最值问题

第讲：最值问题

02

【考点精讲】

题型一：将军饮马问题

12021··ABCD4EDCDE1PAC

．（陕西榆林市第一中学）如图，正方形的边长是，点是上一个点，且＝，点在

上移动，则＋的最小值是（）

PEPD

A4 B4.5 C5.5 D5

．．．．

22021··M2M34PM

．（广东铁一中学九年级期中）如图，⊙的半径为，圆心的坐标为（，），点是⊙上的任意一

PAPBPAPBxABABOAB

点，⊥，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（）

A3 B4 C5 D6

．．．．

32021··

．（重庆西南大学附中九年级开学考试）如图，矩形中，

ABCD

AB=4，BC=6

，点是矩形内一动点，

P

ABCD

且，则的最小值是（）

S=S

PABPCD

PC+PD

1

2

A B

．．

4345

C D

．．

213

229

题型二：阿氏圆问题

42022·RtABCACB90°CB7AC9C3CPC

．（安徽）如图，在△中，∠＝，＝，＝，以为圆心、为半径作⊙，为⊙上

1

一动点，连接、，则

APBP

APBP

＋的最小值为（）

3

A7 B5

．．

2

C D

．．

4

+10

213

52021··4OPOPAPB

．（全国九年级）如图，边长为的正方形，内切圆记为⊙，是⊙上一动点，则＋的最小值

2

为．

________

62021··BBPB

．（全国九年级）如图，在中，，以点为圆心作圆与相切，点为圆

VABC

B=90,AB=CB=2

AC

上任一动点，则的最小值是．

PA+PC

2

___________

2

题型三：胡不归问题

72022··

．（湖北武汉一模）如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的

VACE

CA=CE

CAE=30

5

eO

C

CEO

1

______

切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为．

AB

AE

D

AC

(

)

