S(自旋)

在量子力学中，自旋是与粒子所具有的内禀角动量，虽然有时会与经典力学中的自转相

类比，但实际上本质是迥异的。经典意义中的自转，是物体对于其质心的旋转，比如地

球每日的自转是顺着一个通过地心的极轴所作的转动。

首先对基本粒子提出自转与相应角动量概念的是1925年由 Ralph Kronig 、George

Uhlenbeck 与 Samuel Goudsmit 三人所为。然而尔后在量子力学中，透过理论以及实

验验证发现基本粒子可视为是不可分割的点粒子，是故物体自转无法直接套用到自旋角

动量上来，因此仅能将自旋视为一种内在性质，为粒子与生俱来带有的一种角动量，并

且其量值是量子化的，无法被改变（但自旋角动量的指向可以透过操作来改变）。

自旋对原子尺度的系统格外重要，诸如单一原子、质子、电子甚至是光子，都带有正半

奇数（1/2、3/2等等）或含零正整数（0、1、2）的自旋；半整数自旋的粒子被称为费

米子（如电子），整数的则称为玻色子（如光子）。复合粒子也带有自旋，其由组成粒

子（可能是基本粒子）之自旋透过加法所得；例如质子的自旋可以从夸克自旋得到。

目录

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1 概论

2 发展史

3 自旋量子数

o

3.1 基本粒子的自旋

o

3.2 亚原子粒子的自旋

o

3.3 原子和分子的自旋

o

3.4 自旋与统计

4 自旋的方向

o

4.1 自旋投影量子数与自旋多重态

o

4.2 自旋矢量

5 自旋与磁矩

6 量子力学中关于自旋的数学表示

o

6.1 自旋算符

o

6.2 自旋与泡利不相容原理

o

6.3 自旋与旋转

o

6.4 自旋与洛伦兹变换

o

6.5 泡利矩阵和自旋算符

o

6.6 沿x, y和 z 轴的自旋测量

o

6.7 沿任意方向的自旋测量

o

6.8 自旋测量的相容性

7 应用

8 相关条目

9 参考资料

10 外部链接

[编辑] 概论

自旋角动量是系统的一个可观测量，它在空间中的三个分量和轨道角动量一样满足相同

的对易关系。每个粒子都具有特有的自旋。粒子自旋角动量遵从角动量的普遍规律，p=[J

（J+1）]h为自旋角动量量子数 ，J ＝ 0，1 ／ 2 ， 1，3／2，„„。自旋为半奇

0.5

数的粒子称为费米子，服从费米-狄拉克统计；自旋为0或整数的粒子称为玻色子，服

从玻色-爱因斯坦统计 。复合粒子的自旋是其内部各组成部分之间相对轨道角动量和各

组成部分自旋的矢量和，即按量子力学中角动量相加法则求和。已发现的粒子中，自旋

为整数的，最大自旋为4；自旋为半奇数的，最大自旋为3／2。

自旋是微观粒子的一种性质。自旋为0的粒子从各个方向看都一样，就像一个点。自旋

为1的粒子在旋转360度后看起来一样。自旋为2的粒子旋转180度，自旋为1／2的

粒子必须旋转2圈才会一样。 自旋为1／2的粒子组成宇宙的一切，而自旋为0，1，2

的粒子产生物质粒子间的力。物质粒子服从泡利不相容原理。

[编辑] 发展史

自旋的发现，首先出现在碱金属元素的发射光谱课题中。于1924年，沃尔夫冈·泡利

首先引入他称为是“双值量子自由度”(two-valued quantum degree of freedom)，与

最外壳层的电子有关。这使他可以形式化地表述泡利不相容原理，即没有两个电子可以

在同一时间共享相同的量子态。

泡利的“自由度”的物理解释最初是未知的。Ralph Kronig，Landé的一位助手，于1925

年初提出它是由电子的自转产生的。当泡利听到这个想法时，他予以严厉的批驳，他指

出为了产生足够的角动量，电子的假想表面必须以超过光速运动。这将违反相对论。很

大程度上由于泡利的批评，Kronig决定不发表他的想法。

当年秋天，两个年轻的荷兰物理学家产生了同样的想法，George Uhlenbeck和Samuel

Goudsmit。在保罗·埃伦费斯特的建议下，他们以一个小篇幅发表了他们的结果。它得

