【2021中考数学冲刺】勾股定理综合必刷题含答案

2021年九年级中考数学二轮复习

勾股定理综合必刷题

1．已知点（﹣2，3），（4，3），（﹣1，﹣3）．

ABC

（1）求，两点之间的距离；

AB

（2）求点到轴的距离；

Cx

（3）求三角形的面积；

ABC

（4）观察线段与轴的关系，若点是线段上一点（不与，重合），则点

ABxDABABD

的坐标有什么特点？

2．已知△中，＝．

ABCABAC

（1）如图1，在△中，若＝，且∠＝∠，求证：＝；

ADEADAEDAEBACCDBE

（2）如图2，在△中，若∠＝∠＝60°，且垂直平分，＝3，＝4，

ADEDAEBACCDAEADCD

求的长；

BD

（3）如图3，在△中，当垂直平分于，且∠＝2∠时，试探究，

ADEBDAEHBACADBCD

2

BDAH

22

，之间的数量关系，并证明．

1

3．如图1，△中，⊥于，且：：＝2：3：4，

ABCCDABDBDADCD

（1）试说明△是等腰三角形；

ABC

（2）已知＝40，如图2，动点从点出发以每秒1的速度沿线段向点

ScmMBcmBAA

△

ABC

2

运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时

NAACC

整个运动都停止．设点运动的时间为（秒），

Mt

①若△的边与平行，求的值；

DMNBCt

②若点是边的中点，问在点运动的过程中，△能否成为等腰三角形？若能，

EACMMDE

求出的值；若不能，请说明理由．

t

4．如图，已知△中，∠＝90°，＝16，＝12，、是△边上的两个动点，

ABCBABcmBCcmPQABC

其中点从点开始沿→方向运动，且速度为每秒1，点从点开始沿→→

PAABcmQBBCA

方向运动，且速度为每秒2，它们同时出发，设出发的时间为秒．

cmt

（1）出发2秒后，求的长；

PQ

（2）当点在边上运动时，出发几秒钟后，△能形成等腰三角形？

QBCPQB

（3）当点在边上运动时，求能使△成为等腰三角形的运动时间．

QCABCQ

5．如图，已知△中，∠＝90°，＝8，＝6，、是△边上的两个动点，

ABCBABcmBCcmPQABC

2

其中点从点开始沿→方向运动，且速度为每秒1，点从点开始沿→方向

PAABcmQBBC

运动，且速度为每秒2，它们同时出发，设出发的时间为秒．

cmt

（1）当＝2秒时，求的长；

tPQ

（2）求出发时间为几秒时，△是等腰三角形？

PQB

（3）若沿→→方向运动，则当点在边上运动时，求能使△成为等腰三角

QBCAQCABCQ

形的运动时间．

6．如图，在Rt△中，∠＝90°，＝60，＝30．是上的动点，过作⊥

ABCBACABDACDDFBC

于，过作∥，交于．设＝，＝．

FFFEACABECDxDFy

（1）求与的函数关系式；

yx

（2）当四边形为菱形时，求的值；

AEFDx

（3）当△是直角三角形时，求的值．

DEFx

7．在⊙中，直径＝6，是弦，∠＝30°，点在上，点在⊙上，且⊥

OABBCABCPBCQOOP

PQ

．

（1）如图1，当∥时，求的长度；

PQABPQ

（2）如图2，当点在上移动时，求长的最大值．

PBCPQ

3

8．如图，△中，∠＝90°，＝5，＝3，若点从点出发，以每秒2的

ABCACBABcmBCcmPAcm

速度沿折线﹣﹣﹣运动，设运动时间为秒（＞0）．

ACBAtt

（1）若点在上，且满足＝时，求出此时的值；

PACPAPBt

（2）若点恰好在∠的角平分线上，求的值；

PBACt

（3）在运动过程中，直接写出当为何值时，△为等腰三角形．

tBCP

9．已知：如图，在Rt△中，∠＝90°，＝5，＝3，动点从点出发沿射线