OD+CD

2

82021··ABCD4EAD

．（江苏苏州高新区实验初级中学九年级阶段练习）如图，正方形的边长为，点为边上一个

动点，点在边上，且线段＝，点为线段的中点，连接、，则

FCDEF4GEFBGCGBG+

2

CG _____

的最小值为．

1

92022··ACECACECAE30°5OCCEO

．（湖北武汉）如图，在△中，＝，∠＝，半径为的⊙经过点，是圆的切线，

1

且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点（不含端点），则的最小值为．

ABAEDACODCD _____

+

2

题型四：隐圆问题

102022··

．（山东济南一模）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且

ABCD

AB=6

BC=8

EF

AB

BC

EF=4

，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为．

GAG

EF

CG

AGCD

______

112022··ABCC90°AC8AB10DACCD3E

．（广东汕头市潮阳）如图，在△中，∠＝，＝，＝，是上一点，且＝，

是边上一点，将△沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为．

BCDCEDECFBFBF_______

122022··

．（全国九年级）如图，已知，外心为，，

VABC

O

BC=18

BAC=60

，分别以，为腰向形外作等

AB

AC

腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是．

△ABD

VACE

BE

CD

P

OP

______

题型五：费马点问题

132022··RtABCBAC=90°AB=ACPABPDBC

．（广东广州一模）如图，在△中，∠，，点是边上一动点，作⊥于

点，线段上存在一点，当的值取得最小值，且时，则．

DADQQA+QB+QCAQ=2PD=________

142021·· B6ABC=60° MAMBM

．（全国）如图，四边形是菱形，=，且∠，是菱形内任一点，连接，，

ABCD

A

CMAM+BM+CM ________

，则的最小值为．

152021··ABCBAC30°ABACPAHAPBPCP

．（全国）如图，△中，∠＝且＝，是底边上的高上一点．若的最小

++

值为，则＝．

2BC_____

2

【专题精练】

一、单选题

162022··RtRtAB=AE=5

．（广东梅州一模）如图，在和中，，，．连

VABCAC=AD=3

VADE

BAC=DAE=90

接，，将△绕点旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△的面积为（）．

BDCEAACE

ADE

DBA

A6 B C9 D

．．．．

62

92

172022··ABCDAB=4EFCDBCDE=CF

．（山东济南一模）正方形中，，点、分别是、边上的动点，且始终满足，

DFAEG.AGAGAHGAHG=90°BHBH

、相交于点以为斜边在下方作等腰直角△使得∠，连接．则的最小值为（）

A B C D

．．．．

25−2

25+2

10−210+2

182022··P

．（安徽蚌埠一模）如图，中，，，，是内部的一个动点，满足

Rt△ABCAB⊥BCVABC

AB=8

BC=6

PAB=PBC

，则线段长的最小值为（）

CP

A

．

32

B2 C D

5

．．．

213−6213−4

192021··1ABCDAB6BAD120°EBCP

．（广东广州三模）如图，在菱形中，＝，∠＝，点是边上的一动点，点是

对角线上一动点，设的长度为，与的长度和为，图是关于的函数图象，其中（，）是

BDPDxPEPCy2yxHab

图象上的最低点，则的值为（ ）

a+b

A B C D36

．．．．

7363+3

83

3+

202021··

．（陕西西安交通大学附属中学航天学校八年级阶段练习）如图，凸四边形中，

ABCD

A=90,C=90,D=60,AD=3,AB=3

，若点、分别为边上的动点，则的周长最小值为

MN

CD,AD

△BMN

（）

A

．

26

B C6 D3

．．．

36

212021··ACBCACB4ACB90°PCABP

．（全国九年级课时练习）如图，△中，＝＝，∠＝，点为上的动点，连，

过点作⊥于．当点从点运动到点时，线段的中点运动的路径长为（）

AAMBPMPCABMN

Aπ Bπ Cπ D2π

．．．．

2

2

2

3

222022··cmcm

．（全国九年级）如图，在中，，，．是边上的一个动点，

RtABCBC=3

ACB=RtBC

AC=8

D

连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（）

AD

C

CE⊥AD

ED

BEBE

A1 B C2 D

．．．．

3

5

232020··ABCAB2ABC60°ACB45°DBC

．（江苏南通中考真题）如图，在△中，＝，∠＝，∠＝，是的中点，直线

lDAElBFlEFAE+BF

经过点，⊥，⊥，垂足分别为，，则的最大值为（ ）

A B2

．．

6

22

C2 D3

．．

3

242020··ABCD4A60°MADNAB

．（四川广安友谊中学实验学校）如图，菱形边长为，∠＝，是边的中点，是边

上一动点，将△沿所在的直线翻折得到△，连接，则的最小值是（）

AMNMNA′MNA′CA′C

A2 B+1 C22 D3

．．．﹣．

33

7

252021··ABCDAB=4ABC=ABE=60°GBDB

．（全国九年级）如图，四边形是菱形，，且∠∠，为对角线（不含

点）上任意一点，将△绕点逆时针旋转得到△，当取最小值时的长（ ）

ABGB60°EBFAG+BG+CGEF

3333

A

．

B C D

23

23

．．．

3

43

3

二、填空题)

262022··ABCDBC=2EDCBECBE

．（湖北荆州）如图，长方形中，，，点是边上的动点，现将△沿直线

AB=23

折叠，使点落在点处，则点到点的最短距离为．

CFDF________

272022··AB

．（广东红岭中学）要在街道旁修建一个奶站，向居民区、提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为

xA(03)B(65)AB____

轴，测得点的坐标为，，点的坐标为，，则从、两点到奶站距离之和的最小值是．

282021··6M-

．（新疆）如图，等边三角形的边上的高为，是边上的中线，是线段上的一个动

ABC

BCBC

ADAD

点，是中点，则的最小值为．

E_________

AC

EM+CM

292021··4

．（河南南阳）如图，等边的边长为，点是边的中点，点是的中线上的动点，

ABCABC

E

AC

P

AD

则的最小值是．

EP+CP

_____

302022·EFABDBCM

．（广东韶关）如图所示，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是

VABCAB=AC

EF12_______________

上一个动点，的面积为，，则周长的最小值是．

VABC

BC=4

VBDM

»

上一动点，⊥

31BC122021··ABCOD

．＝，（浙江杭州采荷实验学校）如图，△为⊙的内接等边三角形，点为

BEOD

BC

»

