12-462020年第12期
数学教育家余介石的数学科普著作简介”
陶兰李春兰
（内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特010022）
民国时期的数学教育家余介石先生十分
关心现代数学知识的普及与数学教育的发展.
他在编写数学教科书及翻译数学著作的同时, 还主持编写了许多数学科普读物.为使人们对
他的科普著作有所了解，并能从中受到启迪, 现选取余介石的《数之意义》《数学诡论集解》 《算学通论》这三本数学科普著作，对其内容做
简要概述，并阐述这些科普著作对学生和教师
的教育价值.
1生平简介
余介石（1901 -1968），字竹平，号慰慈，我
国珠算家、数学教育家、科普作家• 1901年2月
7日出生于安徽省黔县城的一个徽商家庭，幼
时思维敏捷，聪颖过人，先就读于上海市中华
工业专门学校附中，成绩名列前茅.中学毕业 后,1919年考入南京东南大学（1924年曾改名
为中央大学，现为南京大学），在这四年学习期
间，余介石勤奋好学，深得老师和同学们的 赞许.
图1余介石
1923年余介石先生大学毕业后留校任教， 1924- 1930年，担任中央大学数学系助教.其 间余先生兼任南京国立编译馆馆员.1930 - 1934年被中央大学聘任为数学系讲师.自 1934-1945年，先后执教于重庆大学、四川大
学、成都金陵女子文理学院、四川大学师范学 院，任教授、数学系主任• 1945年秋至1949年
秋兼任四川省会计专科学校教授⑴.1954年被
调入北京农业工程大学（现为中国农业大学）
任数学系教授，先后担任数学教研室主任、院
务委员会委员和工会副主席等职务.1963 - 1965年兼任北京化工学院数学系教授.1968年 去世
余介石在45年的数学教育工作中，一直坚
守在高校教学第一线，先后讲授过《高等数学》
《高等方程式论》《微分几何》等课程•教学之
余，余介石先生勤于著述，编著了大量的大学
数学教材和中学数学教科书，其中包括多种珠 算教材，据不完全统计有40余部.他所编写的 数学教科书，务求通俗易懂，深入浅出，深受教 育界好评•余介石的老师何鲁先生在重庆大学
附属高中任教时曾采用了余介石的《（修订）新 标准高中代数学》，何鲁先生评价道：“我国高
中代数中，最合教科书之用•”⑵余介石发表了
20余篇论文，大多刊登在《中等算学月刊》上.
为普及数学知识，增进学生学习兴趣，余介石
主持编写了不少科普性读物.
尤其令人敬佩的是，余介石先生具有强烈
的爱国心和正义感.当时正值南京国民党政府
的白色恐怖时期，余介石不顾一切，帮助我国
*基金项目：内蒙古自治区高等学校科学研究项目（教育厅人文杜科重点项目）“民国时期数学课外读物的教育价 值研究"（NJSZ 17028）.
*通讯作者：
李春兰.
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数学家、教育家、共产党员孙克定在南京谋求工作，并协助他离开南京•九一八事变后，余介石响应《生活》杂志社的号召，以个人名义并联合中等算学研究会成员共同发起募捐活动，支援东北抗击日本侵略者的义勇军，先后共募集千余元大洋之多•“中等算学研究会”于1930年在南京成立，是由余介石牵头发起，参加者主要是当时的中学老师、大学讲师、助教等.“中等算学研究会”成立的目的有二：一是对当时中等数学教学法与教材进行改革；二是编写我国自己的中学数学丛书，使数学这门科学在中国日益扎根并发挥其巨大作用.
解放后，由于工商业的迅速发展，人们迫切需要学习珠算，当时余介石任教四川大学，任西南区科普筹委，应科普协会邀请，他毅然承担起改革珠算的重任，此后他热心投身于珠算事业，可以说余介石晚年把大部分精力都投入到珠算改革研究中去了.
余介石一生都从事数学教育及数学普及工作，为我国数学教育的发展做出了卓越的贡献，因而在我国数学界享有相当声望.
2余介石的数学科普著作简介
为了使当今读者能够了解民国时期我国的数学科普著作，品味余介石的“陈年佳酿”，感受他的数学科普著作之趣味性，下面主要以余介石的《数之意义》《数学诡论集解》和《算学通论》为例，概述每本书的主要内容，汲取这位数学家留给我们的“教育遗产”，领悟其教育主张
2.1《数之意义》内容简介
《数之意义》是中等算学研究会丛书之一，著者皆曾受业于何鲁先生.1919年何鲁从法国游学归来，在国立南京高师讲学，提到加强中等数学与高等数学的沟通与联系的意义在于:“一是可以促进中等数学教育之革新；二是可以奠立学子进研高深数理之基础•”⑶当时的大学教授往往不知道中等学校的需要而求其联系，结果导致大学生在学校时忘记自己之前学习的中学数学知识，等到大学毕业后到中学教学时，又忘记了自己在大学学习的数学知识.为了改变此种现象，何鲁归国以后，一直怀揣改革之志，作为弟子的余介石等人铭记其师所言，奉行何鲁之志，把多年在各届暑期中等教师讲习会的讲学心得编成诸书十余种，《数之意义》便是其中之一.
