第三章 资金的时间价值及其等值计算
一、资金的时间价值
两个方案的初始投资相同为500万元，寿命周期内实现的收益总额相同都为450万元。甲方案前期利润大，后期利润小，乙方案前期利润小，后期利润大。
我们是否按其实现收益的总额相同认为该两方案的效益是一样的呢？不一样，关键就在于资金具有时间价值。
S=P （1+i ）n
S 为n 年后的将来值（本利和）；
P 为资金的现值； i 为复利利率。
一笔货币把它放在家中，或者用其他手段（埋在地下）储藏起来。几年之后仍为同量的货币。如果把货币作为社会生产的资金，投入到国民经济生产之中去，随着时间的推延，就会产生效益，生产利润，使自身增值，这就是货币的时间价值。
所谓货币的时间价值（ Time V alue of money ）就是货币在生产流通过程中能产生新的价值。 二、利息的计算 1、单利法
单利法仅以本金为基数计算利息，即不论年限多长，每年均按原始本金计息，而已取得的利息不再计息。
I P i n =
2、复利法
复利法以本金与利息之和为基数计算利息。
(1)(1)n
n S P i I S P P i P
=+=-=+-
例1：若有1000元钱，存40年，年利率为8%，则：
单利：S 40=1000（1+0.08*40）=4200元，I= S 40-P=3200元。
复利：S 40=1000（1+0.08）40=21724.52元，I= S 40-P=20724.52元。
三、常用普通复利公式
1、期初一次性投入，期末一次性回收的分期复利公式。
S n =P(1+i)n
例2：向银行借贷500元，年利率为5%。用分期复利法计算，问二年后和五年后应偿还本利和为多少？
解：S 2=P(1+i)2=500（1+0.05）2=551.25元 S 5=P(1+i)5=500（1+0.05）5=638.14元
2、期末一次性回收的复利现值公式
1(1)(1)
n
n
n n
P S S i i -==++ （1+i ）-n 称为分期复利法的现值系数，也叫贴现系数。
例3：资金年利率为5%，欲五年后能得到本利和100元，问现在一次性支付多少钱？ 解：5
1(1)100(10.05)78.35((1)
n n
n n
P S S i i --==+=+=+元） 存钱是按单利计算，借钱按复利计算。 3、等额序列复利年金终值公式
设A 为每期末的一个等额投入量，则：
第一期末投入的一个A 在n 期期末的本利和为A （1+i ）n-1
第二期末投入的一个A 在n 期期末的本利和为A （1+i ）n-2
…
…… ……… …………… ……………
………
第n 期末投入的一个A 在n 期期末的本利和为A （1+i ）n-n 故，n 期后各期本利和的累计总值S n 应为：
121
2(1)(1)(1)1)(1)(1)
(1)(1)3(1)1n n n n n n n n n S A i A i A i S i A i A i A i A
A i A S i i i
---=++++++=+++++-+-=+- n n n n ++A （1）将（1）式两边乘以（1+i)得：
（………++A(1+i) (2)将（2）-（1）得：S (1+i)-S =A(1+i)（1+i)-1=A （）
i 其中，为等额序列复利系数
例4：某建设项目总投资额为20亿。计划在每年末投资5亿，分4年投资完。资金借贷年利率为10%。问四年后应偿还的总投资本利和为多少？
解：4
(1)10.11
523.210.1
n n A i A S i +-+-=
=⨯=（）亿 4、分期等额系列复利终值年金公式
假如要创办某事业，计划在几年后需积聚到一笔S n 量的基金。在年利率为i 的情况下，问
每年末应等额存储多少资金。这种情况正好与上述相反，它的计算公式只要转换一下公式（3）即可。
(1)1n
n i
A S i =+-
例5：计划五年后购买一台价格1000元的录音机。年利率为5%，问每年末应存储多少等额资金？
解：5
10000.05
180.97(1)1(10.05)1
n n S i A i ⨯=
==+-+-元 5、分期复利现值年金公式
要求在n 年末能全部回收期初的一次性投资
(1)(1)1(1)1
n n n n
i i i
A S P i i +==+-+- 例6：某新建企业，期初投资为20亿，在年利为10%的情况下，要求五年内全部回收期初
的投资。问每年平均利润应有多少？
解：5
5
0.1(10.1)20 5.28(10.1)1
A +=⨯=+-亿 6、分期复利法等额序列年金现值公式
若已知某企业每年可以得平均利润值P ，在年利率为i 的情况下，可在n 年后全部回收期初的一次投资量。问期初的一次投资量为多少？这种情况正好与上述相反，只要转换一下公式即可。
1)(1)1
(1)(1)
n n n n
A i A i P A i i i i +-+-==++（ 例7：采用某专利技术，每年平均获利2千万元，在年利率为10%的情况下，十年后即可连
本带利全部回收，问期初的一次投入额为多少？
解：1010
1)(1)1(10.1)1
