2023年山西省中考数学信息冲刺摸底试卷及答案解析

2023

年山西省中考数学信息冲刺摸底试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，

只有一项符合题目要求，请将正确答案的序号填在答题卡上）

1．（3分）下列函数中，是反比例函数的是（）

A．y＝B．y＝x+3C．y＝3x+1D．y＝

2

2．（3分）剪纸，作为中国传统文化艺术，象征纳福吉祥，寄托人们对美好生活的向往．下

列剪纸图案中，是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

3．（3分）一元二次方程x+2x＝0的一个根为x＝0，则另一个根为（）

2

A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝4D．x＝﹣4

）的图象过点P（﹣1，2），则该图象必经过点（

4．（3分）若二次函数y＝ax

2

A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）

）5．（3分）下列表述的事件中，是必然事件的是（

AB

．明天会下雪．网课被老师点名

CD2s100m

．体育运动时消耗身体的热量．短跑运动员跑完

6．（3分）如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BE的长为

（）

A．B．4C．D．6

7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在圆上且在直径AB的两侧，若∠BAC＝25°，

则∠D的度数为（）

第1页（共6页）

A．40°B．45°C．65°D．75°

8．（3分）现将正面分别写有“道路自信”“理论自信”“制度自信”和“文化自信”的四张

卡片（除卡片正面的内容不同外，其余完全相同）背面朝上放在桌面上，混合均匀后从

中随机一次抽取两张卡片，则恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片的概率

是（）

A．B．C．D．

9．（3分）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的

距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度AB为1.5cm时，所成

的像A'B'的高度为（）

A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm

10．（3分）如图，M，N是以CD为直径的半圆周的三等分点，P是直径CD上的任意一点．若

MN＝5cm，则图中阴影部分的面积为（）

A．cmB．cmC．cmD．cm

2222

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．（3分）点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是．

12．（3分）抛物线y＝2（x+3）

2

﹣5的顶点坐标是．

，若△AEF13．（3分）如图，在△ABC中，点E，F分别在边AB，AC上，EF∥BC，

的面积为8，则△ABC的面积是．

14．（3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，科学证实：近视眼镜的

度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例函数关系．若500度近视眼镜片的焦距为0.2m，

则200度近视眼镜片的焦距为m．

第2页（共6页）

15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，D是BC的中点，G是AD的中点，

则AE的长为．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（8分）（1）解方程：x

2

﹣6x+5＝0；

（2）下面是小敏同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．

3（x﹣3）＝（x﹣3）

2

解：3（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0．……第一步

2

（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．……第二步

则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0．……第三步

解得x

12

＝3，x＝0．……第四步

任务一：

填空：以上解题过程中，第一步变形的名称是；

①

②

第步开始出现错误，错误的原因是；

任务二：请直接写出该方程的正确解．

17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，﹣5），B（5，

﹣5），C（2，﹣1）．

（1）画出△ABC关于x轴对称的△A

111

BC；

（2）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的△A

222

BC；

（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．

第3页（共6页）

18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝

与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（2，m）

与点B（4，2）．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求△AOB的面积．

19．（8分）请阅读材料，并完成相应的任务：

学习了圆的切线以后，某课外小组的同学们发现，过圆外一点可以画圆的两条切线．如

图1，P为⊙O外一点，过点P可以画⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．

[发现结论]智慧小组在操作中发现，沿直线OP将图形对折，可以得出结论：PA＝PB，

∠APO＝∠BPO．

[证明结论]启迪小组为了证明上述结论的正确性，做了如下证明：

如图2，连接OA和OB．

∵PA，PB是⊙O的两条切线，

∴PA⊥OA，PB⊥OB．（依据）

∴∠PAO＝∠PBO＝90°．……

任务：

（1）请写出括号中的依据：；

（2）请将上面的证明过程补充完整；

（3）如图2，在⊙O中，PA，PB为⊙O的两条切线，A，B分别为它们的切点，⊙O的

半径为5，∠APB＝60°．连接AB，请直接写出△PAB的周长．

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20．（10分）“双减”政策实施以来，各校积极贯彻落实，通过加强学校教育，提高学校课

