2023初中数学中考真题模拟冲刺卷(含解析)

2023初中数学中考真题模拟冲刺卷（含解析）

一、单选题

1

．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（）

x6x40

2

A．D．B．C．



x35x35

22



x35

2



x313

2

2

．若关于有两个相等的实数根，则实数

x

的一元二次方程的值为（）

xxn0

2

n

A．4B．C．

3．已知公式

l



A．

nn



1

4



）用表示，正确的是（

1

4

D．－4

nr



l,r

n

180

B．C．D．



lr

180

180

lr



n





r

180

l

n



180l



r

4

．下列运算中，正确的是（）

A．C．3x－2x=1

x

3

÷x=B．

x

4

(x)x

236

D．

(ab)ab

222

52131



xx







3212

的解集为（）

5．不等式组







3(1)152(1)

xxx



11

D．B．C．

xx

00

22

A．

x

1

0

2

1

x

0

2

6yxx=3y=7

．若与成反比例，且时，，则比例系数是（）

A3B7C21D20

．．．．

74

．如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为，圆心

ABCD

ADC120

AB4

BEF

角为，则图中阴影部分的面积是（）

60

A．

8





43

3

B．C．D．

8





23

3

243223



816ABCD

．如图是一个组合烟花的横截面，其中个圆的半径相同，点、、、分别是

四个角上的圆的圆心，且四边形为正方形．若圆的半径为，组合烟花的高为，

ABCDrh

则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要接缝面积不计

()

AB

．．

1

C．D．

9CABACDCBEMNCD

．如图，是线段上一动点，△，△都是等边三角形，，分别是，

BEAB4MN

的中点，若＝，则线段的最小值为（）

A．B．C．D．

3

2

3333

42

3

，（，）在抛物线，）

Fxyy=axy

2211

2

+bx+c10Ex

上，且在该抛物线对称轴．如图，点（

的同侧（点在点的左侧），过点、分别作轴的垂线，分别交轴于点、，

EFEFxxBD

交直线于点、．设为四边形的面积．则下列关系正确的是（）

y=2ax+bACSABDC

AS=y

．

21212121

+yBS=y+2yCS=yyDS=y2y

．．﹣．﹣

二、填空题

11．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移个单位长度，再

yx11



1

2

向下平移个单位长度，所得函数的解析式为．

2

______

12

．如图，的顶点均在坐标轴上，于点，交

ABC

AEBC

E

y

轴于点，已知点，

D

B

C

的坐标分别为，，若，则的面积为_______．

B0,6



C2,0



ADBC

△AOD

2

13OABC

．如图，双骄制衣厂在厂房的周围租了三幢楼、、作为职工宿舍，每幢宿舍

楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且

O

BCACAB

．已知厂房到每条公路的距离相等．

O

（）则点为三条的交点（填写：角平分线或中线或高线）；

1O_____

ABC

（）如图，设，，，，，，现要用汽车每

2

BCa

ACbABcOCz

OAx

OBy

天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是．

_____

14OPOPAPBABOPO

．如图，过⊙外一点引⊙的两条切线、，切点分别是、，交⊙

于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB



ABC

＝，则∠的度数是．

80°ADC_____

15ABCABAC═12ADBCBEACFACBF

．如图，在△中，＝，⊥，⊥，为中点，连接、

DEBE

，当

22

﹣最大时，则长为．

DEDE_______

3

三、解答题



260

x



16．解不等式组：



．

214

xx







17(

．如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点网格线

1

77

的交点为端点的线段

)

AB,CD.

(1)

将线段通过平移使得点和点重合，点的对应点为，则应该先将线段

ABAB

A

C

B

B'

向平移个单位，再向上平移个单位，画出平移后对应的线段；

1

AB

CB'

(2)将线段绕点按顺时针方向旋转

CD

C

90,D



点的对应点为，画出线段

D'

CD'

(3)

填空：

B'CD'

18ABCD

．如图，四边形中，

AD∥BC,A90,CEBD

于点，．求证：

E

BDBC

ABEC

．

19100

．甲、乙两人相约一起去登山，登山过程中，甲先爬了米、乙才开始追赶甲．甲、

乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根



x0

据图象所提供的信息解答下列问题：

4

(1)b

甲登山的速度是每分钟米，乙提速时距地面的高度为米；

乙的速度是甲登山速度的倍，请求出整个登山过程中乙距离地面的高若乙提速后，

3(2)