到了正面的反应，特别是在Llewellyn Thomas消除了实验结果与 Uhlenbeck 和

Goudsmit 的（以及 Kronig 未发表的）计算之间的两个矛盾的系数之后。这个矛盾是

由于电子指向的切向结构必须纳入计算，附加到它的位置上；以数学语言来说，需要一

个纤维丛描述。切向丛效应是相加性的和相对论性的（比如在c趋近于无限时它消失了）；

在没有考虑切向空间朝向时其值只有一半，而且符号相反。因此这个复合效应与后来的

相差系数2(Thomas precession)。

尽管他最初反对这个想法，泡利还是在1927年形式化了自旋理论，运用了埃尔文·薛

定谔和沃纳·海森堡发现的现代量子力学理论。他开拓性地使用泡利矩阵作为一个自旋

算子的群表述，并且引入了一个二元旋量波函数。

泡利的自旋理论是非相对论性的。然而，在1928年，保罗·狄拉克发表了狄拉克方程，

描述了相对论性的电子。在狄拉克方程中，一个四元旋量所谓的“狄拉克旋量”被用于

电子波函数。在1940年，泡利证明了“自旋统计定理”，它表述了费米子具有半整数

自旋，玻色子具有整数自旋。

[编辑] 自旋量子数

[编辑] 基本粒子的自旋

对于像光子、电子、各种夸克这样的基本粒子，理论和实验研究都已经发现它们所具有

的自旋无法解释为它们所包含的更小单元围绕质心的自转（参见经典电子半径）。由于

这些不可再分的基本粒子可以认为是真正的点粒子，因此自旋与质量、电量一样，是基

本粒子的内禀性质。

在量子力学中，任何体系的角动量都是量子化的，其取值只能为：

其中是约化普朗克常数，而自旋量子数是整数或者半整数(0, 1/2, 1, 3/2, 2,„„)，

自旋量子数可以取半整数的值，这是自旋量子数与轨道量子数的主要区别，后者的量子

数取值只能为整数。自旋量子数的取值只依赖于粒子的种类，无法用现有的手段去改变

其取值（不要与自旋的方向混淆，见下文）。

例如，所有电子具有 ，自旋为1/2的基本粒子还包括正电子、中微子和夸克，

s = 1/2

光子是自旋为1的粒子，理论假设的引力子是自旋为2的粒子，理论假设的希格斯玻色

子在基本粒子中比较特殊，它的自旋为0。

[编辑] 亚原子粒子的自旋

对于像质子、中子及原子核这样的亚原子粒子，自旋通常是指总的角动量，即亚原子粒

子的自旋角动量和轨道角动量的总和。亚原子粒子的自旋与其它角动量都遵循同样的量

子化条件。

通常认为亚原子粒子与基本粒子一样具有确定的自旋，例如，质子是自旋为1/2的粒子，

可以理解为这是该亚原子粒子能量量低的自旋态，该自旋态由亚原子粒子内部自旋角动

量和轨道角动量的结构决定。

利用第一性原理推导出亚原子粒子的自旋是比较困难的，例如，尽管我们知道质子是自

旋为1/2的粒子，但是原子核自旋结构的问题仍然是一个活跃的研究领域。

[编辑] 原子和分子的自旋

原子和分子的自旋是原子或分子中未成对电子自旋之和，未成对电子的自旋导致原子和

分子具有顺磁性。

[编辑] 自旋与统计

粒子的自旋对于其在统计力学中的性质具有深刻的影响，具有半整数自旋的粒子遵循费

米-狄拉克统计，称为费米子，它们必须占据反对称的量子态（参阅可区分粒子），这

种性质要求费米子不能占据相同的量子态，这被称为泡利不相容原理。另一方面，具有

整数自旋的粒子遵循玻色-爱因斯坦统计，称为玻色子，这些粒子可以占据对称的量子

态，因此可以占据相同的量子态。对此的证明称为自旋统计理论，依据的是量子力学以

及狭义相对论。事实上，自旋与统计的联系是狭义相对论的一个重要结论。

[编辑] 自旋的方向

[编辑] 自旋投影量子数与自旋多重态

在经典力学中，一个粒子的角动量不仅有大小（取决于粒子转动的快慢），而且有方向

（取决于粒子的旋转轴）。量子力学中的自旋同样有方向，但是是以一种更加微妙的形

式出现的。在量子力学中，对任意方向的角动量分量的测量只能取如下值：

其中s是之前章节讨论过的自旋量子数。可以看出对于给定的s，"s" 可以取“2s+1”