运动到点时，线段的最大值是．于，当点由点沿

CAE____ EDB

BC

322021··ABCDBADBCD90°ACD30°AD2EAC

．（广东九年级）如图，在四边形中，∠＝∠＝，∠＝，＝，是的中

点，连接，则线段长度的最小值为．

DEDE______

332021··ABCDAB10BC5MNACAB

．（江苏南通田家炳中学）如图，在矩形中，＝，＝．若点、分别是线段，上

的两个动点，当＋取最小值时△的周长为．

BMMNBMN______

342021·lxyBCA

．（四川省成都市七中育才学校）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交、轴于、两点，点、

C(30)(03)OCB60°PlAP

的坐标分别为，、，﹣，且∠＝，点是直线上一动点，连接，则

AP+PC

3

的最小值是．

______

2

1

352021··ABCD6B3PB

．（全国九年级）如图，已知正方的边长为，圆的半径为，点是圆上的一个动点，则

PD−PC

2

的最大值为．

_______

362020··ABCD8MDCDM2NAC

．（山东东营市实验中学三模）如图，正方形的边长为，点在上且＝，是上的

一动点，则＋的最小值是．

DNMN______

372021··ABODOAB13AD5CBD

．（天津南开九年级）如图，是半圆的直径，点在半圆上，＝，＝，是弧上的一

个动点，连接，过点作⊥于．连接，在点移动的过程中，的最小值是．

ACDDHACHBHCBH ___

382021·ABCDAB2BC3EFABBC

．（四川师范大学附属中学）如图，矩形中，＝，＝，点，分别在边，边上运动，

点在矩形内，且⊥，⊥，：＝：，则线段的最小值为．

GDGCGEFFGFGEF12GF_______

392022··ABCD4EBCBE1FAB

．（江苏宜兴市实验中学）如图，正方形的边长为，为上一点，且＝，为边上的

一个动点，连接，以为边向右侧作等边△，连接，则的最小值为．

EFEFEFGCGCG______

402021··2cmACl

．（浙江金华）在综合实践课上，小明把边长为的正方形纸片沿着对角线剪开，如图所示．然后

D′BD′CABCADCACA′D′C′A′B1A′BCD′

，，固定纸片△，把纸片△沿的方向平移得到△，连，在平移过程中：（）四边形

的形状始终是；（）的最小值为．

__2A′B+D′B __

参考答案：

1D

．

【详解】

解：如图，

∵四边形是正方形，

ABCD

∴点与点关于直线对称，

BDAC

连接，交于点，连接，

BEACN'DN'

∴，

DN'=BN'