度（米）与登山时间（分）之间的函数关系，并写出相应自变量取值范围；

yx

(3)30

直接写出甲、乙相遇后，甲再经过多长时间与乙相距米？

20ABCDBCxAyACBDE

．如图，菱形的边在轴上，点在轴上，对角线、交于点，

且＝，菱形的面积为．

BC5ABCD24

（）求点的坐标；

1A

（）求＋的值；

2ACBD

（3）若反比例函数y＝经过点E，且与边AD交于点F，过点F作FG垂直x轴于

k1



x

点，请求出△的面积．

GBFG

21

．爸爸想送小明一个书包和一辆自行车作为生日礼物，在甲、乙两商场发现同款的自

行车和书包的单价分别相同，自行车和书包单价之和为元，且自行车的单价比书包

452

单价的倍少元

48.

（）求自行车和书包单价各为多少元；

1

（）恰好五一来临赶上商家促销，甲商场所有商品打八五折（即折）销售，乙商

28.5

场全场购物每满元返购物券元（即不足元不返购物券，满元送元购

1003010010030

物券，满元送元购物券，依此类推），并可当场用于购物，购物券全场通用求

20060.

在哪一家商场购买更省钱？

22

．中，，的顶点是底边的中点，两边分别与交

ABCAB、AC

AB=AC=a

EDF

D

BC

于点．

F、E

5

（）如图，，当的位置变化时，是否随之变化？

11

A=90，EDF=90E，FBF+CE

证明你的结论；

（）如图，当，当时，（）中的结论仍然成立，求出此时

22°1

A=120，a=6

EDF=

BF+CE

的值．

2360130“”

．某公司的商品进价每件元，售价每件元，为了支持抗新冠肺炎，每销售

一件捐款元．且未来天，该商品将开展每天降价元的促销活动，即从第一天起

4301”

每天的单价均比前一天降元，市场调查发现，设第天（且为整数）的销量

1x1≤x≤30x

为件，与满足一次函数数关系，其对应数据如表：

yyx

X（天）……1357……

Y（件）……35455565……

（1）直接写出y与x的函数关系式；

（2）在这30天内，哪一天去掉捐款后的利润是6235元？

（3）设第x天去掉捐款后的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪

一天的利润最大，最大利润是多少元？

6

参考答案与解析

1D

．

【分析】先移项得到

x

2

-6x=-49

，再把方程两边加上，然后把方程左边用完全平方形式表示

即可．

【详解】解：∵

x

2

-6x+4=0

，

∴

x

2

-6x=-4

，

∴

x

2

-6x+9=-4+9x-3=5

，即（）．

2

故选：．

D

【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法．配方法的一般步骤：（）把常数项移到等号

-1

的右边；（）把二次项的系数化为；（）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择

213

用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．

12

2B

．

【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到，建立关于的方程，解答即可．

Δ0

n

【详解】∵一元二次方程

xxn0

2

有两个相等的实数根，

∴，

=0

∴

(1)4n0

2

，

解得

n

1

，

4

故选：．

B

【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有

两个不等的实数根时；当一元二次方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数



>0=0

根时，，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．



<0

3D

．

【分析】根据等式的性质两边同时乘以，再两边同时除以．

180πr

【详解】解：∵，

l



∴，

nπr=180l

∴，

n



nr



180

180l



r

故选：．

D

【点睛】本题主要考查了等式的性质，利用等式得性质是解答的关键．

1

4B

．

【详解】试题分析：同底数幂除法，底数不变，指数相减，、原式

A=

x

2

；幂的乘方法则，

底数不变，指数相乘，、原式

B=

x

6

；合并同类项的法则，将各系数相加减，、原式；

C=x

根据完全平方公式进行计算，、原式

D=

ab

2

－

2ab+.

2

考点：同底数幂计算、很同类项、完全平方公式

.

5C

．

【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．

52131



xx



①



3212

【详解】，







3(1)152(1)

xxx

②

1

解①得：

x

，

2

解②得，

x0

1

则不等式组的解集为

x

0

．

2

故选．

C

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取

中间，比大的大比小的小无解的原则

.

6C

．

【分析】先根据反比例函数的定义设出y=，再把已知点的坐标代入即可求出比例系数k

的值．

【详解】因为y与x成反比例,所以设y=

k

因为x=3时,y=7,即7=，k=21.

