10分钟就可以了解费米子理论

10分钟就可以了解费⽶⼦理论

费⽶⼦的⾃旋为半整数；描述两个全同费⽶⼦的总波函数对于粒⼦交换具有反对称性。因此，两个费⽶⼦在同⼀个量⼦

系统中永远⽆法占据同⼀量⼦态，这称为泡利不相容原理。这并没有涉及到任何位势，并没有任何作⽤⼒施加于它们本

体，这纯粹是从⽆法区分全同粒⼦⽽产⽣的⼀种量⼦性质，在经典物理学⾥，找不到类似性质。

费⽶⼦包括像夸克、电⼦、中微⼦等等基本粒⼦，另外，由三个夸克结合形成的亚原⼦粒⼦，像质⼦、中⼦等等，也都

是费⽶⼦。它们必须⽤费⽶–狄拉克统计来描述它的统计⾏为。

原⼦是⼀种复合粒⼦，原⼦到底是费⽶⼦还是玻⾊⼦，必需依总⾃旋⽽定。例如，氦-3的总⾃旋为1/2，它含有两个⾃旋

相反的质⼦、⼀个任意⾃旋的中⼦、两个⾃旋相反的电⼦，所以它是费⽶⼦；⽽氦-4的总⾃旋为0，它含有两个⾃旋相

反的质⼦、两个⾃旋相反的中⼦、两个⾃旋相反的电⼦，所以它是玻⾊⼦。

泡利不相容原理主导原⼦的电⼦排布问题，从⽽直接影响到⽇常物质的各种性质，从⼤尺度稳定性⾄原⼦的化学⾏为。

1913年，尼尔斯·玻尔提出关于氢原⼦结构的波尔模型，成功解释氢原⼦线谱，他⼜试图将这理论应⽤于其它种原⼦与

分⼦，但获得很有限的结果。经过漫长九年的研究，1922年，玻尔才⼜完成关于周期表内各个元素怎样排列的论述，并

且建⽴了递建原理，这原理给出在各个原⼦⾥电⼦的排布⽅法──每个新电⼦会占据最低能量空位。

但是，玻尔并没有解释为什么每个电⼦层只能容纳有限并且呈规律性数量的电⼦，根据最⼩能量原理，所有系统都趋向

于最低能量态，因此所有束缚于原⼦的电⼦应该都被同样排列在最低能量的电⼦层。

任何理论的诞⽣，都不是简单容易的，泡利不相容原理也是这样的。

泡利于1918年进⼊慕尼⿊⼤学就读，阿诺·索末菲是他的博⼠论⽂指导教授，他们经常探讨关于原⼦结构⽅⾯的问题，

特别是先前⾥德伯发现的整数数列2,8,18,32…每个整数是对应的电⼦层最多能够容纳的电⼦数量，这数列貌似具有特别

意义。

1921年，泡利获得博⼠学位，在他的博⼠论⽂⾥，他应⽤玻尔-索末⾮模型来研讨氢分⼦离⼦H2+问题，因此他熟知旧

量⼦论的种种局限。毕业后，泡利应聘在哥廷根⼤学成为马克斯·玻恩的得意助⼿。

后来，玻尔邀请泡利到哥本哈根⼤学的玻尔研究所⼯作，专注于研究原⼦谱光谱学的反常塞曼效应。

在这段时期，他时常怏怏不乐，并且漫⽆⽬标地徘徊在哥本哈根市区内的⼤街⼩巷，因为反常塞曼效应给予他很⼤的困

扰，他⽆法解释为什么会发⽣反常塞曼效应，这主要是因为经典模型与旧量⼦论不⾜，埃尔温·薛定谔的波动⼒学与维尔

纳·海森堡的矩阵⼒学还要等⼏年才会出现。泡利只能够分析出当外磁场变得⾮常强劲时的案例，即帕邢-巴克效应

（Paschen-Backer effect），由于强外磁场能够破坏⾃旋⾓动量与轨道⾓动量之间的耦合，因此问题变得较为简单。这

研究对于⽇后发现泡利原理具有关键性作⽤。

隔年，泡利任职为汉堡⼤学物理讲师，他开始研究电⼦层的填满机制，他认为这问题与多重线结构有关。按照那时由玻

尔带头的主流观点，因为原⼦核具有有限⾓动量，才会出现双重线结构。

泡利对此很不赞同，1924年，他发表论⽂指出，因为电⼦拥有⼀种量⼦特性，碱⾦属才会出现双重线结构（如右图所

⽰，在⽆外磁场作⽤下得到的钠D线是典型的双重线结构），这是⼀种⽆法⽤经典⼒学理论描述的“双值性”。为此，他

提议设置另⼀个量⼦数，这量⼦数的数值只可能是两个数值中的⼀个。

从光谱线分裂的数据，爱德蒙·斯通纳（Edmund Stoner）最先给出各个原⼦的正确电⼦排布。他在1924年发表论⽂提

议，将电⼦层分成⼏个电⼦亚层，按照⾓量⼦数l{displaystyle ell }l，每个电⼦亚层最多可容纳 2(2ell +1)}

个电⼦。斯通纳指出，在处于外磁场的碱⾦属原⼦⾥，⾓量⼦数为l{displaystyle ell }的价电⼦的能级会分裂成

{displaystyle 2(2ell +1)}

个能级。从这篇论⽂，泡利找到解释电⼦排列的重要线索，泡利敏锐地查觉到解决问题的关键思路。

个能级。从这篇论⽂，泡利找到解释电⼦排列的重要线索，泡利敏锐地查觉到解决问题的关键思路。

1925年，泡利发表论⽂正式提出泡利原理，以禁令的形式表⽰如下：

原⼦⾥⾯绝对不能有两个或多个的电⼦处于同样状态，这状态是由在外磁场⾥电⼦表现出的四个量⼦数(n,l ,j,m}所设

定。假若在原⼦⾥有⼀个电⼦对于这四个量⼦数拥有明确的数值，则这四个量⼦数所设定的状态已被占有。

之后不久，撒姆尔·⾼斯密特（Samuel Goudsmit）与乔治·乌伦贝克表⽰，电⼦具有⾃旋，⽽这⾃旋与泡利所提到的第

四个量⼦数的双值性密切相关。他们假设电⼦的⾃旋为⼆分之⼀{displaystyle 1/2}⼆分之⼀，在磁场作⽤下，沿着磁场

⽅向可以是上旋{displaystyle +1/2}或下旋，{displaystyle -1/2}，总⾓量⼦数j{displaystyle j}是⾓量⼦数l{displaystyle