_z

个不同的值。例如 对于自旋为1/2的粒子，"s"只能取两个不同的值，+1/2或-1/2。

_z

相应的量子态为粒子自旋分别指向+z或-z方向，一般我们把这两个量子态叫做

“spin-up"和"spin-down"。 对于一个给定的量子态，可以给出一个自旋矢量,它的

各个分量是自旋沿着各坐标轴分量的数学期望值，即 . 这

个矢量描述自旋所指的“方向”，对应于经典物理下旋转轴的概念。这个矢量在实际做

量子力学计算时并不十分有用，因为它不能被直接测量--根据不确定性原理,, and

ss

xy

s

z

不能同时有确定值。但是对于被置于同一个量子态的大量粒子，例如使用

Stern-Gerlach仪器得到的粒子，自旋矢量确实有良好定义的实验意义。

[编辑] 自旋矢量

[编辑] 自旋与磁矩

具有自旋的粒子具有磁偶极矩，就如同经典电动力学中转动的带电物体。磁矩可以通过

多种实验手段观察，例如，在施特恩-格拉赫实验中受到不均匀磁场的偏转，或者测量

粒子自身产生的磁场。

一个基本粒子，电量为q，质量为m，自旋为S，则其内禀磁矩μ为

其中无量纲量g称为g－因子，当仅有轨道角动量时，g=1。

电子是带电荷的基本粒子，具有非零磁矩。量子电动力学理论成功以预测了电子的g-

因子，其实验测量值为−2.002 319 304 3622(15)，括号中的两位数字为测量的不确定

度，来源于标准差，整数部分2来源于狄拉克方程(狄拉克方程是与将电子自旋与其电

[1]