堂教学质量，优化作业布置，提升课后活动质量，减轻了学生课余负担．“双减”政策同

时也减轻了家长的精神负担和家庭的经济负担，让学科教育重新回归学校主阵地．某校

为了提升服务质量，以“五育并举，丰富多彩”为原则，开展作业辅导、培优补短活动．为

了了解学生课外活动小组的参与情况，对七年级（5）班的学生进行了调查，被调查的学

生必须从音乐（记为A）、体育（记为B）、科技（记为C）、绘画（记为D）中选择自己

最喜爱的一种兴趣活动．根据调查结果，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根

据图中信息解答下列问题：

（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？

（2）将条形统计图补充完整，并求扇形统计图中“D”所在的扇形圆心角的度数；

（3）若要求每个同学从中随机选取两种兴趣，请用列表法或画树状图的方法求小文刚好

选到“科技”和“绘画”兴趣的概率．

21．（8分）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B

和点C，观察者在点E．适当调整，使得AB与EC都与河岸BC垂直．此时AE与BC相

交于点D，若测得BD＝100m，DC＝50m，EC＝45m，请利用这些数据计算河的宽度．

22．（12分）综合与实践

数学活动：

数学活动课上，老师提出如下数学问题：

已知四边形ABCD与四边形BEFG都为正方形，P为DF的中点，连接AP，EP，如图1，

当点E在AB上时，求证：AP＝PE．

第5页（共6页）

独立思考

（1）请你证明老师提出的问题；

合作交流

（2）解决完上述问题后，“翱翔”小组的同学受此启发，把正方形BEFG绕点B顺时针

旋转，当点F落在对角线BD上时（如图2），他们认为老师提出的结论仍然成立．请你

予以证明；

问题解决

（3）解决完上述问题后，“善思”小组提出如下问题，把正方形BEFG绕点B顺时针旋

转（如图3），当点D，E，F在同一条直线上时，DE与BC交于点H．若AD＝2，

BG＝，请直接写出HC的值．

23．（13分）综合与探究．

如图，抛物线y＝x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PA+PC的值最小．若存在，求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）N是抛物线上异于点C的动点，若△NAB的面积与△CAB的面积相等，求点N的

坐标．

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2023

年山西省中考数学信息冲刺摸底试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，

只有一项符合题目要求，请将正确答案的序号填在答题卡上）

1．【分析】根据反比例函数的定义解答即可．

【解答】解：A、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意；

B、该函数是二次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；

C、该函数是一次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；

D、该函数是反比例函数，故本选项符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的定义．反比例

函数的定义：形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y

是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．

2．【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．

【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C．是中心对称图形，故此选项符合题意；

D．不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：C．

【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后与自身重合．

3．【分析】将x+2x＝0进行提取公因式得到x（x+2）＝0即可求解．

2

【解答】解：x

2

+2x＝0分解因式后得到x（x+2）＝0，

∴x＝0或x＝﹣2，

故选：B．

【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握因式分解法求解一元二次方程是解题的

关键．

4．【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．

【解答】解：∵二次函数y＝ax的对称轴为y轴，

2

第1页（共14页）

∴若图象经过点P（﹣1，2），则该图象必经过点（1，2）．

故选：A．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，

确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．

5．【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．

【解答】解：A、明天会下雪，是随机事件，不符合题意；

B、网课被老师点名，是随机事件，不符合题意；

C、体育运动时消耗身体的热量，是必然事件，符合题意；

D、短跑运动员2s跑完100m，是不可能是事件，不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条

件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事

件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

6．【分析】利用平行线证明三角形相似，得到线段成比例求解．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，

∴△ABE∽△CDE，

∴＝，

，即＝

∴BE＝．

故选：A．

【点评】本题考查平行线的性质、三角形相似判定和性质，能够灵活利用平行线的性质、

三角形相似判定和性质是解题的关键．

7．【分析】连接BC，由圆周角定理即可求出∠D的度数．

【解答】解：连接BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CBA＝90°﹣∠BAC＝90°﹣25°＝65°，