ABCCABcmACcmPB

BCcmst

以1/的速度移动，设运动的时间为秒．

（1）求边的长；

BC

（2）当△为直角三角形时，求的值；

ABPt

（3）当△为等腰三角形时，求的值．

ABPt

4

10．如图，在等边△中，线段为边上的中线，动点在直线上时，以为一

ABCAMBCDAMCD

边且在的下方作等边△，连接．

CDCDEBE

（1）填空：∠＝ 度；

ACB

（2）当点在线段上（点不运动到点）时，试求出的值；

DAMDA

（3）若＝8，以点为圆心，以5为半径作⊙与直线相交于点、两点，在点

ABCCBEPQD

运动的过程中（点与点重合除外），试求的长．

DAPQ

11．在△中，∠＝90°，为平面内一动点，＝，＝，其中，为常数，且

ABCABCDADaACbab

abABDBCFCEABDFCE

＜．将△沿射线方向平移，得到△，点、、的对应点分别为点、、．连

接．

BE

（1）如图1，若在△内部，请在图1中画出△；

DABCFCE

（2）在（1）的条件下，若⊥，求的长（用含，的式子表示）；

ADBEBEab

（3）若∠＝α，当线段的长度最大时，则∠的大小为 ；当线段的

BACBEBADBE

长度最小时，则∠的大小为 （用含α的式子表示）．

BAD

12．如图，在△中，＝，⊥于点，∠＝45°，分别交，于点、

ABCABACADBCDCBEBEACADE

F

．

5

（1）如图1，若＝13，＝10，求的长度；

ABBCAF

（2）如图2，若＝，求证：+＝．

AFBCBFEFAE

222

13．（1）如图（1），分别以Rt△三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用，，

ABCSS

12

SSSS

3123

表示，写出，，之间关系．（不必证明）

（2）如图（2），分别以Rt△三边为边向外作三个半圆，其面积分别用，，

ABCSSS

123

表示，确定它们的关系证明；

（3）如图（3），分别以Rt△三边为边向外作正三角形，其面积分别用，，

ABCSSS

123

表示，确定它们的关系并证明．

14．如图，已知Rt△中，∠＝90°，∠＝60°，＝3，＝6，点在线段

ABCCAACcmABmPAC

上以1/的速度由点向点运动，同时，点在线段上以2/的速度由点向

cmsCAQABcmsA

点运动，设运动时间为（）．

Bts

（1）当＝1时，判断△的形状，并说明理由；

tAPQ

（2）当为何值时，△与△全等？请写出证明过程．

tAPQCQP

6

15．在△中，＝13，＝14．

ABCABBC

（1）如图1，⊥于点，且＝5，则△的面积为 ；

ADBCDBDABC

（2）在（1）的条件下，如图2，点是线段上任意一点，分别过点，作直线

HACACBH

的垂线，垂足为，，设＝，＝，＝，请用含的代数式表示+，并求+

EFBHxAEmCFnxmnmn

的最大值和最小值．

7

参考答案

1．解：（1）∵点（﹣2，3），（4，3），

AB

∴＝＝6；

AB

（2）∵点坐标为（﹣1，﹣3），

C

∴点到轴的距离为|﹣3|＝3；

Cx

（3）过作⊥，

CCDAB

∵（﹣2，3），（4，3），（4，3），

ABC

∴＝|﹣2﹣4|＝6，＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6，

CDAB

∴＝•＝×6×6＝18；

SABCD

△

ABC

（4）∵（﹣2，3），（4，3），

AB

∴∥轴，

ABx

∵点在线段上，

DAB

∴点横坐标的范围是﹣2＜＜4，纵坐标为3．

Dx

2．（1）如图1，证明：∵∠＝∠，

DAEBAC

∴∠+∠＝∠+∠，

DAECAEBACCAE

即∠＝∠．