ell }与⾃旋量⼦数s{displaystyle s}w的代数和或代数差。应⽤这些概念，可以很容易说明反常塞曼效应。起初，泡利对

于这点⼦持保留态度。后来，卢埃林·汤玛斯应⽤狭义相对论正确地计算出双重线结构。⾃旋模型因此得到肯定。

在泡利原理被发表的那年，海森堡创建了矩阵⼒学。隔年，薛定谔发展出波动⼒学。这两个创举标志了现代量⼦⼒学的

诞⽣。后来，海森堡与狄拉克分别提出了全同粒⼦的概念。

在经典⼒学⾥，可以单独地跟踪与辨认每⼀个粒⼦；在量⼦⼒学⾥，由于不确定性原理，⽆法准确的跟踪任何粒⼦，⼜

由于在每⼀种粒⼦⾥，所有粒⼦都完全相同，⽆法辨认出哪个粒⼦是哪个粒⼦。因此，全同粒⼦的概念是经典⼒学与量

⼦⼒学的⼀个重要分⽔岭。

恩⾥科·费⽶与保罗·狄拉克分别独⽴地推导出遵守泡利不相容原理的多个全同粒⼦（费⽶⼦）的统计⾏为，称为费⽶-狄

拉克统计。

萨特延德拉·玻⾊与阿尔伯特·爱因斯坦先前合作给出的玻⾊-爱因斯坦统计则描述不遵守泡利不相容原理的多个全同粒⼦

（玻⾊⼦）的统计⾏为。

海森堡与狄拉克分别应⽤波动⼒学于多个粒⼦系统，泡利不相容原理的机制可以⽤波函数对于全同粒⼦交换的对称性与

反对称性来说明。由于泡利不相容原理能够适⽤于所有费⽶⼦，狄拉克对于这个延伸给出命名“不相容原理”，指的是在

量⼦系统⾥，多个全同费⽶⼦不能处于同样量⼦态。海森堡应⽤泡利不相容原理来说明⾦属的铁磁性与其他性质。

泡利的1925年论⽂并没有说明为什么⾃旋为半整数的费⽶⼦遵守泡利不相容原理，⽽⾃旋为整数的玻⾊⼦不遵守泡利不

相容原理？1940年，泡利提出⾃旋统计定理尝试解释这问题，这定理⽤相对论性量⼦⼒学展⽰出，由⾃旋为半整数的全

同粒⼦所组成的量⼦系统，其波函数对于粒⼦交换具有反对称性，由⾃旋为整数的全同粒⼦所组成的量⼦系统，其波函

数对于粒⼦交换具有对称性，泡利不相容原理是这量⼦⾏为的⾃然后果。

但是，实际⽽⾔，这定理只展⽰出了⾃旋与统计⾏为之间的关系符合相对论性量⼦⼒学，与所有已知物理理论没有任何

⽭盾。泡利于1947年承认，他⽆法对于泡利不相容原理给出⼀个逻辑解释，也⽆法从更基础理论推导出这原理，尽管他

原本期望新创建的量⼦⼒学能够严格地推演出泡利不相容原理。

理查·费曼在著名的费曼物理学讲义⾥清楚表明，为什么带半整数⾃旋的粒⼦是费⽶⼦，它们的概率幅是以负号相结合？

⽽带整数⾃旋的粒⼦是玻⾊⼦，它们的概率幅是以正号相结合？我们很抱歉不能给你⼀个简单的解释。泡利从量⼦场论

与相对论出发，以复杂的⽅法推导出⼀个解释。他证明了这两者必须搭配的天⾐⽆缝。我们希望能从更基本的层级复制

他的论述，但是尚未获得成功……这或许意味着我们还未完全了解所牵涉到的基本原理。

想要找到这基本原因的物理学者⾄今仍旧⽆法得到满意答案！这基本原因很可能会是⾮常错综复杂，完全不像泡利不相

容原理本⾝那样的简单与精致。