3

k

(k≠0)，

x

k

x

故比例系数是

21.

故选

C.

【点睛】本题考查的是反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数是解题的关键

.

7A

．

【分析】根据菱形的性质得出是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出

DAB

ABGDBH

，得出四边形的面积等于的面积，进而求出即可．

GBHD

△ABD

【详解】解：连接，

BD

2

∵四边形是菱形，，

ABCD

ADC120

∴，，

A60

1260

∴是等边三角形，

DAB

∵，

AB4

∴的高为，

△ABD

23

∵扇形的半径为，圆心角为，

BEF

4

60

∴，，

4560

3560

∴，



3=4

设、相交于点，设、相交于点，

AD

BE

GH

BF

DC

在和中，

ABG

△DBH





A

2





ABDB



，





34



∴，

ABGDBHASA



∴四边形的面积等于的面积，

GBHD

△ABD

∴图中阴影部分的面积是：．

SS

扇形

EBF





ABD

故选：．

A

60418





2

42343



36023

【点睛】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得

出四边形的面积等于的面积是解题关键．

EBFD

△ABD

8D

．

【详解】分析：根据图形可以看出截面的周长等于个圆的直径和个半径为的圆的周

121r

长的和，用周长乘以组合烟花的高即可．

解答：解：由图形知，正方形的边长为，

ABCD6r

∴其周长为，

4×6r=24r

3

∵一个圆的周长为：，

2πr

∴截面的周长为：，

24r+2πr

∴组合烟花的侧面包装纸的面积为：（）．

24r+2πrh=24rh+2πrh

故选．

D

9C

．

【分析】连接．首先证明∠＝，设＝，则＝﹣，构建二次函数，利用

CNMCN90°ACaBC4a

二次函数的性质即可解决问题．

【详解】解：连接，

CN

∵△和为等边三角形，

ACD△BCE

∴＝，＝，∠＝∠＝∠＝，

ACCDBCCEACDBCEB60°

∠＝，

DCE60°

∵是的中点，

NBE

∴⊥，∠＝，

CNBEECN30°

∴∠＝，

DCN90°

设＝，

ACa

∵＝，

AB4

3

（4﹣a），∴CM＝

2

13

22

∴MN＝＝

CMCN

22

aa

(4)

＝

(a3)3

2

，

44

2

a，CN＝

1

∴当＝时，的值最小为．

a3MN

3

故选：．

C

【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．

10C

．

【分析】首先根据题意可求得：

y

1212

，的值，与的坐标，即可用与表示出，，

yACxxABCD

BD的值，易得四边形ABCD是直角梯形，即可得S=

2

（AB+CD）•BD，然后代入其取值，

4

1

整理变形，即可求得与

Sy

12

、的数量关系式．

y

【详解】解：根据题意得：

y

111222

=ax+cy=ax+c

22

+bx+bx

，，

点的坐标为：（

Ax

1122

，），点的坐标为：（，），

2ax+bCx2ax+b

∴

AB=2ax

1221

+bCD=2ax+bBD=xx

，，﹣，

∵⊥，⊥，

EBBDCDBD

∴，

ABCD

∥

∴四边形是直角梯形，

ABCD

∴S=（AB+CD）•BD=（2ax

22

1221212121

+b+2ax+b）（x﹣x）=a（x+x）（x﹣x）+b（x﹣x）=

（

ax

2211221121

2222

+bx+bx+bx+bx

）﹣（）（）﹣（）﹣．

ax=ax+cax+c=yy

即

S=y

21

﹣．

y

故选．

C

【点睛】本题是一道二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键在于

要利用二次函数图象上的点并结合梯形面积公式建立与

Sy

12

、的关系式．

y

11．

yx1

2

【分析】根据二次函数图像平移的性质，左加右减（横轴），上加下减（纵轴），由此即可求

解．

【详解】解：二次函数

yx11



的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长

1

2

度，

∴

y(x11)12

2

，

∴

yx1

2

，

故答案为：

yx1

2

．

【点睛】本题主要考查二次函数图像平移的规律，掌握平移规律是解题的关键．

126

．

【分析】先利用等角的余角相等得到∠∠，则可根据证明△≌△，

ADO=ACE“AAS”ADOBCO

从而得到，，然后根据三角形面积公式计算．

OD=OC=2OA=OB=6

【详解】∵⊥，

AEBC

∴∠，

AEC=90°

∵∠∠，∠∠，

EAC+ACE=90°DAO+ADO=90°

5

2

11

∴∠∠，

ADO=ACE

又∵∠∠，，

AOD=BOCAD=BC

∴△≌△（），

ADOBCOAAS

∴，，

OD=OC=2OA=OB=6

1

∴△AOD的面积=；



26=6

2

故答案为．

6

【点睛】本题考查了三角形的面积和全等三角形的判定与性质，证出△≌△是解

ADOBCO

题的关键

.

