2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题(解析版)

2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题

专题三 将军饮马中一定两动模型与最值问题

【专题说明】

一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题，进而求最值。关键是作定点（或

动点）关于动折点所在直线的对称点，通过等量代换转化问题。

【模型展示】

【模型】三、一定两动之点线

在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

AA

P'

M

PP

OO

BB

M

N

N

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线

分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

【精典例题】

1

、如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，

1

ABCDABC60

ABDBDABD



分别连接，，则的最小值为

ACACBC



AD



BC



____.

1

【答案】

3

【详解】

如图，过点作的平行线，以为对称轴作点的对称点，连接交直线于点

CBDB

lll

B

1

ABC

1

1

根据平移和对称可知，当三点共线时取最小值，即，又

ACBCACBCA,B,CACBC



111111

AB

1

ABBB1

1

，

根据勾股定理得，，故答案为

AB3

1

3

2、点P是定点，在OA、OB上分别取M、N，使得PM+MN最小。

AA

P'

M

PP

OO

BB

M

N

N

【解法】作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交

OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（垂线段最短）

3、点P是定点，在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．

A

P'

M

A

P

B

O

M

P

B

P''

O

N

N

2

【解法】分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP

为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．

3y=ax5ax+cACEA30C04B

、如图，抛物线﹣与坐标轴分别交于点，，三点，其中（﹣，），（，），点

2

AC=BCNCOBCxBBD⊥xDMCM=BN

，分别是线段，上的动点，在轴上，过点作轴交抛物线于点，点，且，

连接，，．

MNAMAN

（）求抛物线的解析式及点的坐标；

1D

（）当是直角三角形时，求点的坐标；

2△CMNM

（）试求出的最小值．

3AM+AN

【答案】（）抛物线解析式为﹣；点坐标为（，）；（）点的坐标为（，）或（，

1y=x+x+4D352M00

15

2

16

9

66

11

）；（）的最小值为．

3AM+AN

61

9

【详解】

1



9a15ac0

a





（）把（﹣，），（，）代入﹣得，解得，

1A30C04y=ax5ax+c

2





6

c4







c4

∴y=x+x+4

抛物线解析式为﹣；

15

2

66

∵AC=BCCO⊥AB

，，

∴OB=OA=3

，

3

∴B30

（，），

∵BD⊥xD

轴交抛物线于点，

∴D3

点的横坐标为，

当时，﹣，

x=3y=×9+×3+4=5

15

66

∴D35

点坐标为（，）；

（）在中，，

2Rt△OBCBC==5

OBOC34

2222

设（，），则﹣，﹣（﹣），

M0mBN=4mCN=54m=m+1

∵∠MCN=∠OCB

，

∴△CMN∽△COB∠CMN=∠COB=90°

当时，，则，

CMCN



COCB

即，解得，此时点坐标为（，）；

4mm1

1616



m=M0

99

45

CMCN



时，，则，当

△CMN∽△CBO∠CNM=∠COB=90°

CBCO

即，解得，此时点坐标为（，）；

4mm11111



m=M0

5499

11

16

）或（，）；综上所述，点的坐标为（，

0 M0

9

9

（）连接，，如图，

3DNAD

∵AC=BCCO⊥AB

，，

∴OC∠ACB

平分，

∴∠ACO=∠BCO

，

∵BD∥OC

，

∴∠BCO=∠DBC

，

4

∵DB=BC=AC=5CM=BN

，，

∴△ACM≌△DBN

，

∴AM=DN

，

∴AM+AN=DN+AN

，

而（当且仅当点、、共线时取等号），

DN+AN≥ADAND

∴DN+AN=

的最小值，

6561

22

∴AM+AN

的最小值为．

61

4ABCDEFADBCDFEEH⊥DF

、如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，过点作，垂足为

HEHDCG

，的延长线交于点．

（）猜想与的数量关系，并证明你的结论；

1DGCF

BCMN2HMN∥CDADABCD10PMN

于点，，（）过点作，分别交，若正方形的边长为，点是上一点，

求周长的最小值．

△PDC

5

【答案】（）结论：，理由见解析；（）的周长的最小值为．

1CF=2DG2△PCD10+2

26

【详解】

（）结论：．

1CF=2DG

理由：四边形是正方形，

∵ABCD

∴AD=BC=CD=AB∠ADC=∠C=90°

，，

∵DE=AE

，

∴AD=CD=2DE

，

∵EG⊥DF

，

∴∠DHG=90°

，

∴∠CDF+∠DGE=90°∠DGE+∠DEG=90°

，，

∴∠CDF=∠DEG

，

∴△DEG∽△CDF

，

∴==

DGDE

1

，

CFDC

2

∴CF=2DG

．

（）作点关于的对称点，连接交于点，连接，

2CNMKDKMNPPC

此时的周长最短．周长的最小值．

△PDC=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK

6

由题意：，，，，，

CD=AD=10ED=AE=5DG== DH=EG=

5DEDG

5

5

5

2EG

2

∴EH=2DH=2

5

，

∴HM==2

DHEH

，

DE

∴DM=CN=NK==1

DHHM

22

，

在中，，

Rt△DCKDK===2

CDCK

22

10210(23)

2222

26

∴△PCD10+2

的周长的最小值为．

26

5ABCDAB=9ECDDE=2CEPAC

、如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则

PE+PD

的最小值是（ ）

A B C9 D

．．．．

310

103

92

7

【答案】

A

【详解】

∵ABCD∴BDAC∴P′D=P′BBEBEACP′

四边形是正方形，点与关于对称，，解：如图，连接，设与交于点，

∴P′D+P′E=P′B+P′E=BEPACBEPD+PEBE∵△CBE

最小．即在与的交点上时，最小，为的长度．直角

中，，，，．故选．

∠BCE=90°BC=9CE=CD=3∴BE==A

1

93

22

310

3

6∠AOBOBxPOAN30OB

、如图，的边与轴正半轴重合，点是上的一动点，点（，）是上的一定点，

点是的中点，，要使最小，则点的坐标为．

MON∠AOB=30°PM+PNP______

8

【答案】（，）．

3

3

2

2

【详解】

PM+PN∵OANN′∴ON=ON′NOAN′N′MOAP

最小，垂直平分，，解：作关于的对称点，连接交于，则此时，

∠N′ON=2∠AON=60°∴△NON′∵MON∴N′M⊥ON∵N0∴ON=33

是等边三角形，点是的中点，，点），，（，，

∵MON∴OM=1.5∴PM=∴P

点是的中点，，，（，）．故答案为：（，）．

33

333

22

222

9