DN'+EN'=BN'+ EN'BD



，

则的长即为的最小值，

BEDP+PE

∴是线段的垂直平分线，

ACBD

又∵，

CE=CD-DE=4-1=3

在△中，

RtBCE

BE=CE+BC=25

222

，

∵＞，

BE0

∴，

BE=5

即的最小值为，

DP+PE5

故选：．

D

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，两点之间，线段最短等知识，将

-

PE+PDBE

的最小值转化为的长是解题的关键．

2D

．

【解析】

【分析】

【详解】

思路引领：由△中＝知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，

RtAPBAB2OPABPOOM

交⊙于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得．

MP′PP′OP′

答案详解：连接，

OP

∵⊥，

PAPB

13 / 54

∴∠＝，

APB90°

∵＝，

AOBO

∴＝，

AB2PO

若要使取得最小值，则需取得最小值，

ABPO

连接，交⊙于点，当点位于位置时，取得最小值，

OMMP′PP′OP′

过点作⊥轴于点，

MMQxQ

则＝、＝，

OQ3MQ4

∴＝，

OM5

又∵＝，

MP′2

∴＝，

OP′3

∴＝＝，

AB2OP′6

故选：．

D

3B

．

【解析】

【分析】

作⊥于，作点关于直线的对称点，连接，．设．由垂直

PMADMDPMEPEECAM=xPM

DEPD=PEPC+PD=PC+PE≥ECEC

平分线段，推出，推出，利用勾股定理求出的值即可．

【详解】

PMADMDPMEPEECAM=x

解：如图，作⊥于，作点关于直线的对称点，连接，．设．

∵四边形都是矩形，

ABC

∴∥，，，

ABCDAB=CD=4BC=AD=6

1

∵

S

△△

PAB=SPCD

，

2

111

∴

×4×x=××4×6-x

（），

222

14 / 54

∴，

x=2

∴，，

AM=2DM=EM=4

在△中，

RtECDEC=

CD+DE

22

=4

5

，

∵垂直平分线段，

PMDE

∴，

PD=PE

∴，

PC+PD=PC+PE≥EC

∴，

PD+PC≥4

5

∴的最小值为．

PD+PC4

5

故选：．

B

【点睛】

本题考查了轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，

-

结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

4B

．

【解析】

【分析】

【详解】

思路引领：如图，在上截取，使得＝，连接，，．利用相似三角形

CACMCM1PMPCBM

1

1

的性质证明，可得

MPPA

=

AP+BPPM+PB≥BMBM

＝，利用勾股定理求出即可解决问题．

3

3

答案详解：如图，在上截取，使得＝，连接，，．

CACMCM1PMPCBM

∵＝，＝，＝，

PC3CM1CA9

∴＝，

PCCM•CA

2

∴，

PCCM

=

CACP

∵∠＝∠，

PCMACP

∴△∽△，

PCMACP

∴，

PMPC1

==

PAAC3

1

∴，

PMPA

=

3

15 / 54

∴

1

3

AP+BPPM+PB

＝，

∵，

PM+PB≥BM

在△中，∵∠＝，＝，＝，

RtBCMBCM90°CM1BC7

∴，

BM

=1+7=

22

5

2

∴，

1

3

AP+BP≥5

2

∴．

1

3

AP+BP5

的最小值为

2

故选：．

B

5

．

25

【解析】

【分析】

22

PAPBPBPB

＋＝），利用相似三角形构造即可解答．

（＋

PA

22

22

【详解】

解：设⊙半径为，

Or

OPrBC2OBr2

＝＝＝，＝＝

1

2

22

，

取的中点，连接，

OBIPI

∴＝＝，

OIIB

2

∵，，

OP2

==2

2

OB22

OP2

==2

OI

∴，∠是公共角，

OPOB

OIOP

=

O

∴△∽△，

BOPPOI

∴，

PIOI2

PBOP2

==

∴＝

PI

2

2

PB

，

16 / 54

∴＋

AP

2

PBAPPI

＝＋，

2

2

PB

最小，

2

∴当、、在一条直线上时，＋

APIAP

作⊥于，

IEABE

∵∠＝，

ABO45°

∴＝＝

IEBE

2

BI1

＝，

2

∴＝＝，

AEAB−BE3

∴＝，

AI

3+1=10

22

∴＋

AP

2

PBAI

最小值＝＝，

10

2

2

PB PAPB

），＋＝

2

∵（＋

22

PA

∴

22

PAPBAI

＋的最小值是＝．

210=25

故答案是．

2

5

【点睛】

本题是阿氏圆问题，解决问题的关键是构造相似三角形．

“”