该书主要从算理与哲学的角度阐述了数的概念与意义，注重基本逻辑概念的解说，强调中等数学与高等数学的衔接.全书共有四章，第一章数之概念发展史，主要介绍了分数、无理数、负数和虚数的起源和发展；第二章基数与序数，主要是基于基数与序数的算理研究和数的精确概念，用逻辑的概念作基本的解释；第三章实数，第四章复素数•后两章的内容则是具体论述实数（分数、负数、有理数、无理数）和虚数的存在与意义.
德国数学教育家F•克莱因基于数学史的数学教育观对余介石产生了深刻影响.在《数之意义》中余介石除了讲述数的概念与意义，也强调了数学史在数学教学中的重要性：“教师对于学理，必须考其在历史上发展之迹象，以觇人心认知之程序与限度，庶可因时指宜，善为说理，既不至使初学难以猝通，亦不至养成其谬见或误解.历史之于教学，不仅在名师大家之遗言轶事，足生后学高山仰止之思，收
闻风兴起之效•更可指示基本概念之有机发展情形，与夫心理及逻辑程序，如何得以融合调剂，不至相背，反可相成，诚为教师最宜留意体
会之一事也•”⑶这种通过考察历史来获得数学启示的做法至今仍然是数学教学研究的内容之一.
“数之意义，初视之若甚近而易知，细思之
则甚迁而难明•”⑷其中所蕴含的意义丰富、精微、深奥，已异于我们由直觉所认识的数.
2.2《算学通论》内容简介
《算学通论》是一本关于数学基础的书•这里需要说明一下，我们现在所谓的“数学”这一
名词术语是在1939年8月才正式统一使用的. 1902年之前一般都称其为“数学”或“算学”，在1902-1911年间统称为“算学”，在1912-1921年间统称为“数学”，在1922-1938年间统称为“算学”，所以本文出现的“算学”指的即为“数学”•余介石认为该书是最平凡浅近的，在当时其他比较易读的书可要比该书深得多.书中材料多取自中等数学教材，用极浅显之文字，解释抽象的算理，十分详细明了•余介石编写该书的目的：一是要明白一些概括的见解，
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基本的原理，各种基本观念和方法发展的经过；二是要知道“所当然”，也要知道“所以然”.他希望能够通过这本小册子帮助青年们了解“数学”这门科学的性质.诚如开尔文勋爵所说的那样：“不要以为算学是艰深难解而和常识相背驰的，他不过是精炼的常识罢了•”㈤全书分为三篇，上篇是中等数学观念发展史，包含五章•其中第一、二两章主要介绍史前时期和上古的数学发展；第三章介绍古数学发展；第四章介绍近代数学发展.在这几章中还介绍了很多数学家，如费马、牛顿、笛卡尔等，还有关于“几何三大问题”、“解析几何的产生”、“微积分的发明”这样的数学故事，在了解数学历史发展的同时也让我们感受数学家们的严谨态度和锲而不舍的探索精神.第五章主要讲解相对论大意•对于上篇的内容余介石特
别指出：“最惭愧的是，不特这一篇里未提及中国方面，全书几无一处，可说是我们自己的贡献•既往不咎，来者可追，不得不馨香祷祝国人今后的努力.”⑸
中篇包含四章，以几何为主，说明数学的形式和结构•这里面有些超出中等数学范围的知识点，如第九章的非欧几何，但这只不过是说明公理性质的一个例子，不看也不要紧，况且说法很浅显，不会让人感到费解.中篇除第六章是讲数学命题形式和数学推理的逻辑根据外，其余三章都是讲公理的性质.
下篇由代数讲到解析几何和微积分，包含五章，以说明数学的抽象性和求普遍性的方法•第十、十一两章讲代数的数系和符号性；第十二、十三两章讲代数怎样影响几何，怎样由分析法定综合法的有效范围；第十四章讲用极限法解决未定式，引出微商和积分的基本概念•对于数学里最基本最重要的观念，这本书基本上算是大体略述了.