∴∠D＝∠CBA＝65°．

第2页（共14页）

故选：C．

【点评】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．

8．【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根

据概率公式即可得出答案．

【解答】解：“道路自信”，“理论自信”，“制度自信”和“文化自信”分别用a、b、c、d

表示，画树状图如下：

共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“文化自信”和“理论自信”的结果有

2种，

则恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片的概率是．

故选：D．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所

有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用

到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

9．【分析】利用蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一

半，得出蜡烛火焰的高度AB与像的高度A'B'的比值为，进而求出答案．

【解答】解：设所成的像A'B'的高度为xcm，

由题意可得：，

解得：x＝3，

∴所成的像A'B'的高度为3cm．

故选：C．

【点评】本题主要考查相似三角形的应用，理清题意，正确得出比例关系是解题关键．

10．【分析】连接OM，ON，由题意可得∠MON＝60°，则OM＝ON＝MN＝5cm，由S

△

MNP

＝S

△

MON

，可得阴影部分的面积等于扇形MON的面积，利用扇形面积公式求解即可．

【解答】解：连接OM，ON，

∵M，N是以CD为直径的半圆周的三等分点，

第3页（共14页）

∴∠MON＝60°，

∴OM＝ON＝MN＝5cm，

∵S

△△

MNPMON

＝S，

∴阴影部分的面积等于扇形MON的面积，即为cm．

故选：D．

【点评】本题考查扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解答本题的关键．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点

是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．

【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，

﹣4）．

【点评】这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆．

12．【分析】由于抛物线y＝a（x﹣h）+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．

2

【解答】解：∵抛物线y＝2（x+3）﹣5，

2

∴顶点坐标为：（﹣3，﹣5）．

故答案为：（﹣3，﹣5）．

【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公

式即可解决问题．

13．【分析】由EF∥BC，根据“平行于三角形一边的直线和其它两边相交所构成的三角形

与原三角形相似”证明△AEF∽△ABC，再根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”

求得＝＝，即可求得△ABC的面积是50，得到问题的答案．

2

【解答】解：∵＝，

∴＝，

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴＝＝＝，

第4页（共14页）

∵S

△

AEF

＝8，

∴S

△△

ABCAEF

＝S＝×8＝50，

∴△ABC的面积是50，

故答案为：50．

【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理并且

证明△AEF∽△ABC是解题的关键．

14．【分析】根据题意，可以求得近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系式，

然后将y＝200代入，求出相应的x的值即可．

【解答】解：设近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系式为y＝，

∵500度近视眼镜片的焦距为0.2m，

∴500＝，

解得k＝100，

∴近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系式为y＝，

当y＝200时，200＝，

解得x＝0.5，

故答案为：0.5．

【点评】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出k的值．

15．【分析】延长BE，使BG＝GF，连接AF，易通过SAS证明△AGF≌△DGB，则AF＝BD，

∠FAG＝∠BDG，得到AF∥BC，因此△AEF∽△CEB，由D是BC的中点可得BD＝CD

＝，再根据相似三角形的性质即可求解．

【解答】解：延长BE，使BG＝GF，连接AF，如图，

∵G是AD的中点，

∴AG＝DG，

在△AGF和△DGB中，

，

∴△AGF≌△DGB（SAS），

∴AF＝BD，∠FAG＝∠BDG，

第5页（共14页）

∴AF∥BC，

∴△AEF∽△CEB，

∴，

∵AB＝AC＝10，BC＝8，D是BC的中点，

∴BD＝CD＝，

∴AF＝BD＝4，

∴，

∴AE＝．

故答案为：．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，正确作出

辅助线，根据全等三角形的性质得到AF∥BC是解题关键．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次