保罗·埃伦费斯特于1931年指出，由于泡利不相容原理，在原⼦内部的束缚电⼦不会全部掉⼊最低能量的轨道，它们必

须按照顺序占满能量越来越⾼的轨道。因此，原⼦会拥有⼀定的体积，物质也会那么⼤块。

1967年，弗⾥曼·戴森与安德鲁·雷纳德（Andrew Lenard）给出严格证明，他们计算吸引⼒（电⼦与核⼦）与排斥⼒

（电⼦与电⼦、核⼦与核⼦）之间的平衡，推导出重要结果：假若泡利不相容原理不成⽴，则普通物质会坍缩，占有⾮

常微⼩体积。

1964年，夸克的存在被提出之后不久，奥斯卡·格林柏格（Oscar Greenberg）引⼊了⾊荷的概念，试图解释三个夸克如

何能够共同组成重⼦，处于在其它⽅⾯完全相同的状态但却仍满⾜泡利不相容原理。这概念后来证实有⽤并且成为夸克

模型（quark model）的⼀部分。1970年代，量⼦⾊动⼒学开始发展，并构成粒⼦物理学中标准模型的重要成分。

泡利不相容原理可⽤来解释很多种不同的物理现象与化学现象，这包括原⼦的性质，⼤块物质的稳定性与性质、中⼦星

或⽩矮星的稳定性、固态能带理论⾥的费⽶能级等等。

泡利不相容原理的重要后果是原⼦⾥错综复杂的电⼦层结构，以及原⼦与原⼦之间共⽤价电⼦的⽅式，这后果解释了各

种不同的化学元素与它们的化学组合。

电中性的原⼦含有数量相等的电⼦与质⼦。电⼦是费⽶⼦，遵守泡利不相容原理，每⼀个原⼦轨道最多只能载有2个电

⼦。当正好有两个电⼦处于同⼀个原⼦轨道时，这对电⼦的⾃旋必定彼此⽅向相反。

举例⽽⾔，中性氦原⼦有两个束缚电⼦，这两个电⼦都能够占据最低能量原⼦轨道（1s），但彼此之间⾃旋的⽅向相

反，⼀个是上旋，另⼀个是下旋。由于⾃旋是电⼦量⼦态的⼀部分，这两个电⼦处于不同的量⼦态，不会违反泡利不相

容原理。

中性锂原⼦有三个束缚电⼦，第三个电⼦不能占据1s原⼦轨道，因为1s原⼦轨道已被填满，只能改⽽占据第⼆低能量原

⼦轨道（2s）。类似地，越后⾯元素的束缚电⼦必须占据越⾼能量的原⼦轨道。

每⼀个元素的化学性质与最外层的电⼦层所拥有电⼦的数量有关。不同的元素，假若最外层的电⼦层所拥有电⼦的数量

相同，则所表现出的性质类似，周期表就是依赖这机制来排列元素。

依赖泡利不相容原理与递建原理，就可以解释周期表内⼤多数元素的物理与化学性质，但是，遇到关于⽐较某些原⼦轨

道的能量⾼低问题，需要使⽤到洪德规则。较重元素可能会出现不遵守洪德规则的例外。

类氢原⼦系统的稳定性并不依赖泡利不相容原理，⽽是依赖描述原⼦的量⼦理论。应⽤经典电动⼒学来分析类氢原⼦稳

定性问题，由于库仑⼒作⽤，束缚电⼦会被原⼦核吸引，呈螺线运动掉⼊原⼦核，同时发射出⽆穷⼤能量的辐射，因此

可以推论，原⼦不具有稳定性。但是，在⼤⾃然⾥这假想现象实际并不会发⽣。

那么，为什么氢原⼦的束缚电⼦不会掉⼊原⼦核？从薛定谔⽅程，可以计算出氢原⼦系统的基态能量⼤于某有限值，因