DACBAE

在△与△中，

ACDABE

，

∴△≌△（），

ACDABESAS

∴＝；

CDBE

8

（2）连接，

BE

∵垂直平分

CDAE

∴＝，

ADDE

∵∠＝60°，

DAE

∴△是等边三角形，

ADE

∴∠＝∠＝×60°＝30°，

CDAADE

∵△≌△，

ABEACD

∴＝＝4，∠＝∠＝30°，

BECDBEACDA

∴⊥，＝＝3，

BEDEDEAD

∴＝5；

BD

（3）如图，过作⊥，且＝，连接，

BBFBDBFAEDF

则四边形是平行四边形，

ABFE

∴＝，

ABEF

设∠＝，∠＝，

AEFxAEDy

则∠＝+，

FEDxy

∠＝180°﹣，∠＝∠＝，∠＝2∠＝180°﹣2，

BAExEADAEDyBACADBy

∠＝360°﹣∠﹣∠﹣∠＝360°﹣（180°﹣2）﹣（180°﹣）﹣＝+，

CADBACBAEEADyxyxy

∴∠＝∠，

FEDCAD

在△和△中，

ACDEFD

，

∴△≌△（），

ACDEFDSAS

∴＝，

CDDF

而+＝，

BDBFDF

222

9

∴＝+4．

CDBDAH

222

3．（1）证明：设＝2，＝3，＝4，

BDxADxCDx

则＝5，

ABx

在Rt△中，＝＝5，

ACDACx

∴＝，

ABAC

∴△是等腰三角形；

ABC

（2）解：＝×5×4＝40，而＞0，

Sxxcmx

△

ABC

2

∴＝2，

xcm

则＝4，＝6，＝8，＝10．

BDcmADcmCDcmACcm

①当∥时，＝，

MNBCAMAN

即10﹣＝，

tt

∴＝5；

t

当∥时，＝，

DNBCADAN

得：＝6；

t

∴若△的边与平行时，值为5或6．

DMNBCt

②∵点是边的中点，⊥，

EACCDAB

∴＝＝5，

DEAC

当点在上，即0≤＜4时，△为钝角三角形，但≠；

MBDtMDEDMDE

当＝4时，点运动到点，不构成三角形

tMD

当点在上，即4＜≤10时，△为等腰三角形，有3种可能．

MDAtMDE

如果＝，则﹣4＝5，

DEDMt

∴＝9；

t

如果＝，则点运动到点，

EDEMMA

∴＝10；

t

如果＝＝﹣4，

MDMEt

过点作⊥于，如图3所示：

EEFABF

∵＝，

EDEA

∴＝＝＝3，

DFAFAD

10

在Rt△中，＝4；

AEFEF

∵＝，＝7，

BMtBF

∴＝﹣7

FMt

则在Rt△中，（﹣4）﹣（﹣7）＝4，

EFMtt

222

∴＝．

t

． 综上所述，符合要求的值为9或10或

t

4．解：（1）∵＝2×2＝4（），＝﹣＝16﹣2×1＝14（ ），∠＝90°，

BQcmBPABAPcmB

∴＝＝＝（）；

PQcm

（2）＝2，＝16﹣，

BQtBPt

根据题意得：2＝16﹣，

tt

解得：＝，

t

即出发秒钟后，△能形成等腰三角形；

PQB

（3）①当＝时，如图1所示，

CQBQ

则∠＝∠，

CCBQ

∵∠＝90°，

ABC

∴∠+∠＝90°．

CBQABQ

∠+∠＝90°，

AC

∴∠＝∠，

AABQ

∴＝，

BQAQ

∴＝＝10，

CQAQ

∴+＝22，

BCCQ

∴＝22÷2＝11秒．

t

②当＝时，如图2所示，

CQBC

11

则+＝24，

BCCQ

∴＝24÷2＝12秒．

t

③当＝时，如图3所示，

BCBQ

过点作⊥于点，

BBEACE

则＝＝，

BE

∴＝，

CE

∴＝2＝14.4，

CQCE

∴+＝26.4，

BCCQ

∴＝26.4÷2＝13.2秒．

t

综上所述：当为11秒或12秒或13.2秒时，△为等腰三角形．

tBCQ

5．（1）解：（1）＝2×2＝4，