13

．角平分线

ycbz

【分析】（）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，进行作答即可；

1

（2）根据题意，得到三条路线，在上截取，连接，证明，

BCOE

BEBA

ABO≌EBOSAS



利用三角形的三边关系，即可得到最短路径．

【详解】解：（）∵厂房到每条公路的距离相等，

1O

∴点为三条角平分线的交点；

O

ABC

故答案为：角平分线．

（）如图：

2

有三条路线可走：，

dxcaz,dxbay,dycbz

123

在上截取，连接，

BCOE

BEBA

∵点为三条角平分线的交点，

O

ABC

∴，

ABOOBE

在和中，

ABO

EBO



ABBE









ABOOBE

，



BOBO





∴，

ABO≌EBOSAS



6

∴，，

OAOE

ABBE

在中，，

ECO

yxab

∴，

dd0

31

同理，

dd0

32

∴最短，

d

3

即最短路线长为：；

ycbz

故答案为：．

ycbz

【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．熟练掌

握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．

14/25

．度

25

【分析】连接，利用切线的性质得到，

OA

OAPA

APOAPB

1

40

，再利用直角

2

三角形的两锐角互余求得，最后利用圆周角定理即可求得∠的度数．

AOP

ADC

【详解】解：连接，

OA

∵、是⊙的两条切线，∠＝，

PAPBOAPB80°

∴，

OAPA

APOAPB

1

40

，

2

∴在△中，，

RtAOP

AOP90APO50

∴

ADCAOP

1

25

，

2

故答案为：

25

【点睛】本题考查了切线的性质及圆周角定理，作出适当的辅助线是解题的关键．

15．3

6

【分析】设＝，则＝﹣，＝﹣﹣＝﹣，＝＝，

CExAE12xBE12(12x)24xxBCBE24x

2222222

+CE

构建二次函数即可解决问题．

【详解】解：设＝，则＝﹣，

CExAE12x

7

∴＝﹣﹣＝﹣，＝＝，

BE12(12x)24xxBCBE24x

2222222

+CE

∵＝，⊥，

ABACADBC

∴＝，

BDDC

∴DEBC，



∴DE＝6x，

22



1

2

1

BC

4

∴﹣＝﹣﹣＝﹣

BEDE24xx6xx

22222

+18x(x9)+81

＝﹣﹣，

∵﹣＜，

10

∴＝时，﹣的值最大，

x9BEDE

22

∴＝，

DE54

2

∴DE＝3，

6

故答案为3．

6

【点睛】本题考查了几何动点与二次函数综合问题，解题的关键是表达出﹣，并熟

BEDE

22

练掌握二次函数的性质．

16

．

3x2

【分析】有括号去括号，移项，合并同类项，系数化，即可解出不等式组的解集．

1



2601

x







【详解】解：







2142



xx



解得：，



1

x3

解得：，



2

x2

∴不等式组的解为．

3x2

【点睛】本题主要考查的是解不等式组等知识内容，正确掌握解不等式组的方法是解题的关

键．

（）右，，作图见解析；（）见解析；（）．

1223135°17

【分析】利用对应点移动的规律进而得出图形的平移规律；

(1)

(2)

根据网格结构找出点

D

¢

的位置，然后连接即可；

(3)C

将线段绕点旋转，的对应点为，利用勾股定理的逆定理求得的度

BC



180

BE



ECD



数，即可求解．

【详解】根据题意，应该先将线段向右平移个单位，再向上平移个单位，线段

(1)2

AB

1

CB'

8

如图所示：

(2)

线段如图所示：

CD'

