题目
《奖学金、助学金分配问题的优化模型》
姓名： 1111111
学号： 09102126
专业： 信息与计算科学
学院： 数学与信息科学
指导老师： 熊思灿
时间： 2011/3/24
奖学金、助学金分配问题的优化模型
摘要
奖学金、助学金分配方案涉及每个学生的切身利益,一直是学生关注的热点问题之一。因此，分配结果是否合理，对调动学生的积极性及优秀学生的正确评选都有着重要意义。本文主要通过采取Q值法和目标函数法来建立模型实施名额及奖金的分配。
针对问题一，我们首先将待分配参数从整体上单独分配，即将待分配总名额与待分配总金额分开考虑，依据Q值法模型分配给三个专业，用MATLAB编程求解得到结果一。为了尽量使分配各类奖项所对应的待分配名额公平，先将每类奖项作为一个整体，用Q值法模型分配给各专业，并依据各专业所得各类奖项名额可求出所分配的金额，即得到结果二。最后将结果二与结果一比较，对不同种类奖金名额进行人为对调，使得总名额与总金额保持相对公平。各专业所得名额为：37、44、48；各专业所得金额：123000、146000、160000。
由于问题二是问题一的细化，以对数应专业的班级进行分配为例，我们假设问题一的分配结果公平，在问题一的分配基础上依据问题二的要求进行再分配。此次我们首先采取比例法实施分配，把最终分配结果的数据做成表格。经分析此结果，发现此法并不公平，因为071011班只比081011班多2人，而该班却多出两个名额和8000元。故我们使用Q值法按问题二的要求再进行分配，求得数应各班所得名额为：8、8、8、6、7；所得出金额为：28000、26000、26000、19000、24000。
针对问题三，由于国家奖学金金额很大，我们应当结合分配金额及分配名额来处理这个分配。故我们使用目标函数法来解决此问题。用LINGO编程求解得各专业名额分配为：37、44、49；各金额分配结果为：125000、148000、164000。由于问题一已经分配出了除特等奖以外的名额和奖金，所以通过对数据的对比我们可以知道加入特等奖之后的分配相当于信管增加了一个名额，而其他两个专业名额没有变化。但考虑到不确定三个专业中符合国家级奖学金这一奖项评选条件的同学的在哪个专业，故将国家级奖学金一一分给三的专业后再对结果进行修正，便可问题三的最终分配结果。
关键词： Q值法 比值法 目标函数法 奖学金、助学金分配问题
一、问题重述
2010年数信学院各类奖学金、助学金的总数与金额如下表：
名称 | 国家奖学金 | 励志奖学金 | A等助学金 | B等助学金 | C等助学金 |
金额（元） | 8000 | 5000 | 2000 | 3000 | 4000 |
名额（人） | 1 | 21 | 27 | 54 | 27 |
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数信学院具有评优条件的各专业人数如下表：
| 数学与应用数学 | 信息与计算科学 | 信息管理 |
07级 | 071011 | 071021 | 071022 | 071031 |
34 | 30 | 29 | 53 |
08级 | 081011 | 081012 | 081021 | 081022 | 081031 | 081032 |
32 | 30 | 29 | 33 | 32 | 33 |
09级 | 091031 | 091032 | 091021 | 091022 | 091031 | 091032 | 091033 |
23 | 30 | 24 | 32 | 24 | 28 | 26 |
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请根据以上情况建立合理的数学模型解决以下问题：
（1） 不考虑国家奖学金的分配，请根据各个专业的人数与各奖金金额大小确定分配方案，使分配方案尽量公平合理。
（2） 不考虑国家奖学金的分配，请根据各个班级的人数与奖学金金额大小确定分配方案，使分配方案尽量公平合理。
（3） 考虑国家奖学金与其他奖学金一起分配，请确定分配方案。
二、问题分析
(一) 问题1的分析
问题1的要求是在不考虑国家奖学金的分配的前提下，将剩下的奖金与名额分配给各专业。求解出问题1便能大体上将各专业分配所得名额的总体情况给出，从而有利于问题2的求解。问题1属于典型的席位分配问题，对于解决此类问题我们采取最大Q值法进行求解和分析。
(二) 问题2的分析
问题2的要求是在不考虑国家奖学金的分配的前提下，将剩下的奖金与名额分配给各个班。该问题与问题1类似，只是分配工作具体到了每个班。求解出此问题会使得分配结果更加清晰明朗，从而让分配工作顺利进行。在求解问题二时，假设问题1中的求解结果公平，再用Q值法将各专业所得的名额及金额分配给各班，即可得到问题2分配的结果。
(三) 问题3的分析
问题3要求考虑国家奖学金与其他奖学金一起分配。由于国家奖学金的金额数目较大，且只有一个名额。故无论将这个名额给哪个专业，都会造成该专业对另两个专业的不公平度在金额分配上大大增加。由于考虑到实际分配执行过程中学校是将国家级奖学金分配给待评选人中综合素质最高的学生，故分配情况有三种可能。