BQcm

BPABAPcm

＝﹣＝8﹣2×1＝6，

∵∠＝90°，

B

PQcm

＝＝＝2（）；

（2）解：根据题意得：＝，

BQBP

即2＝8﹣，

tt

12

解得：＝；

t

即出发时间为秒时，△是等腰三角形；

PQB

（3）解：分三种情况：

①当＝时，如图1所示：

CQBQ

则∠＝∠，

CCBQ

∵∠＝90°，

ABC

∴∠+∠＝90°，

CBQABQ

∠+∠＝90°，

AC

∴∠＝∠

AABQ

∴＝，

BQAQ

∴＝＝5，

CQAQ

∴+＝11，

BCCQ

∴＝11÷2＝5.5秒．

t

②当＝时，如图2所示：

CQBC

则+＝12

BCCQ

∴＝12÷2＝6秒．

t

③当＝时，如图3所示：

BCBQ

过点作⊥于点，

BBEACE

则＝＝＝4.8（）

BEcm

∴＝＝3.6，

CEcm

∴＝2＝7.2，

CQCEcm

∴+＝13.2，

BCCQcm

∴＝13.2÷2＝6.6秒．

t

由上可知，当为5.5秒或6秒或6.6秒时，

t

△为等腰三角形．

BCQ

13

6．解：（1）∵在Rt△中，∠＝90°，＝60，＝30，

ABCBACAB

∴∠＝30°，

C

∵＝，＝．

CDxDFy

∴＝；

yx

（2）∵四边形为菱形，

AEFD

∴＝，

ADDF

∴＝60﹣

yx

∴方程组，

解得＝40，

x

∴当＝40时，四边形为菱形；

xAEFD

（3）①当∠＝90°，

EDF

14

∵∠＝90°，∥，

FDEFEAC

∴∠＝∠＝30°，

EFBC

∵⊥，

DFBC

∴∠+∠＝∠+∠，

DEFDFEEFBDFE

∴∠＝∠＝30°，

DEFEFB

∴＝2，

EFDF

∴60﹣＝2，

xy

与＝，组成方程组，得

yx

解得＝30．

x

②当∠＝90°时，

DEF

在Rt△中，＝60﹣，∠＝90°﹣∠＝90°﹣∠＝30°，

ADEADxAEDFEBA

AEADx

＝2＝120﹣2，

在Rt△中，＝＝60﹣，∠＝30°，

EFBEFADxEFB

∴＝＝30﹣，

EBEFx

∵+＝30，

AEEB

∴120﹣2+30﹣＝30，

xx

∴＝48．

x

综上所述，当△是直角三角形时，的值为30或48．

DEFx

7．解：（1）连接，如图1，

OQ

15

∵∥，⊥，

PQABOPPQ

∴⊥，

OPAB

在Rt△中，∵tan∠＝，

OBPB

∴＝3tan30°＝，

OP

，＝3， 在Rt△中，∵＝

OQOPQOP

； ∴＝＝

PQ

（2）连接，如图2，

OQ

在Rt△中，＝＝，

OPQPQ

当的长最小时，的长最大，

OPPQ

此时⊥，则＝＝，

OPBCOPOB

∴长的最大值为＝．

PQ

8．解：（1）设存在点，使得＝，

PPAPB

此时＝＝2，＝4﹣2，

PAPBtPCt

在Rt△中，+＝，

PCBPCCBPB

222

即：（4﹣2）+3＝（2），

tt

222

解得：＝，

t

∴当＝时，＝；

tPAPB

（2）当点在∠的平分线上时，如图1，过点作⊥于点，

PBACPPEABE

此时＝7﹣2，＝＝2﹣4，＝5﹣4＝1，

BPtPEPCtBE

在Rt△中，+＝，

BEPPEBEBP

222

即：（2﹣4）+1＝（7﹣2），

tt

222

16

解得：＝，

t

当＝6时，点与重合，也符合条件，

tPA

∴当或6时，在△的角平分线上；

（3）在Rt△中，∵＝5，＝3，

ABCABcmBCcm

∴＝4，

ACcm

根据题意得：＝2，

APt

当在上时，△为等腰三角形，

PACBCP

∴＝，即4﹣2＝3，

PCBCt

∴＝，

t

当在上时，△为等腰三角形，