(3)C

将线段绕点旋转，的对应点为，连接、，

BC



180

BE



CE

ED



CE125ED

22



，

CD1310



22

，

∵



5510

222

，

∴

CEEDCD

222



，

∴为等腰直角三角形，

CED



∴，

ECD45



∴．

BCD18045135



【点睛】本题考查了平移变换和旋转变换作图，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握网

格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

18

．见解析

【分析】先证明∠∠，然后利用证明△≌△即可得到．

ADB=EBCAASCEBBADAB=EC

【详解】解：∵，

AD∥BC，A90

∴∠∠，

ADB=EBC

∵⊥，

CEBD

∴∠∠，

CEB=BAD=90°

又∵，

BD=CB

∴△≌△（），

CEBBADAAS

∴．

AB=EC

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质

与判定条件是解题的关键．

9

19(1)1030

．，





1502

xx





(2)

y









3030211

xx





(3)30

甲、乙相遇后，甲再经过分或分与乙相距米．

1.5

10.5

【分析】（）根据速度高度时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度速度时间即可

1=÷





算出乙在地时距地面的高度的值；

Ab

（）分和两种情况，根据高度初始高度速度时间即可得出关于的函

2yx

0x2

x2







数关系；

（）先求出甲、乙相遇时所用时间，在路程之间的关系列出方程求解即可．

3

【详解】（1）解：（米/分钟），



3001002010

b151230

．

故答案为：；；

1030

（）解：当时；

2

0x2

y15x

当时，．

x2

y30103x230x30



当时，．

y30x30300

x11

∴乙登山全程中，距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式为

yx





1502

xx





y





；

3030211

xx









（）解：甲登山全程中，距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式为

3yx

y10x1000x11



．

当时，

10x10030x30

解得：；

x6.5

∴，

30x6.510x6.530



解得，

x8

∴；

x6.51.5

当甲距离山顶米时，

30

此时（分），

2036.510.5

10

答：甲、乙相遇后，甲再经过分或分与乙相距米．

1.5

10.5

30

【点睛】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是根据数量关系列出

函数解析式．

20．（1）

A

(0,)

138

24

；（2）14；（3）

．

5

25

【分析】（）根据菱形的面积公式求出的长，由此即可得；

1

OA

（）先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理分别求出的长，然后利用菱形

2

AB5

OB,AC

的面积公式可得的长，最后代入求值即可得；

BD

（）先根据点坐标求出点的坐标，再利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，

3

A,C

E

然后根据点的纵坐标与点的纵坐标相同可求出点的坐标，从而可得的长，最

FF

A

BG,FG

后利用直角三角形的面积公式即可得．

【详解】解：（），菱形的面积为，，

124

BC5

ABCD

OABC

BCOA5OA24

，

解得

OA

24

，

5

24

)(0,

；

5

1

ACACBDABBCAECE

,5,

，

2

7

，

5

则点的坐标为

A

A

（）四边形是菱形，

2



ABCD

在中，

RtAOB

OBABOA

OCBCOB

22

18

，

5

在中，，

Rt△AOC

ACOAOC6

22



菱形的面积为，

ABCD

24

11

ACBDBD

24624

，即，

22

解得，

BD8

则；

ACBD6814

（）画图如下：

3

11

OC

C

(,0)

18

，

5

18

，

5

24

),(0,

AECEA

，

5

912

E

(,)

，

55

k1912



912133

将点得：

Ek

(,)

代入，解得，

yk



1

x

55

5525

则反比例函数的解析式为，

y



108

25

x

24

，由题意得：点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为

5

F

A

对于反比例函数，

y



当，解得

y

108

25

x

9

10824924

24



时，，即，

x

F

(,)