6

．

5

【解析】

【分析】

作⊥于，取的中点，连接，如图，根据切线的性质得为⊙的半径，

BHACHBCDPDBHB

再根据等腰直角三角形的性质得到，接着证明△∽△得到

BHACBPDBCPPD

=

PCPA

，所以

+

1

2

=2

=

2

2

2

PCPA+PDPA+PD≥ADAPD

＝，而（当且仅当、、共线时取等号），从而

2

计算出得到的最小值．

ADPA

+PC

【详解】

2

2

解：作⊥于，取的中点，连接，如图，

BHACHBCDPD

∵为切线，

AC

∴为⊙的半径，

BHB

∵∠＝，＝＝，

ABC90°ABCB2

∴，

AC

=22

BA2

＝

17 / 54

∴，

BHAC

=

1

=2

2

∴，

BP

=2

∵，，

BD12

PB2

==

=

BP2

BC2

2

而∠＝∠，

PBDCBP

∴△∽△，

BPDBCP

∴，

PDPB2

==

PCBC2

2

PC PD

，∴

2

2

PCPA+PD PA

＝，∴

2

=

+

而（当且仅当、、共线时取等号），

PA+PD≥ADAPD

而，

AD

=2+1=5

22

∴的最小值为，

PA+PD

5

即的最小值为．

PA

+PC

2

5

2

故答案为：．

5

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确

定线段．也考查了等腰直角三角形的性质．

PDPC

=

7

．

53

2

2

2

【解析】

【分析】

1

过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，可将转化为，

C

AE

D

DHDH

H

CD

2

18 / 54

1

此时就等于，当共线时，即为所要求的最小值．

OD+CD

OD+DH

ODH

2

【详解】

解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，

C

AE

D

DH

H

QCH//AB

，，，

CAE=30

OC=OA

HCA=OCA=30

，



sinHCD==

HD1

，，

HCO=60

CD2

1



CD=HD

，

2

1

OD+CD=OD+DH

，

2

Q

当，，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小，

OOD+DH

DD

HH

H'

D'