方程，再进一步求解即可；

（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一

次方程，再进一步求解即可．

【解答】解：（1）∵x﹣6x+5＝0，

2

∴（x﹣1）（x﹣5）＝0，

则x﹣1＝0或x﹣5＝0，

解得x

12

＝1，x＝5．

任务一：

填空：以上解题过程中，第一步变形的名称移项；

①

②

第二步开始出现错误，错误的原因是符号错误；

故答案为：移项；二，符号错误；

①②

任务二：∵3（x﹣3）＝（x﹣3），

2

∴3（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，

2

则（x﹣3）（3﹣x+3）＝0，

∴x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，

第6页（共14页）

解得x

12

＝3，x＝6．

【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、

因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

17．【分析】（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反

数；

（2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然

后顺次连接即可；

（3）利用△ABC旋转时BC线段扫过的面积S

扇形扇形

BOB2COC2

﹣S即可求出．

【解答】解：（1）如图所示，△A

111

BC即为所求；

（2）如图所示，△A

222

BC即为所求；

（3）∵BC＝＝5，

＝．∴△ABC旋转时BC线段扫过的面积＝

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格

结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

18．【分析】（1）把B点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出

A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；

（2）△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积．

【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过B（4，2），

∴把x＝4，y＝2代入上式并解得k＝8，

第7页（共14页）

∴反比例函数的表达式为y＝，

∵点A（2，m）在y＝上，

∴m＝4，

∴A点坐标为（2，4）；

把A，B两点的坐标代入y＝ax+b，得

，

解得：，

∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+6；

（2）如图，

当x＝0时，y＝6，

∴D点坐标为（0，6），

∴S

△△△

AOBBODAOD

＝S﹣S＝×6×4﹣×6×2＝6，

即△AOB的面积为6．

【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，正确运用待定系数法求反

比例函数和一次函数的解析式是解题的关键．

19．【分析】（1）由切线的性质可得出结论；

（2）证明Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），由全等三角形的性质可得出PA＝PB，∠APO＝

∠BPO；

（3）由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．

【解答】解：（1）如图2，连接OA和OB．

∵PA，PB是⊙O的两条切线，

∴PA⊥OA，PB⊥OB（圆的切线垂直于过切点的半径），

∴∠PAO＝∠PBO＝90°．

故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径；

（2）∵PA，PB是⊙O的两条切线，

∴PA⊥OA，PB⊥OB，

∴∠PAO＝∠PBO＝90°．

在Rt△OAP和Rt△OBP中，

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，

∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），

∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO．

（3）∵∠APB＝60°，OP平分∠APB，

∴∠APO＝∠APB＝30°，

又∵PA＝PB，

∴△PAB为等边三角形，

∴PA＝PB＝AB，

在Rt△OAP中，∠APO＝30°，

∴PA＝OA＝5，

．∴△PAB的周长＝3PA＝15

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了全等三角

形的判定与性质，切线长定理和等边三角形的判定与性质．

20．【分析】（1）由“A”的人数和所占的百分比求出共调查的学生；

（2）求出“B”和“D”的人数，补全条形统计图，由360°乘以“D”所占的百分比求

出D”所在扇形圆心角的度数；

（3）画树状图，共有12个等可能的结果，刚好选到“科技”和“绘画”兴趣的结果有2

个，再由概率公式求解即可．

【解答】解：（1）18÷30%＝60（名），

即在这项调查中，共调查了60名学生；

（2）条形统计图中，“B”的人数为60×20%＝12（名），

“D”的人数为60﹣18﹣12﹣16＝14（名），

补全条形统计图如图：

第9页（共14页）

扇形统计图中“D”所在扇形圆心角的度数为360°×＝84°；

（3）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，小文刚好选到“科技”和“绘画”兴趣的结果有2个，