此不可能发射出⽆穷⼤能量的辐射，⾃然也不会掉⼊原⼦核。

另外，也可以应⽤海森堡不确定性原理{displaystyle Delta xDelta pgeq hbar /2}来启发性地说明这问题，电⼦越接近

原⼦核，电⼦动能越⼤。但是海森堡不确定性原理不能严格给出数学证明，必需使⽤类似的索博列夫不等式。

泡利不相容原理使得含有多个电⼦与核⼦的⼤型系统占有⼤体积的空间，并且具有稳定性。对于这论题，埃伦费斯特曾

经提出疑问，为什么物质会这么⼤块，尽管它的分⼦与原⼦被包装地那么紧密？追根究底，为什么原⼦的尺⼨会这么庞

⼤？

举例⽽⾔，铅原⼦拥有82个质⼦与82个电⼦，铅原⼦核的吸引⼒应该很强，是氢原⼦核的82倍，但是只有少数电⼦的

轨道离原⼦核很近，按照经典理论，在电⼦与电⼦之间的排斥⼒超过原⼦核的吸引⼒以前，应该可以有更多电⼦集中在

原⼦核附近的轨道。但是，为什么铅原⼦不会这样坍缩变⼩？

埃伦费斯特猜想，这是因为泡利不相容原理所产⽣的效应；由于泡利不相容原理，原⼦的尺⼨才会这么庞⼤，物质才会

这么⼤块。后来，戴森发表论⽂表明，假若没有泡利不相容原理，不只单独原⼦会坍缩变⼩，物质也会同样的坍缩变

⼩；任意两个⼤块物体混合在⼀起，就会释出像原⼦弹爆炸⼀般的能量！

假设⼀个原⼦拥有N>2个电⼦，由于电⼦是费⽶⼦，这N个电⼦不能占有同样量⼦态，因此不会都塌陷⾄最低能量的量

在天⽂学⾥，⽩矮星与中⼦星的存在演⽰出泡利不相容原理的惊奇效应。在这两种冷恒星天⽂物体⾥，原⼦结构被特强

劲的引⼒破坏，但仍旧能够依靠简并压维持平衡。这种奇特形式的物质称为简并物质。恒星通常倚靠内部的核聚变来与

质量产⽣的巨⼤引⼒维持平衡。⽩矮星不会进⾏核聚变，因此必须依靠电⼦简并压来与引⼒相对抗。在中⼦星⾥，由于

受到更强劲的引⼒，电⼦与质⼦融合在⼀起，形成中⼦。虽然作⽤距离较短，中⼦能够产⽣更强劲的简并压，因此促使

中⼦星达到稳定状况，不再进⼀步坍缩，尽管如此，中⼦星的尺⼨⽐⽩矮星⼩，密度⽐⽩矮星⾼。中⼦星是已知最刚硬

的物体，其杨⽒模量（更精确地，体积模量）⽐钻⽯还刚硬20个数量级。但是，甚⾄这么刚硬的物体仍旧可以被⼤质量

恒星的引⼒场或超新星所⽡解，导致⿊洞的形成。

泡利不相容原理很好的解释了电⼦排列，这在上⾯已经提到了。核外电⼦排布遵循泡利不相容原理、能量最低原理和洪

特规则。

能量最低原理就是在不违背泡利不相容原理的前提下，核外电⼦总是尽先占有能量最低的轨道，只有当能量最低的轨道

占满后，电⼦才依次进⼊能量较⾼的轨道，也就是尽可能使体系能量最低。

洪特规则是在等价轨道(相同电⼦层、电⼦亚层上的各个轨道)上排布的电⼦将尽可能分占不同的轨道，且⾃旋⽅向相

同。

后来量⼦⼒学证明，电⼦这样排布可使能量最低，所以洪特规则可以包括在能量最低原理中，作为能量最低原理的⼀个

补充 。