PABBCP

①＝，点在的垂直平分线上，

CPPBPBC

如图2，过作⊥于，

PPEBCE

∴＝＝，

BEBC

∴＝，即2﹣3﹣4＝，解得：＝，

PBABtt

②＝，即2﹣3﹣4＝3，

PBBCt

解得：＝5，

t

③＝，如图3，过作⊥于，

PCBCCCFABF

∴＝，

BFBP

∵∠＝90°，

ACB

由射影定理得；＝•，

BCBFAB

2

即3＝×5，

2

解得：＝，

t

∴当时，△为等腰三角形．

BCP

PABC

17

9．解：（1）在Rt△中，＝﹣＝5﹣3＝16，

ABCBCABAC

22222

∴＝4（）；

BCcm

（2）由题意知＝，

BPtcm

①当∠为直角时，点与点重合，＝＝4，即＝4；

APBPCBPBCcmt

②当∠为直角时，＝，＝（﹣4），＝3，

BAPBPtcmCPtcmACcm

在Rt△中，

ACP

APt

222

＝3+（﹣4），

在Rt△中，+＝，

BAPABAPBP

222

即：5+[3+（﹣4）]＝，

2222

tt

解得：＝，

t

； 故当△为直角三角形时，＝4或＝

ABPtt

18

（3）①当＝时，＝5；

ABBPt

②当＝时，＝2＝8，＝8；

ABAPBPBCcmt

③当＝时，＝＝，＝（4﹣），＝3，

BPAPAPBPtcmCPtcmACcm

在Rt△中，＝+，

ACPAPACCP

222

所以＝3+（4﹣），

tt

222

解得：＝，

t

． 综上所述：当△为等腰三角形时，＝5或＝8或＝

ABPttt

10．解：（1）60；（3分）

（2）如图（2），

∵△与△都是等边三角形

ABCDEC

∴＝，＝，∠＝∠＝60°

ACBCCDCEACBDCE

∴∠+∠＝∠+∠

ACDDCBDCBBCE

∴∠＝∠（5分）

ACDBCE

19

∴△≌△（）

ACDBCESAS

∴＝，

ADBE

∴＝1（7分）

（3）如图（3），

①当点在线段上（不与点重合）时，由（2）可知△≌△，则∠＝∠

DAMAACDBCECBECAD

＝30°，作⊥于点，则＝2，连接，则＝5．在Rt△中，∠＝30°，

CHBEHPQHQCQCQCBHCBH

BCABCHBC

＝＝8，则＝•sin30°＝8×＝4．

在Rt△中，由勾股定理得：＝，则＝2＝6．（9分）

CHQHQPQHQ

②如图5，当点在线段的延长线上时，

DAM

∵△与△都是等边三角形

ABCDEC

∴＝，＝，∠＝∠＝60°

ACBCCDCEACBDCE

∴∠+∠＝∠+∠

ACBDCBDCBDCE

∴∠＝∠

ACDBCE

∴△≌△（）

ACDBCESAS

∴∠＝∠＝30°，同理可得：＝6（11分）

CBECADPQ

20

③如图4，当点在线段的延长线上时，∵△与△都是等边三角形

DMAABCDEC

∴＝，＝，∠＝∠＝60°

ACBCCDCEACBDCE

∴∠+∠＝∠+∠＝180°

ACDDCEBCEACB

∴∠＝∠

ACDBCE

∴△≌△（）

ACDBCESAS

∴∠＝∠

CBECAD

∵∠＝30°

CAM

∴∠＝∠＝150°

CBECAD

∴∠＝30°

CBQ

同理可得：＝6

PQ

综上，的长是6．（13分）

PQ

11．解：（1）如图，

（2）连接．

BF

∵将△沿射线方向平移，得到△，

ABDBCFCE

∴∥，＝；∥，＝．

ADEFADEFABFCABFC

21

∵∠＝90°，

ABC

∴四边形为矩形．

ABCF

∴＝．

ACBF

∵⊥，

ADBE

∴⊥．

EFBE

∵＝，＝，

ADaACb

∴＝，＝．

EFaBFb

∴．

（3）①如图，当线段的长度最大时，点在的延长线上，

BEEBF

