄灭了。长明灯不长明，倒不是因为灯油告罄，而是封门后的地

下宫内氧气早已耗尽，灯油却剩了满满一大缸。我们假设石壁能够透热，地下的

环境是恒温的，试分析从地下宫封门到长明灯熄灭的过程中此系统Q、A和△U

的正负或零值。

3-16．试推导Rossini-Frandn实验中所用的气体对外作功公式（3．20）。

式中的压强为什么取大气压p？在此实验中排气的管子为什么要设计得又细又

0

长？此实验中的排气过程是准静态过程吗？

3-17．自由绝热膨胀、可逆绝热膨胀和绝热节流膨胀三种方法都可以在减压

的过程中达到致冷的目的，试比较它们的效率。

3-18．夏天将冰箱的门打开，让其中的空气出来为室内降温，这方法可取吗？

3-19．冬天用空调机或电炉取暖，何者较省电？

3-20．你认为，效率公式（3．58），即

对非理想气体的可逆卡诺循环成立吗？不妨用范德瓦耳斯气体为例来验证

一下你的想法。

习题

3-1．0.020kg的氦气温度由17℃升到27℃．若在升温的过程中： （1）体

积保持不变；（2）压强保持不变；（3）不与外界交换热量，试分别求出气体内

能的改变，吸收的热量，外界对气体所作的功。设氦气可看作理想气体，

3-2．分别通过下列过程把标准状态下的0.014kg氮气压缩为原体积的一半：

（1）等温过程；（2）绝热过程；（3）等压过程。试分别求出在这些过程中内

能的改变，传递的热量和外界对气体所作的功。设氮气可看作理想气体，且

3-3．在标准状态下0.016kg的氧气，分别经过下列过程从外界吸收了80cal

的热量。（1）若为等温过程，求终态体积。（2）若为等体过程，求终态压强。

（3）若为等压过程，求气体内能的变化。设氧气可看作理想气体，且

3-4．室温下一定理想气体氧的体积为2.3L，压强为1.0atm，经过一多方过

程后体积变为4.1L，压强变为0.5atm．试求：（1）多方指数n；（2）内能的

变化；（3）吸收的热量；（4）氧膨胀对外界所作的功。设氧的

3-5．1摩尔理想气体氦，原来的体积为8.0L，温度为27℃，设经过准静态

绝热过程后体积被压缩到，求在压缩过程中外界对系统所作的功。设氦的

3-6．在标准状态下的0.016kg氧气，经过一绝热过程对外界作功80J．求

终态的压强、体积和温度。设氧气为理想气体，且

3-7．0.0080kg氧气，原来温度为27℃，体积为0.41L．若：

（1）经过绝热膨胀体积增为4.1L；

（2）先经过等温过程再经过等体过程达到与（1）同样的终态。

试分别计算在以上两种过程中外界对气体所作的功。设氧气可看作理想气

体，且

3-8．在标准状态下，1摩尔的单原子理想气体先经过一绝热过程，再经过

一等温过程，最后压强和体积均增为原来的两倍，求整个过程中系统吸收的热量。

若先经过等温过程再经过绝热过程而达到同样的状态，则结果是否相同？

3-9．一定量的氧气在标准状态下体积为10.0L，求下列过程中气体所吸收

的热量；

（1）等温膨胀到；

（2）先等体冷却再等压膨胀到（1）中所达到的终态。设氧气可看作理想气

体，且

3-10．证明：当γ为常数时，若理想气体在某一过程中的热容量也是常量，

则这个过程一定是多方过程。

3-11．某气体服从状态方程p（V-νb）=νRT，内能为

U=CT+U，

V0

C和U是常量。试证明：在准静态绝热过程中，这气体满足方程

V0

p（V-νb）=常量，

γ

其中γ=C／C，C=C+νR．

pVpV

3-12．在24℃时水蒸气的饱和气压为2.9824×10Pa．若已知在这条件下水

3

蒸气的焓是2545.0kJ／kg，水的焓是100.59kJ／kg，求在这条件下水的汽化热。

3-13．分析实验数据表明，在1atm下，从300K到1200K范围内，铜的定压

摩尔热容量

其中a=2.3104，b=5.92，

升到1200K时铜的焓的改变。

3-14．设1摩尔固体的状态方程可写作

内能可表示为

U=cT-apT，

mol

（1）摩尔焓的表达式；

3-15．试证明：按绝热大气模型，高度h与压强p的关系为

式中p和T为地面h=0处的压强和温度。

00

3-16．如本题图，一除底部外都是绝热的气筒，被一隔板隔成体积相等的两

部分A和B，其中各盛有1摩尔的氮气，初始温度皆为0℃，压强1atm．气筒顶

部是活塞，其上压强始终保持p=1atm．今将80.0cat的热量缓慢地供给气体，

0

在下列两种情况下求A、B两部分p、V、T的变化：

（1）隔板固定而导热（其热容量可忽略）；

（2）隔板可自由滑动且绝热。

3-17．如本题图，用绝热壁作成一圆柱型容器，中间放置一无摩擦的绝热活

塞。活塞两侧充有等量的同种气体，初始状态为p、V、T．设气体定体热容量

000

C为常量，γ=1.5．将一通电线圈放到活塞左侧气体中，对气体缓慢地加热。左

V

侧气体膨胀的同时通过活塞压缩右方气体，最后使右方气

（1）活塞对右侧气体作了多少功？

（2）右侧气体的终温是多少？

（3）左侧气体的终温是多少？

（4）左侧气体吸收了多少热量？

3-18．设燃气涡轮机内工质进行如本题图所示的循环过程，其中1→2、3→

4是绝热过程，2→3、4→1是等压过程。试证明这循环的效率η为

又可写为

式中ε=p／p是绝热压缩过程的升压比。设工作物质为理想气体，C为常量。

p21p

3-19．试证明：在理想气体准静态绝热膨胀过程中温度变化△T与压强变化

△p的关系为

3-20．分别计算在下列三过程中1摩尔氩气温度的降低：

（1）从初始温度300K和初始体积10m自由膨胀到体积2×10m；

-33-33

（2）通过可逆绝热膨胀完成上述状态的变化；

（3）通过绝热节流膨胀从上述初始状态降到1.2×10Pa的终压（此数值的

6

选择使终态体积亦近似等于2×10m）。

-33

=20.9J／（mol·K），在（3）中设氩气服从范德瓦耳斯方程，其中a=0.136m·Pa

6

／mol，b=3.22×10m／mol．

2-53

3-21．试证明：空气中声速c与分子方均根速率v之比为

srms

3-22．燃料电池是把化学能直接转化为电能的装置。本题图所示的燃料电池

一例，把氢气和氧气连续通入多孔Ni电极，Ni电极是浸在KOH电解液中的。在

两极进行的化学反应为

总效果是

从表3-2查得液态水在25℃时的标准生成焓为-285.84kJ／mol，在此状态

下电池的电动势为1.229V，试求此燃料电池的效率。

3-23．乙烷（CH）的生成焓应等于下列反应25℃时的标准摩尔反应

26

2C（石墨）+3H（气）→CH（气）．

226

不幸，我们不能指望使石墨与氢反应而得到乙烷。容易测得的是石墨、氢和

乙烷的燃烧热：

3-24．甘氨酸（NHCHCOOH）的燃烧反应为

22

4NHCHCOOH（固）+9O（气）→8CO（气）+10HO（液）+2N（气）．已知甘

222222

氨酸的生成焓为-528.12KJ／mol，试从表3－2查出参加反应的其它物质的生成

焓，求出甘氨酸的标准摩尔燃烧热。