在实践中反思 在反思中优化
作者：陆祥雪 吴秋芳
来源：《初中生世界·初中教学研究》2022年第01期
知识与能力是教师专业发展的两个方面。知识主要包括教育知识和学科知识两个方面，这两个方面融合为一体形成学科教学知识（简称PCK）。顾泠沅先生认为教学案例是发展PCK的重要载体。为了探求环形跑道问题中的相等关系，笔者先组织学生模拟跑，再用几何画板模拟实验。通过不断优化，发展了教师的教学能力，促进了教师的专业发展。
一、教学实施
问题1：运动场环形跑道周长400m，小红跑步的速度是爷爷的[53]倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5min后小红第一次与爷爷相遇。请问：小红和爷爷跑步的速度各是多少？
这是苏科版《数学》七年级上册“用一元一次方程解决问题”中的问题4。教材在分析中直接给出这个问题的数量关系式：小红跑的路程-爷爷跑的路程=400。
那么，教师在授课时，怎么来阐述这个相等关系呢？
师：这个问题中的相等关系是什么呢？
生1：第一次相遇时，小红比爷爷多跑一圈。
师：你是怎么知道的？
（学生1沉默。）
师：好！为了验证这位同学所说的相等关系，我们用几何画板做个模拟实验。如图1，我们用实心点表示小红，空心点表示爷爷，为了方便区分，我们将小红与爷爷的同一跑道，分离为两个同心圆，不过我们认為它们的半径是相同的。图中的“动画点”就相当于小红与爷爷起跑的“发令枪”，我只要一点击，两个点就运动起来了。现在我开始点击“动画点”，请同学们注意观察小红比爷爷多跑了多少？
在学生观看两个点的运动的同时，教师手握鼠标，当实心点与空心点第一次相遇，再次点击“动画点”停止运动（如图2）。
师：好！我们现在停止运动，请问，小红与爷爷第一次相遇时，小红比爷爷多跑了多少？
生1：多跑了一圈。
师：你是怎么知道的？
（学生1还是沉默。）
师：我们重新演示一遍。
师：当实心点（小红）再次回到起点时（如图3）（此时教师点击“动画点”按钮，使两点运动停止），此时实心点（小红）已经跑了多少？
生1：一圈。
师：当实心点（小红）第一次与空心点（爷爷）相遇时，小红比爷爷多跑了多少？
生1：还是一圈。
师：请你解释一下原因。
生1：因为从小红再回到起点到追上爷爷（第一次相遇），小红与爷爷跑的路程是相同的，而在此之前，小红已经跑了一圈，所以小红比爷爷多跑了一圈。
师：很好！那就请你到黑板上来完整地解答这个问题。
师：接下来我们再看一下这道题的变式题。如图4，小明与小华在一个边长为100米的正方形ABCD的跑道上练习跑步，小明的速度为每分钟200米，小华的速度为每分钟150米，小明、小华分别从A、B两点同时出发，按顺时针方向跑。请问：当小明和小华首次相遇时，此题的相等关系又是什么？
生2：小明比小华多跑了300米。
师：为什么？
生2：小明跑到小华的起点B时，小明跑了300米，当小明首次与小华相遇时，小明比小华多跑了300米。
师：同意的请举手。
二、教学改进
起初，设计教学方案时，为了寻找相等关系，教师请两名学生到讲台来，站在同一个位置。一名学生扮演“小红”，另一名学生扮演“爷爷”，沿教室内的过道，来模拟跑。教师提
醒学生注意观察小红比爷爷多跑了多少。于是，两名学生在教室内跑了起来。教师问：“小红是不是比爷爷多跑了一圈？”有学生说“是的”，但大多数学生不发声。教师发现回答的人很少，就觉得可能有学生没有看清，于是，又重新演示了一遍。当教师再次提问时，学生的回答还是很少，说明大多数学生没有看清问题中的相等关系。