1



当，，三点共线时，有最小值，

O

D

H

OD+CD

2

此时，

OH'=OCsinHCO=OCsin60=5=

1

53

OD+CD

的最小值为，

2

2

353

22

故答案为．

53

2

【点睛】

1

本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将进行转换．

OD

2

85

．

【解析】

【分析】

2EF2GDDI1GDICDG

为半径圆上运动，＝，所以在以为圆心，取＝，可证△∽△，

因为＝

DG

2

从而得出＝

GI

2

CGBI

，然后根据三角形三边关系，得出是其最小值

【详解】

19 / 54

1

1

解：如图，

在△中，是的中点，

RtDEFGEF

∴＝，

DG

EF=2

∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，

GD2

在上截取＝，连接，

CDDI1GI

∴＝＝，

1

2

DI

DG

1

2

DG

CD

∴∠＝∠，

GDICDG

∴△∽△，

GDICDG

∴＝，

IGDI

1

=

2

CGDG

1

∴＝，

IG

CG

2

1

∴＝，

BG+BG+IG≥BI

CG

2

∴当、、共线时，

BGIBG+

2

CGBI

最小＝，

在△中，＝，＝，

RtBCICI3BC4

∴＝，

BI5

故答案是：．

5

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点的运动轨迹是解题的关键．

G

9

．

53

2

1

【解析】

【分析】

作平分∠，交⊙于，连接、、，易证四边形是菱形，根据对称

OFAOCOFAFCFDFAOCF

性可得．过点作⊥于，易得

DF=DODDHOCHDH=

22

DCCD+OD=DH+FD

，从而有．根

11

20 / 54

据两点之间线段最短可得：当、、三点共线时，（即

FDHDH+FD

2

CD+OD

）最小，然后

在△中运用三角函数即可解决问题．

RtOHF

【详解】

解：作平分∠，交⊙于，连接、、，如图所示，

OFAOCOFAFCFDF

1

∵，

OA=OC

∴∠∠，

OCA=OAC=30°

∴∠，

COB=60°

则∠∠∠（）．

AOF=COF=AOC=180°-60°=60°

22

∵，

OA=OF=OC

∴△、△是等边三角形，

AOFCOF

∴，

AF=AO=OC=FC

∴四边形是菱形，

AOCF

∴根据对称性可得．

DF=DO

过点作⊥于，则

DDHOCHDH =

2

DC

，

∴

2

CD+OD=DH+FD

．

根据两点之间线段最短可得，

当、、三点共线时，（即

FDHDH+FD

2

CD+OD

）最小，

∵，

OF=OA=5

1

1

11

1

15

∴，

OH=OF=

22

∴

FH=OF−OH=

22

1

53

2

53

．即

2

2

CD+OD

的最小值为

故答案为：．

【点睛】

53

2

本题主要考查了圆半径相等的性质，等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之

21 / 54

间线段最短、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，把

30

2

CD+ODDH+FD

转化为是解题的关键．

1038

．

【解析】

【分析】

首先连接，过作⊥于，当在上时，三角形面积取最小值，此时四

ACBBHACHGBHACG

边形面积取最小值，再连接，知，得到点轨迹圆，该轨迹与交点即

AGCDBGBG=2GBH

为所求最小值时的点，利用面积法求出、的长，代入三角形面积公式求解即可．

GBHGH

【详解】

解：连接，过作于，

AC

B

BH⊥AC

H

当在上时，△面积取最小值，此时四边形面积取最小值，

GBHACGAGCD

四边形面积三角形面积三角形面积，

AGCD=ACG+ACD

即四边形面积三角形面积．

AGCD=ACG+24

连接，由是中点，知，

BGGEFEF=4

BG=2

，

故在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧交于，此时四边形面积取最

GAGCD

B

BG

BH

G'

小值，如图所示，

1

由勾股定理得：，

AC=10

∵

22

AC·BH=AB·BC

，

∴，

BH=4.8

∴，

G'H=2.8

11

1

即四边形面积的最小值．

AGCD

=

102.8+24=38

2

故答案为：．

38

【点睛】

本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边

的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹．

G

22 / 54

11##

．

35−3

−3+35

【解析】

【分析】

先由折叠判断出的运动轨迹是为以为圆心，的长度为半径的圆，当、、共线

FDCDBDF

且在、之间时最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时、的长度即可．

FBDBFBDBF

【详解】

解：由折叠知，点的运动轨迹为：以为圆心，的长度为半径的圆，如图所示，

FDCD

可知，当点、、共线，且在、之间时，取最小值，

BDFFBDBF

∵∠＝，＝，＝，

C90°AC8AB10

∴，

BC=6

在△中，由勾股定理得：，

RtBCDBD=

CD+BC=3+6=35

2222

∴－，

BF=BDDF=

35−3

故答案为：．

35−3

【点睛】

本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属

于中考常考题型，根据折叠确定出点运动轨迹是解题关键．

F

12

．

9−33

【解析】

【分析】

由与是等腰直角三角形，得到，，根据全

△ABD

VACE

BAD=CAE=90

DAC=BAE

等三角形的性质得到，求得在以为直径的圆上，由的外心为，

ADC=ABEO

BC

VABC

BAC=60

，得到，如图，当时，的值最小，解直角三角形即可

BOC=120

PO⊥BC

OP

得到结论．

【详解】

解：与是等腰直角三角形，

QVABD

VACE

23 / 54

BAD=CAE=90

，

DAC=BAE

，

在与中，

△DAC

VBAE



AD=AB





DAC=BAE

，



AC=AE



VDAC

≌，

VBAESAS

()

ADC=ABE

，

PDB+PBD=90

，

DPB=90

，

P

在以为直径的圆上，

BC

QVABC

的外心为，，

O

BAC=60

BOC=120

，

如图，当时，的值最小，

PO⊥

BC

OP

QBC=18

，

1

BH=CH=9

，

OH=OB

2

BH=OB−OH=3OH

22

OH=33

，，

PH=9

OP=9−33

．

则的最小值是，

OP

9−

33

故答案为：．

9−

33

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正

确的作出辅助线是解题的关键．

13

．

3+3

【解析】

【分析】

如图，将△绕点顺时针旋转得到△，连接，当点，点，点，点

1BQCB60°BNMQNAQNM

24 / 54

QA+QB+QC2MCAMBCAD=BD

值最小，共线时，此时，如图，连接，证明垂直平分，证明，

此时与重合，设，则，构建方程求出可得结论．

PDPD=xDQ=x-2x

【详解】

解：如图，将△绕点顺时针旋转得到△，连接，

1BQCB60°BNMQN

∴，，∠，

BQ=BNQC=NMQBN=60°

∴△是等边三角形，

BQN

∴，

BQ=QN

∴，

QA+QB+QC=AQ+QN+MN

∴当点，点，点，点共线时，值最小，

AQNMQA+QB+QC

此时，如图，连接

2MC

∵将△绕点顺时针旋转得到△，

BQCB60°BNM

25 / 54

∴，，∠∠，

BQ=BNBC=BMQBN=60°=CBM

∴△是等边三角形，△是等边三角形，

BQNCBM

∴∠∠，，