212.29(1)(1)0.1(10.1)n n n n A i A i P A i i i i +-+-+-===⨯=+++（（千万元）
7、分期复利法等额序列资金偿还年限公式
1)(1)(1)(1)(1)lg(1)lg
lg
lg(1)n n
n n n A i A
P i i Pi i A i A A i A iP
A
n i A iP A A iP
n i +-=
++=+-+=
-+=--=+（两边取对数得：
例8：某大型工程项目总投资现值为227亿元，投产后年产值为49.5亿元，扣除成本和税金等费用后每年平均可获得利润17.5亿元。合同中规定资金借贷年利率为7.25%。问全部投资需要几年后才能回收？
解：17.5
lg
lg
17.50.072522740.3lg(1)lg(10.0725)
A A iP n i --⨯=
==++年
上面介绍了几种分期复利法的计算公式，但在实际工作中，一项建设工程其资金的运用方式并不一定是单一性的，而往往是多样性的，因此，在计算过程中，必须分别结合上列公式加以综合性的计算才能获得正确的结果。
例9：某新建企业期初用于厂房的投资为2000万元，其后每年末用于厂房和其他公共设施的投资量平均为1000万元，另外，在第三年末和第四年末因购买设备又投资1000万元和1500万元。工程在第五年末建成并交付使用，资金年利率为10%。问第五年末该企业的投资总额的复利本利和为多少？该工程投产后，每年可获平均利润2000万元。问全部投资几年后可以回收（从投产后算起）。
解：投资共分四种情况，分别予以计算：
（1）期初一次性投入2000万元，期末一次结算，可根据公式得：
S 1=2000（1+0.1）5
=3221.02万元
（2）每年末等额投入1000万元，期末累计结果，可根据公式计算得：
5
(1)10.1110006105.10.1
n n A i A S i +-+-==⨯=（）万元
（3）第三年末一次投入1000万元，期末一次结算
S 3=1000（1+0.1）2=1210万元 （4）第四年末一次投资1500万元，期末一次结算
S 4=P （1+i ）n =1500(1+0.1)1=1650万元 第五年末总投资量的期末价值S 总为各期价值之和。
S 总=S 1+ S 2+ S 3+ S 4
=3221.02+6105.1+1210+1650 =12186.12万元
从第五年起全部资金偿还年限可以根据公式计算：
2000
lg
lg
20000.112186.129.86lg(1)lg(10.1)
A A iP n i --⨯===≈++年10年
三、资金等值计算
1、资金等值的概念
资金等值是指在考虑资金时间价值因素后，不同时点上数额不等的资金在一定利率条件下具有相等的价值。
影响资金等值的因素有三个：资金额大小、资金发生的时间和利率。
利用等值概念，将一个时点发生的资金金额换算成另一时点的等值金额，这一过程叫资金等值计算。
2、等值计算公式
（1）等额分付现值公式
从第一年末到第n 年末有一个等额的现金序列，每年的金额均为A ，这一等额年金序列在利率为i 的条件下，其现值是多少？
可以把等额序列视为n 个一次支付的组合，利用一次支付现值公式推导等额分付现值公式：
23(1)(1)(1)(1)
n
A A A A
P i i i i =
++++++++ 例10：某设备经济寿命为8年，预计年净收益20万元，残值为0，若投资者要求的收益率
为20%，问投资者最多愿意出多少的价格购买该设备？
解：
28
8
202020
(120%)(120%)(120%)1
76.74(20%(120%)
P =
+++++-⨯
=+ 8
+
(1+20%) =20万元）
例11：某项目贷款200万元，银行4年内等额收回全部贷款，已知贷款利率为10%，那么项目每年的收益率不应少于多少万元？ 解：根据资金回收公式得：
4
4(1)10%(110%)20063.09((1)1(110%)1
n n i i A P i ++=⨯=⨯=+-+-万元）
例12：某企业拟购买大型设备，价值为500万元，有两种付款方式可以供选择：（1）一次
性付款，优惠12%；（2）分期付款，则不享受优惠，首次支付必须达到40%，第1年末付30%，第2年末付20%，第3年末付10%。假设企业购买设备所用资金是自有资金，自有资金的机会成本为10%，问应该选择哪种付款方式？有假设企业用借贷资金购买设备，借款的利率为16%，则应选择哪种付款方式？ 解：（1）若资金成本为10%，则：
一次性付款，实际支出500*88%=440（万元） 分期付款，相当于一次性付款值：
23
50030%50020%50010%
50040%456.57((110%)(110%)(110%)
P ⨯⨯⨯=⨯+
++=+++万元） （2）若资金的成本为16%，则：
一次性付款，实际支出500*88%=440（万元） 分期付款，相当于一次性付款值：
23
50030%50020%50010%
50040%435.66((116%)(116%)(116%)P ⨯⨯⨯=⨯+
++=+++万元）
因此，对企业来说，若资金利率为10%，则应选择一次性付款；若资金利率为16%，则应选择分期付款。