∵四边形是矩形，∠＝α，

ABCFBAC

∴∠＝α，

BFC

∴∠＝180°﹣α．

EFC

∴∠＝180°﹣α．

BAD

②如图，当线段的长度最小时，点在上，

BEEBF

∵四边形是矩形，∠＝α，

ABCFBAC

22

∴＝，且互相平分，

ACBF

∴∠＝∠，∠＝∠，

BACABFBFCACF

∵∠＝∠，

AOBCOF

∴∠＝∠＝∠＝∠，

BACABFBFCACF

∴∠＝∠＝α，

BFCBAC

∴∠＝α．

BAD

故答案为：180°﹣α，α．

12．（1）解：如图1，∵＝，⊥，

ABACADBC

∴＝，

BDCD

∵＝10，

BC

∴＝5，

BD

Rt△中，∵＝13，

ABDAB

∴＝＝＝12，

AD

Rt△中，∵∠＝45°，

BDFCBE

∴△是等腰直角三角形，

BDF

∴＝＝5，

DFBD

∴＝﹣＝12﹣5＝7；

AFADDF

（2）证明：如图2，在上取一点，使＝，连接，

BFHBHEFCH

23

在△和△中，

CHBAEF

∵，

∴△≌△（），

CHBAEFSAS

∴＝，∠＝∠，

AECHAEFBHC

∴∠＝∠，

CEFCHE

∴＝，

CECH

∵＝，⊥，

BDCDFDBC

∴＝，

CFBF

∴∠＝∠＝45°，

CFDBFD

∴∠＝90°，

CFB

∴＝，

EFFH

Rt△中，由勾股定理得：+＝，

CFHCFFHCH

222

∴+＝．

BFEFAE

222

13．解：（1）+＝，

SSS

231

由三个四边形都是正方形则：

∵＝，＝，＝，

SACSBCSAB

321

222

∵三角形是直角三角形，

ABC

∴+＝，

ACBCAB

222

∴+＝．

SSS

231

（2）∵＝，＝，＝，

SACSBCSAB

321

222

∵三角形是直角三角形，

ABC

∴+＝，

ACBCAB

222

∴+＝．

SSS

231

24

（3）∵＝，＝，＝，

SABSBCSAC

123

222

∵三角形是直角三角形，

ABC

∴+＝，

ACBCAB

222

∴+＝．

SSS

231

14．解：（1）△是等边三角形，

APQ

理由是：∵＝1，

t

∴＝3﹣1×1＝2，＝2×1＝2，

APAQ

∴＝，

APAQ

∵∠＝60°，

A

∴△是等边三角形；

APQ

（2）存在，使△和△全等．当＝1.5时，△和△全等．

tAPQCPQtsAPQCPQ

理由如下：∵在Rt△中，＝6，＝3，

ACBABAC

∴∠＝30°，∠＝60°，

BA

当＝1.5，此时＝时，

tAPPC

∵＝1.5，

ts

∴＝＝1.5，

APCPcm

∵＝3，

AQcm

∴＝．

AQAC

又∵∠＝60°，

A

∴△是等边三角形，

ACQ

∴＝，

AQCQ

在△和△中，

APQCPQ

，

∴△≌△（）；

APQCPQSSS

即存在时间，使△和△全等，时间＝1.5；

tAPQCPQt

25

15．解：（1）在Rt△中，＝13，＝5，

ABDABBD

∴＝＝＝12．

AD

∵＝14，

BC

∴＝＝84．

故答案为：84．

（2）∵＝+，

SSS

ABCABHBHC

△

∴．

∴+＝168．

xmxn

∴+＝

mn

∵＝12，＝14﹣5＝9，

ADDC

∴＝＝15．

AC

∵+与成反比，

mnx

∴当⊥时，+有最大值．

BHACmn

∴（+）＝•．

mnBHACBH

∴+＝＝15．

mnAC

∵+与成反比，

mnx

∴当值最大时，+有最小值．

BHmn

∴当点与点重合时+有最小值．

HCmn

∴+＝，

mn

∴+＝12．

mn

∴+的最大值为15，最小值为12．

mn

26