恒定电流场中两层导电介质表面电荷分布特征研究
众所周知，处于静电场中的导体，由于静电感应，导体表面将感应出正负电荷． 对于正电荷产生的静电场，靠近电荷一侧的导体表面是负电荷，另一侧是正电荷［1，2］． 而负电荷产生的静电场，感应电荷的极性相反． 恒定电流场只存在于电导率不等于零的导电介质中［3，4］． 处于恒定电流场中的导体，一般的教科书中说，在电流导通的瞬间，导体中的电荷转移到表面，稳态时，表面电荷与电源电极电荷共同形成恒定电流场［2］． 但是，导体表面的电荷是如何产生的? 正负电荷分布规律与静电感应电荷是否一致?进一步，处于恒定电流场的一般导电介质，其电荷分布又有什么规律? 类似问题一直困扰着我们． 电荷分布复杂，一般没有解析解，必须用三维数值计算精确求解，本文以处于恒定电流场中的两层导电介质
为例，用COMSOL 多物理场有限元数值计算软件数值计算研究导电介质中的电荷分布特性． 首先研究两层无限大导电介质时的解析解，然后数值求解有限大小的两层导电介质，通过计算和分析，总结恒定电场的形成及电荷分布规律．
1 两层导电介质模型
有限大小的两层导电介质如图1 所示． 为了研究介质表面和交界面的电荷分布特性，将介质置于一定大小的空气中，介质的左侧施加电源正极，右侧布置回路电极，电极材料为良导体铜． 左右两侧的介质电导率分别用σ1和σ2表示． 我们研究稳态时，两层介质各处的感应电荷及其分布特性． 一般情况下，有限大小介质的恒定电流场没有解析解，只能通过三维数值计算求解． 为了说明数值求解的正确性，先研究两层无限大导电介质中恒定电流场和电荷分布的解析解．
2 两层无限大导电介质中的恒定电流场和电荷分布解析解
将电源电极和回路电极对称地置于两层无限大导电介质中，距交界面的距离均为h，如图2 所示．稳态时，两层介质交界面必然存在电荷，其电荷形成过程及其分布规律，将通过一系列的公式推导来说明．点电流源在无限大导电介质σ 中产生的电流密度和电场分别为［5］
式( 1) 和式( 2) 中，R 为空间观测点到点电流源的距离，I 为电流源的电流强度，e R表示电流和电场方向的单位矢量．导电介质中有大量的自由电荷，当电源电极和回路电极接通时，两层导电介质中电荷将重新分布，积聚在交界面两侧． 下面先分析电源电极产生的电
流和电荷．根据镜像原理，电流源( 发射电极) 在区域1 和和2 分别感应出电流和电荷，镜像电流用I1和I2示，两区域中的电场和电流分别为:
根据恒定电流场的边界条件，两种导电介质的交界面上的电流法向连续，电场切向连续，边界上任一点到源的距离均相等，即
因RI、RI1、RI2相等，可设RI = RI1 = RI2 = Rh，所以边界条件为
将式( 10) 代入式( 3 ) 和式( 5 ) ，即可得到电 源电流在区域1 和2 中产生的电场，其法向分量分别为:
两层导电介质交界面上的电荷面密度由电位移矢量的法向分量确定，即
同理，可以求出回路电极在两种介质中产生的恒定电流场． 镜像电流:
根据叠加原理，当电源和回路电极同时存在时，交界面电荷是电源和回路分别产生电荷的叠
加，即
式( 19) 中, ,和为介质电阻率，等于电导率的倒数．
式( 19) 就是两层无限大介质交界面上的总电荷分布公式． 公式( 1 ) 到( 19 ) 的推导说明了恒定电流场的形成过程． 下面分两种情形进行分析．
1) 情形一: 电导率介质1 大于介质2，即，介质1 中的自由电荷多于介质2． 当只有右侧电源时，电源不断发出的正电荷向右运动，在介质1中，吸引并中和，正电荷被排斥，向右移动; 介质2中也是同样现象，平衡时，介质1 比介质2 多余的部分正电荷滞留在交界面，净电荷为正． 当只有左侧回路时，介质2 中的正电荷全部被回路电极吸引中和． 介质2 的电导率小于介质1，由式( 2) 知，介质2 中的电场强，要吸引介质1 中的正电荷． 但是介质1 中的负电荷阻止正电荷流动，界面右侧将积累正电荷，最终，界面的净电荷也
是正． 当电源和回路电极同时存在时，满足叠加原理，交界面净电荷为正．
2) 情形二: 电导率介质1 小于介质2，此时，介质1 中的自由电荷少于介质2． 当只有右侧电源时，介质1 中的负电荷全部被电源正电荷吸引中和． 介质1 的电导率小于介质2，由式( 2) 知，介质1 中的电场强，要吸引介质2 中的负电荷． 但是介质2 中的正电荷阻止负电荷流动，界面左侧将积累负电荷，最终，界面的净电荷也是负． 当只有左侧回路时，介质2 中的正电荷受回路电极吸引，流向回路，剩余负电荷滞留在交界面，即平衡时交界面净
电荷为负． 当电源和回路电极同时存在时，同样满足叠加原理，交界面净电荷为负．
式( 13) 、( 17) 和式( 18) 分别给出了不同电流源时交界面上的电荷分布规律． 正对电极位置电荷密度最强，然后以距离的三次方成反比衰减，以此为中心的同心圆上电荷密度相等．
2． 2 导电介质与空气交界面上的电荷分布解析解
取图l( a) 中与空气交界的下半部分，上侧导电介质和下侧空气分别延伸为半平面，如图3 所距边界H． 与前面两层介质研究相同的方法，可以推导出导电介质与空气接触表面上任一点的法向电场为
式( 21) 表明，导电介质与空气交界面上的电荷分别具有如下特性:
1) x＜s /2 时，电源产生的电场大于回路产生的电场，负电荷被电源正电荷吸引中和，剩余正电荷，因而电荷密度大于零，分布正电荷;
( 2) x = s /2 时，电源和回路沿法向产生的电场大小相等方向相反，电荷密度等于零，无电荷;
3) x＞s /2 时，电源产生的电场小于回路产生的电场，正电荷被回路负电荷吸引中和，剩余负电荷，因而电荷密度小于零，分布负电荷．