三、模型假设
1. 假设题目所给的数据真实可靠；
2．假设各专业都具有符合各评选条件的学生；
3. 假设所有的相对不公平度最小时，便视为分配结果公平；
4．假设上文求解的结果对下文都可以利用且视为真实可靠的；
5. 假设各专业都有可能具有获得国家奖学金的的学生。
四、定义与符号说明
序号 | 符号 | 符号定义 |
1 | | 代表的总人数 |
2 | | 代表所分配到的名额 |
3 | | 代表的总人数 |
4 | | 代表所分配到的名额 |
5 | | 代表待分配的总人数 |
6 | | 代表各方总人数之和 |
7 | | 代表未分配完的名额 |
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五、模型的建立与求解
5.1 问题一最大Q值法模型
5.1.1 最大Q值法模型的建立过程：
用Q值法来衡量是否公平是基于这样一条原则：如果两个数相同，那么它们的比值是零。即如果两个数相等，它们的比值是1。即如果，则。并且上述比值越大，对来说，这种分配方案就越不公平。用作为衡量不公平的值。假定把名额给，计算的不公平程度，然后假定把名额给，计算的不公平程度。我们的分配方案将使不公平程度最低。在这种情况下，当时，获得额外名额。做一下简化，我们可得到：当时，获得额外名额。记：，则把名额分配给Q大的一方。
将该方法推广到n个专业的名额分配情况。设各专业分配的人数已经确定，当再增加1名额时，计算各专业的Q值。其中Q值为：
将该名额分配给Q值最大的一方，这样可使造成的不公平程度最小。
5.1.2相对公平度评判标准：
设各专业分配的名额为，则各专业名额代表的人数为，平均每个名额代表的人数为。对每个专业来说，尽量的使与接近。因此有：
若分配后，将结果代入上式能使Z值最小，则认为该分配方案是相对公平的。
5.1.3模型求解：
首先将总金额和总名额分开考虑，用最大Q值法分给各专业，用MATLAB 求解（程序见附录），整理数据得到下表：
（表一）
专业 分配 | 数应 | 信计 | 信管 |
总名额数（人） | 37 | 44 | 48 |
总金额数(￥) | 122000 | 146000 | 161000 |
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其次，按各类奖项名额分别利用Q值法模型分给三个专业（求解程序见附录），则各专业所分配的名额及奖金，整理后如下表所述：
（表二）
种类 专业 | 励志奖学金名额 | A等助学金名额 | B等助学金名额 | C等助学金名额 | 总名额数（人） | 奖金总数(￥) |
数应 | 6 | 8 | 16 | 8 | 38 | 126000 |
信计 | 7 | 9 | 18 | 9 | 43 | 143000 |
信管 | 8 | 10 | 20 | 10 | 48 | 160000 |
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对比表一与表二，发现两个表格中各专业所分到的总名额数及奖金总数有差别，即表二中信计总名额数比表一中少一个，金额也少3000元；而与之对应的数应却多一个名额，奖金也多4000元。又根据公平度评判标准可知道，将表一中总名额数和总金额数数据代入公式运算（求解见附录）得：Z=0.2800362E-03同理，表二中对应数据代入求得：Z=0.283036
2E-03。因此,可知按表一中数据分配相对更公平。所以对表二中不同种类奖助学名额进行人为调整，使得表二中总名额数和总金额数与表一中一样，这样可以保证分配给各专业总名额数和总金额数相对公平，而不同种类奖项分配也有一定公平度。
人为调整具体是：从表二中很容易发现只要数应给信计一个B等助学金的名额，三个专业的总名额数就能达到相对公平，再对比表一与表二的总金额数就可知，数应拿一个C等助学金名额与信管换一个B等助学金名额即可使三个专业奖金总数达到相对公平。整理数据得出下表：
（表三）
种类 专业 | 励志奖学金名额 | A等助学金名额 | B等助学金名额 | C等助学金名额 | 总名额数(人) | 奖金总数(￥) |
数应 | 6 | 8 | 15 | 7 | 37 | 122000 |
信计 | 7 | 9 | 19 | 9 | 44 | 146000 |
信管 | 8 | 10 | 19 | 11 | 48 | 161000 |
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如此调整之后，表格三中各专业分得的总名额及总奖金数据便与表一中的数据一致，即可以认为我们的分配方案是相对公平的。
5.2 问题二 比例法模型
5.2.1 比例法分配模型的一般数学表达式：
设各班级分得名额的小数部分为：，尚未分配完的名额为：，则将个尚未分配完的名额依次分给小数部分最大的班级。即比例法的思想就是按比例分配给各班级名额及奖金。
5.2.2 模型求解：