25x5105

5

10

924

,

FGOG

，

105

9723

BGOGOB

，

10510

112324138

BGFG

则的面积为

BFG

．

2210525

【点睛】本题考查了反比例函数的几何综合、菱形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱

形的性质是解题关键．

（）自行车的单价为元，书包的单价为元；（）在乙商场购买更省钱．

1360922.21

【分析】（）本题有两个相等关系：自行车和书包单价之和为元，自行车的单价比书包

1452

单价的倍少元．据此设未知数列方程组求解即可；

48

（）根据甲乙两家商场的促销方式分别求出在两商场购买所需费用，比较后即可得出结论．

2

12

【详解】解：（）设自行车的单价为元，书包的单价为元，

1

x

y



xyx



452360

根据题意，得：，解得：，



4892

yxy





答：自行车的单价为元，书包的单价为元；

36092

（）购买自行车和书包所需的总费用为元，则在甲商场购买所需费用为：

2452

4520.85384.2

（元）．

∵，∴在乙商可获得购物券（元），∴在乙商场购买所需费用为

400452500

430120

452120332

（元）．

∵，∴在乙商场购买更省钱．

332384.2

【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，属于基本题型，正确理解题意、找准相等关

系是解题的关键．

（）＝，是定值，不变．见解析；（），．

1BF+CEa260922

【分析】（）结论：＋，是定值．如图中，连接．只要证明△≌△

1BFCE=a1ADBDFADE

即可解决问题；

（）当∠时，＋，是定值．连接，作⊥于，⊥于．只

2EDF=60°BFEC=9ADDMABMDNACN

要证明△≌△（），推出，由含的直角三角形的性质，推出

DMFDNEASAFM=EN30°

9

BM=CN=

，推出BF＋CE=BM−FM＋CN＋EN=2BM，即可解决问题．

2

【详解】解：（）结论：，是定值．

1BF+CE=a

理由：如图中，连接．

1AD

∵，∠，，

AB=ACBAC=90°BD=CD

∴⊥，∠∠∠∠，．

ADBCB=C=BAD=CAD=45°AD=BD=CD

∵∠∠，

EDF=ADB=90°

∴∠∠，

BDF=ADE

∴△≌△（），

BDFADEASA

∴，

BF=AE

∴，是定值．

BF+CE=AE+CE=AC=a

13

（）当∠时，，是定值．

2EDF=60°BF+EC=9

理由：如图中，连接，作⊥于，⊥于．

2ADDMABMDNACN

∵∠∠，∠，

AMD=AND=90°A=120°

∴∠∠，

MDN=EDF=60°

∴∠∠，

MDF=NDE

∵，，

AB=ACBD=CD

∴∠∠，

BAD=CAD

∵⊥于，⊥于，

DMABMDNACN

∴，

DM=DN

∴△≌△（），

DMFDNEASA

∴，

FM=EN

∵，，

AB=ACBD=CD

∴⊥．

ADBC

∵∠∠，

B=C=30°

∴AD=

22

AB=AC=3，∠BAD=∠CAD=60°．

又∵⊥，⊥，

DMABDNAC

∴∠∠，

ADM=ADN=30°

∴AM=AN=，

2

AD=

9

∴BM=CN=，

2

1

11

3

2

∴﹣，是定值．

BF+CE=BMFM+CN+EN=2BM=9

14

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，

含直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决

30°

问题，属于压轴题．

（）＝；（）第天去掉捐款后的利润是元；（）＝﹣（﹣），．

1y5x+3022362353W5x30+648023

2

第天的利润最大，最大利润是元．

306480

【分析】（）设函数解析式为＝（），从表中取两个点（，），（，），把两

1ykx+bk≠0135345

点坐标代入函数解析式中，求得、即可解决；

kb

（）设第天去掉捐款后的利润为元，根据等量关系：一件的利润销量总利润，

2x6235×=

列出方程，解方程即可；

（）根据：总利润一件的利润销量，即可得出与之间的二次函数关系式，然后求出

3=×Wx

此二次函数最大值即可．

【详解】（）设与满足的一次函数数关系式为＝（），

1yxykx+bk≠0



35



kb

将（1，35），（3，45）分别代入y＝kx+b中，得：，



453



kb





k



5

解得：，





b



30

∴与的函数关系式为＝；

yxy5x+30

（）设第天去掉捐款后的利润为元

2x6235

根据题意得：（﹣﹣﹣）（）＝，

130x6045x+306235

整理得：﹣＝，

x60x+8510

2

解得：＝或＝（舍），

x23x37

∴在这天内，第天去掉捐款后的利润是元；

30236235

（）由题意得：＝（﹣﹣﹣）（）＝﹣

3W130x6045x+305x

2

+300x+1980

即与之间的函数关系式为＝﹣

WxW5x

2

+300x+1980

∵＝﹣

W5x

2

+300x+19805x30+6480a50

＝﹣（﹣），且＝﹣＜，

2

∴当＝时，有最大值，最大值为元．

x30W6480

∴与之间的函数关系式是＝﹣

WxW5x

2

+300x+1980306480

，第天的利润最大，最大利润是

元．

【点睛】本题是函数与方程的综合性问题，考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方

程，求二次函数的最值等知识，本题首先要正确理解题意，熟悉售价、进价、利润三者间的

15

关系，其次要求有较好的运算能力．

16