热力学费米分布的推导过程

热力学费米分布的推导过程

热力学费米分布的推导过程如下：

假设系统中有一组粒子，满足费米-狄拉克统计。统计物理中的

费米子遵循泡利不相容原理，即同一量子态最多只能有一个粒子。根

据泡利不相容原理，每个量子态的粒子数要么为0（无粒子），要么为

1（有一个粒子）。

考虑一个费米气体系统，由N个粒子组成，各占据不同的量子态。

假设每个粒子各自的能级为ϵi，共有ω个不同的量子态。根据费米

子的性质，每个粒子的能级都要与其他粒子的能级不同。

我们希望计算出费米分布函数，即粒子占据每个量子态的概率。

设粒子占据第i个量子态的概率为f(i)，则占据其余量子态的概率为

1-f(i)。

根据统计物理的定义，粒子占据第i个量子态的概率应满足以下

两个条件：

1. 粒子在所有量子态上的分布概率之和为1：∑[f(i) + (1-f(i))] =

∑1 = ω

2. 粒子在每个量子态上的概率与粒子的占据数之间有关：f(i) + (1-

f(i)) = 1，当粒子数大于等于1时；f(i) + (1-f(i)) = 0，当粒子

数等于0时。

考虑到不同的量子态是互相独立的，我们可以根据各个量子态的

占据概率的独立性，将整个系统的概率分布表示为各个量子态的概率

的乘积。

因此，我们定义费米分布函数f(i)为粒子占据第i个量子态的概

率。考虑到泡利不相容原理，每个量子态上最多只能有一个粒子，因

此我们可以写出费米分布函数的形式：

f(i) = 1 / [exp[(ϵi - μ) / kT] + 1]

其中，ϵi为第i个量子态的能量，μ为化学势，k为玻尔兹曼

常数，T为系统的温度。

费米分布函数的形式给出了粒子占据各个量子态的概率。当温度

趋近于绝对零度时，由于费米分布函数中的指数项非常大，可以将其

近似为无穷大，费米分布函数则为0。这就对应了费米子自由度下的全

满能级，即费米能级以下的能级被占满，费米能级以上的能级为空。

以上即为热力学费米分布的推导过程。