2.3《数学诡论集解》内容简介
该书也是“中等算学研究会丛书”之一，虽内容有一定的深度，但紧密结合中学数学，为当时师生所乐用•余介石在“绪言”一开始，就引用英人Tupper的名言:“错误中之歪曲处，无不可见有真理之线索存焉”〔7]，并以此作为编著的宗旨•绪言说:“盖一事理，皆有正反二面，如仅知正面之是，而不察反面之非，则所见必偏而不全.因明学欲显正义，必先破邪识，希腊大哲Socrates之讲学方法，首在使人自觉所见之非，始能虚心受益，导于正觉，辩证法启人最深者以此.”⑺
该书引用及参考书报55种，“爱集诸书，约50则，附以自拟者约10则，以成本书•”[7].整本书内容丰富，知识广泛，涉及与初高中有关的算术、代数、几何及三角的悖论知识，对培养学生的思维有重要作用•全书共58页，分为上下两篇，上篇是诡论，下篇是解剖•诡论的算术及代数的部分共34题，主要内容有除法、单位、反证法、待定系数法、比例、分数与分式、根式与虚数、指数与对数、级数、连分式、几率、Fermat大定理和行列式；几何及三角部分共27题，主要内容有线段长、垂直与平行、角、三角形、多角形、三角、圆与椭圆.该书最大的特点就在于书中所附有的解剖内容，这在当时同类型的书籍中是鲜有论及的.解剖逐条补成，以见高等数学与初等数学之间的关联.
现选书中两题及其解剖，来感受错误中歪曲的地方，从中可以看到真理之线索的存在.
第1题“2=1”.
设a=6，则/=ab,a2-b2=ab-b2,
(a+6)(a-6)=6(a—6),
a+b=b,2a=a,
所以2=1.
解剖：算术中有一极重要之限制，曰零不得为除数，本题开始即设a=b，故a-6=0，而不得以除(a+6)(a-b)=b(a-b)之两端.此题关于等式之推演，则由AC=BC，可得A=B，或C=0.换言之，必C丰0，始可断必为A=B 也.是以：如欲自等式两端消去某因式，必先断其不为零方可.
悖论“2=1”通行较早，遗憾的是已不知其由来.除以“0”是数学中一个最常出现的错误.在数学中除数不能为零以及分母为零无意义，从认识上来说对学生是一个挑战，为什么除数不能为零？何为无意义？为何无意义？通过一个古老的悖论“2=1”，学生就可以从本质上明白分母不能为零的原因.
第57题“64=65”.
将一每边长为8单位之正方形为64平方
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单位者，分为两长方形，一长为3单位，一长为5单位，剖前者为两个直角三角形，后者为两梯形，上底长为3，下底长为5，如是取一梯形与三角形，合成一底为5，高为13之长方形，其面积应含5x（8+5）=65平方单位，故64=65.
解剖：合梯形与三角形，并不能成为一较
大之三角形，因5：3不等于（7+5）:8也，但三角形之斜边与梯形中不垂直二底之腰，拼合后
所成角接近但不等于180。，可以三角法求之.
这道“64=65”跟我们现在所熟知的经典问题“船长的故事”是一样的，最早在苏格拉底的谬误问题被提出后，才陆续出现许多这样类似的问题，以说明直观的不可靠性.
3余介石数学科普著作之意义
余介石的数学科普著作不仅对当时的读者来说具有启迪心智的作用，对当今读者而言，也不无启迪，特别是对中学生和数学教师而言，意义不可小觑.
3.1对学生的意义
阅读余介石的数学科普著作对学生的意义如下：
第一，借助通俗易懂的语言，掌握数学之本源•例如《数之意义》中对“无理数”由来的介绍：“无理数概念，道源于几何直觉及其需要.
此种贡献，亦出自希腊人之手.公元前550年, Pythagoras发现其著名之定理，因而引起几何上之不尽根问题.相传毕氏创获此理时，曾宰牛百千，广设盛宴，以志庆贺，其重视斯理，可以想见•”⑶这样简单又有趣的故事能让学生在了解历史的同时，把握数学知识的来龙去脉，感受无理数的重要性•且数是数学中最基本的概念，用逻辑的观念作基本的解释，探究其本源，这对读者了解何者为数有着重要作用.
第二，深入浅出，理解中等数学与高等数学的联系•“极限”作为沟通中等数学与高等数学的内容之一，对于初学者来说很难理解，而在余介石的科普著作中则用浅显的语言和例子来作说明：“假设有一根铁条，用火烧过，温度增高，它也变长，所以长度便是温度的函数.再将铁条离火候冷，它的长度，也渐渐缩短，恢复原状.我们可以说长度缩短，是以原来的长为极限•”2用实例解释抽象的概念，使数学更加生活化，学生也更容易理解.