磁性质联系起来的基本方程)，小数部分(0.002 319 304„)来源于电子与周围电磁场的

相互作用，其中也包括电子自身的产生的电磁场。

[编辑] 量子力学中关于自旋的数学表示

[编辑] 自旋算符

与轨道角动量类似，自旋满足对易关系：

其中 ε 为列维-奇维塔符号。 与 的本征值（用狄拉克符号表示）为：

SS

2

zijk

自旋产生和湮灭算符作用于本征矢量上可以得到：

其中。

然而与轨道角动量所不同的是，自旋的本征矢量不是球谐函数，它们不是 θ 和 φ 的

函数，而且 与 不能取半整数值也只是一种约定，没有具体的含义。

sm

除了其它性质以外，量子力学描述的所有粒子具有内禀自旋（尽管可能出现量子数 = 0

S

的情况）。自旋量子数的取值为约化普朗克常数的整数倍或半整数倍，因此波函数可

以写为 而不是，其中σ可以取值的集合为：

，由此可以区分玻色

子 (S=0, 1 , 2 , ...)和费米子 (S=1/2 , 3/2 , 5/2 , ...)。自旋角动量与轨道角

动量之和为总角动量，在相互作用过程中总角动量守恒。

[编辑] 自旋与泡利不相容原理

泡利不相容原理指出，对于可分辨的N粒子体系，交换其中任意两个粒子，则有：

因此，对于玻色子，前置因子( − 1)可简化为+1，而对于费米子为-1。在量子力学中，

2

S

所有的粒子不是玻色子就是费米子，而在相对论量子场论中存在“超对称”粒子，它们

是玻色子成分和费米子成分的线性组合。对于二维体系，前置因子( − 1)可以取为任

2

S

何模为1的复数。

电子是自旋量子数S=1/2的费米子；光子是自旋量子数S=1的玻色子。这充分说明自旋

这一特性无法完全用经典的内禀轨道角动量来解释，也就是不能认为自旋是像陀螺一样

的自转运动，因为轨道角动量只能导致s取整数值。电子一般情况下可以不考虑相对论

效应，光子必须采用相对论来处理，而用来描述这些粒子的麦克斯韦方程组，也是满足

相对论关系的。

泡利不相容原理非常重要，例如，化学家和生物学家常用的元素周期表就是遵循泡利不

相容原理制订的。

[编辑] 自旋与旋转

如上所述，量子力学指出角动量沿任意方向的分量只能取一系列离散值，量子力学中最

普遍的描述粒子自旋的方法是，用一个归一完备的复数集来表示内禀角动量在给定坐标

轴方向投影出现的概率。例如，对于自旋1/2的粒子，用表示角动量投影出现的

概率为 和 ，它们满足：

由于这些复数的取值依赖于坐标轴的选取，坐标轴转动变换可以是非平凡的，因此要求

采用线性的变换法则，以便将所有的转动通过一个矩阵联系起来，这要求变换必须满足

乘法运算，而且必须保持内积不变，因此变换矩阵应当满足：

用数学语言表述，这些矩阵是SO(3)群的幺正表示，每一个这样的表示对应于SU(2)群

的一个表示（SO（3）群是SU(2)群的子群），SU(2)群的每一个不可约表示对应一个维

度。例如，自旋1/2的粒子在二维表示下作转动变换，可以用泡利矩阵表示为：

其中 α,β,γ 为 欧拉角.

同样地，可以用高维群表示描述粒子的高阶自旋变换，参见泡利矩阵相关章节。

[编辑] 自旋与洛伦兹变换

我们可以在洛伦兹变换下研究自旋的行为，但与SO(3)群不同，洛伦兹群SO(3,1)是非

紧致的，不存在有限维幺正表示。

对于自旋1/2的粒子，有可能构造出保持内积不变的有限维表示。将每个粒子用一个四

元狄拉克自旋量ψ来表示，这些旋量在洛伦兹变换下遵守如下规则：

其中γ为伽马矩阵，ω是一个反对称的矩阵，它将洛伦兹变换参数化。我们

μμν

可以看到内积表示

保持不变。由于表示矩阵是非正定的，因此不是幺正表示。

[编辑] 泡利矩阵和自旋算符

量子力学中表示自旋这个可观测量的算符为：

对于自旋为-1/2的情形， σ, σ和 σ为三个泡利矩阵，表示为

xyz

[编辑] 沿x, y和 z 轴的自旋测量

每个泡利矩阵的哈密顿量有两个本征值：+1和-1。相应的归一化本征矢量为：

,

,

.

根据量子力学基本假设，测量沿x,y或z轴的电子自旋的实验只能得到相应坐标轴上自

旋算符(, , )的本征值： 和 粒子的量子态可以用一个具有两个分量的自旋

SSS

xyz

量来表示：

当测量给定坐标轴方向（这里取为x轴）的自旋时，测量到自旋为的概率恰好为

。相应的测量到自旋为的概率恰好为。经过测量，

粒子的自旋将塌缩到相应的本征态。结果导致，如果粒子在给定坐标轴方向的自旋已经

被测量出确定的值，所有的测量将得到相同的本征值（因为，

依此类推），只要其它坐标轴方向的自旋还没有被测量。

[编辑] 沿任意方向的自旋测量

沿任意方向的自旋算符很容易从泡利矩阵导出，令 = (,,)为任意单位矢量，则

uuuu

xyz

沿该方向的自旋算符为，算符σ具有本征值

u

。对于高自旋态，沿任意方向的自旋算符可以通过它与x,y,z轴三个方向的矢量

的内积来确定。

对于自旋-1/2的粒子，一个沿(,,)方向的正交的自旋子为（除了导致0/0的自旋

uuu

xyz

态）：

确定上述自旋子的一般方法：将矩阵σ对角化，求取与本征值相应的本征矢量，这样

u

的本征矢量就可以作为自旋子。

[编辑] 自旋测量的相容性

由于泡利矩阵是反交换的，因此沿不同方向测量的自旋是不相容的，例如，在我们已知

x轴方向的自旋的情况下，测量沿y轴方向的自旋，这样会将我们先前在x轴方向的测

量结果否定。这可以从泡利矩阵的本征矢量（本征态）中看出来：

因此，假如我们测量到沿x轴方向的自旋是，这个粒子的自旋将塌缩为本征态；

当我们接着测量y轴方向的自旋时，自旋本征态将塌缩到或者，塌缩到

这两个本征态的概率都是，可以认为这是测量到了。当我们再次测量沿x轴的自

旋，测量到 或者 的概率各为（ 和 ），

这说明我们最初沿x轴方向的测量不再正确，因为此时沿x轴方向测量的自旋得到两种

本征值的概率是相等的。