∴小文刚好选到“科技”和“绘画”兴趣的概率为＝．

【点评】本题考查了用列表与树状图求概率问题；用到的知识点为：概率＝所求情况数

与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．也考查了扇形统计图和条形统

计图．

21．【分析】证明△ABD∽△ECD，可得，即可求解．

【解答】解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，

∴∠ABD＝∠ECD＝90°，

∵∠ADB＝∠EDC，

∴△ABD∽△ECD，

∴，即，

∴AB＝90m

∴河的宽度为90m．

【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题关键是确定出相似三角形，利用相似三

角形的对应边成比例答题．

22．【分析】（1）延长EP交AD于M，证明△DPM≌△FPE（ASA），由全等三角形的性质

得出EP＝MP＝EM，由直角三角形的性质得出AP＝EM，则可得出结论；

（2）连接PC，过点P作PN⊥BC于N，证出PN∥CD∥EF，则，证出PF＝PD，

可得出EN＝NC，由垂直平分线的性质得出PE＝PC，则可得出结论；

（3）延长AP至M，使AP＝PM，连接FM，EM，AE，证明△ABE≌△MFE（SAS），由

全等三角形的性质得出AE＝EM，∠AEB＝∠FEM，证出△AEM为等腰直角三角形，得

出AP＝PE，AP⊥PE，设DP＝PF＝x，则AP＝x+，由勾股定理得出

第10页（共14页）

，解方程求出x，求出DP和AP的长，证明△APD∽△DCH，

由相似三角形的性质得出，则可求出答案．

【解答】（1）证明：延长EP交AD于M，

∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，

∴EF∥CB，AD∥BC，

∴AD∥EF，

∴∠PDM＝∠EFP，

∵点P是线段DF的中点，

∴FP＝DP，

又∵∠DPM＝∠FPE，

∴△DPM≌△FPE（ASA），

∴EP＝MP＝EM，

又∵∠EAM＝90°，PE＝PM，

∴AP＝EM，

∴AP＝PE；

（2）证明：连接PC，过点P作PN⊥BC于N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴点A，C关于BD对称，

∴PA＝PC，

∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，

∴∠BCD＝∠BEF＝90°，

∴CD∥EF，

∵PN⊥BC，

∴∠PNE＝90°，

∴∠PNE＝∠BCD，

∴PN∥CD，

∴PN∥CD∥EF，

∴，

第11页（共14页）

∵P是DF的中点，

∴PF＝PD，

∴EN＝NC，

∴PN垂直平分EC，

∴PE＝PC，

∴AP＝PE；

（3）解：延长AP至M，使AP＝PM，连接FM，EM，AE，

∵PD＝PF，∠APD＝∠FPM，AP＝PM，

∴△APD≌△MPF（SAS），

∴AD+FM，∠DAP＝∠PMF，

∴AD∥FM，

∵AD∥BC，

∴FM∥BC，

∴∠EFM＝∠BHF，

∵∠BHF＝∠HBE+∠BEH＝∠HBE+90°，∠ABE＝∠ABC+∠HBE＝90°+∠HBE，

∴∠BHF＝∠ABE，

∴∠EFM＝∠ABE，

∵四边形BEFG是正方形，

∴BG＝EF，

∵AB＝AD，AD＝FM，

∴AB＝FM，

∴△ABE≌△MFE（SAS），

∴AE＝EM，∠AEB＝∠FEM，

∴∠AEM＝∠AED+∠FEM＝∠AED+∠AEB＝90°，

∴△AEM为等腰直角三角形，

又∵AP＝PM，

∴AP＝PE，AP⊥PE，

设DP＝PF＝x，则AP＝x+，

∵AP＝AD，

222

+DP

第12页（共14页）

∴，

∴x＝（x＝舍去），

∴DP＝PF＝，

∴PE＝PF+EF＝，

∴AP＝，

∵∠ADP+∠HDC＝90°，∠HDC+∠DHC＝90°，

∴∠ADP＝∠DHC，

∵∠APD＝∠C＝90°，

∴△APD∽△DCH，

∴，

∴，

∴HC＝．

【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定

和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅

助线构造全等三角形是解题的关键．

23．【分析】（1）令x＝0，求出C点坐标，令y＝0，求出B、A点坐标；

（2）当P、B、C三点共线时，PA+PC的值最小，直线BC与对称轴的交点即为P点；

（3）由题意可知N点到x轴的距离为3，由此求N点坐标即可．

【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

令y＝0，则x﹣3＝0，

解得x＝4或x＝﹣2，

∴A（﹣2，0），B（4，0）；

（2）存在点P，使得PA+PC的值最小，理由如下：

∵y＝x﹣3＝（x﹣1）﹣，

2

∴抛物线的对称轴为直线x＝1，

第13页（共14页）

∵PA＝PB，

∴PA+PC＝PB+PC≥BC，

当P、B、C三点共线时，PA+PC的值最小，

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得，

∴y＝x﹣3，

∴P（1，﹣）；

（3）∵C（0，﹣3），

∴OC＝3，

∵△NAB的面积与△CAB的面积相等，

∴N点到x轴的距离为3，

∴N点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对

称求最短距离是解题的关键。

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