第三，提供良好的学习方法，善于总结归纳•如《算学通论》中的“对偶命题律”，所谓对偶命题是把原命题和否命题合在一起而成的.也就是一个命题中，对题意的各种可能情形都会论到.譬如将（一）等腰三角形性质定理，（二）大边对大角定理.并成对偶定律的形式：在三角形内，等边的对角必等（一）
大边的对角较大］
小边的对角较小i一其逆定理
在三角形内，等角的对边必等（三）
大角的对边较大I
小角的对边较小i
其中含有（三）等腰三角形判别定理，（四）大角对大边定理•①
如此一来，便将四个定理并成了一条.应用这一方法，几何中许多定理，往往可以并成一条记忆，例如圆心角定理等其他定理都可按“对偶定律”的形式结合起来，十分便利，可谓是举一反三，提高了学习效率.
第四，知其然，且知其所以然，从正反两面思考问题•《数学诡论集解》作为一本关于数学悖论知识的科普读物，对数学学习有着重要的作用.其中的“悖论”表面上是同一命题或同一推理，但实际上是隐藏着两个对立的结论，悖论往往是从教材的反面入手，以启发思路，锻炼智力，同时也使得人们对知识的理解更为深刻•若联系到身边的事物，可以发现事物都有其两面性.同样在数学学习中，我们不仅要学习数学的理论知识，还要从解题方法，思考的
角度中去学习理解问题的本质属性.
3.2对教师的意义
余介石的数学科普著作对教师的意义如下：
第一，传授教学的思想与方法.在余介石的数学科普著作中反映了很多他的数学教育思想，如余介石十分注意数学与理科的联系.他主张：“对于算术中复名数一章，应当讲授重要引申单位如速度，加速度，比重等等，这大可为学生研究理科的帮助.”⑴他提倡在算术教学中渗透符号化思想，认为用字母表示数不仅有普遍性的妙用，而且字母数的算法一般比数字数容易，所以在初中代数里浅近的部分（如简易方程，公式变换等）应当尽量提早将字母数混在算术里教授•他还特别强调数学应该重复讲授并给出了具体的教学方法：“教一样的材料，尽可从不同的方面着手，譬如初中以直观为主，应注意应用和实例说明，高中侧重原理和逻辑推理，以达合宜的严谨.用不同的眼光去复习，只有增进学生的趣味和了解程度，才不至因重复生厌•”⑴这些对中学数学教师而言起到一定的借鉴作用.
第二，激发学生兴趣，活跃数学课堂•余介石在《数学诡论集解》中提到：“施教者如苦初学者对数理每乏兴趣，无自动寻求之愿望，或仅知机械之演证，不明其意蕴，故辄陷于刺谬而不自知，则诡论之解剖，或足为其一助•”⑺在数学教学中，教师可以通过简单又新颖的“数学悖论”来激发学生的兴趣•如“2=1”，教师可以先给出证明过程，让学生思考、交流并讨论悖论产生的原因，最后教师加以正确引导，给出答案.在讲“分数除法”时引入“2=1”这一悖论来说明除数不能为零的原因，不仅能让学生在数学课堂上有不一样的收获，教师也能在自己的教学创新中找到乐趣，活跃了课堂.
第三，将历史与数学发展结合，丰富课堂教学•如《数之意义》中对“虚数”的叙述，先是回顾了卡丹、莱布尼兹、欧拉、高斯等人为虚数发展做出的贡献，然后介绍了四元数表示和应用的历史发展情况，最后谈到对学生讲授高度抽象的观念（如“虚数”）时，“不可求一蹴而就，必须以实例说明其意义，借应用以表露其功能，徐徐反复申述之，能使学生明了其效用与需要，而获得牢固之印象，与透彻之认识.”⑶将数学的历史与发展融入数学教学，能让学生在了解历史的同时体会到数学发展的连续性，对于改进教师教学内容，促进学生发展都有重要意义.
4结语
余介石的科普著作形式多样，内容丰富，不仅影响了当时的人们，作为当今中学生的课外读物也依然具有重要意义.他能够使人感知到数学知识是有趣的，学习数学并非苦事，也非难事.他的数学科普著作说理浅明，注重培养基本的算理，强调中等数学与高等数学的衔接，是对数学教科书的补充，使得读者对数学知识有更深入的学习和认识.无论是《算学通论》中对数学观念发展史的论述，还是《数学诡论集解》中提到的古老悖论以及《数之意义》中的数之概念发展史，我们可以看到余介石先生重视知识在历史上产生的经过，务使初学者能原原本本，于“知其然”外，更知其“所以然”，如何在教学实践中落实这一点，余介石的数学科普著作为我们提供了很好的参考.
参考文献
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[7]余介石.数学诡论集解[M].成都：建国书局,1942：绪言.
刊号:ISSN0488-7387
CN31-1024/G4
定价：7.00元每月12日出版代号：4-357
