极限平衡理论的发展状况与应用
摘 要：自从FKotte 于1903年首先建立了散体的平面极限平衡方程或塑性平衡滑移线方程以来，后人沿着Kotter 开辟的方向，探求极限平衡课题的解。LPrandtl 首次求得在无重量条形地基极限平衡课题中的封闭解。地基极限承载力是岩土工程稳定性分析的重要问题在极限平衡理论研究地基承载力方面有着重要的作用。本文列举出地基承载力的一些计算方法。
关键词：极限平衡理论；土力学；地基稳定性；地基承载力；计算公式
一、极限平衡理论的发展状况
土体极限平衡理论又称为土的塑性平衡理论，这一理论研究土体在外荷载作用下达到极限平衡状态或塑性平衡状态时的应力分布场与塑性应变速度的分布场，借以决定土体在已知边界条件下的极限荷载。在研究土体的极限平衡状态课题时，土的强度或破坏准则是重大影响因素。饱和土体中任何一点达到极限平衡状态时，土的Mohr-Coulomb 强度表达式为:
ϕστtg c n f +=
土的强度条件是由土体剪切破坏时的应力应变条件决定，而土体达到剪切破坏以前的剪切特性或应力应变特性则没有反映，实际上，在与剪切特性直接有关的土体稳定性研究中，剪切破坏以前及破坏时的应
力应变特性都是重要的。甚至，可以说剪切破坏以前的应力应变更具有实际意义。
自从FKotte：于1903年首先建立了散体的平面极限平衡方程或塑性平衡滑移线方程以来，后人沿着Kotter 开辟的方向，探求极限平衡课题的解。LPrandtl 首次求得在无重量条形地基极限平衡课题中的封闭解。前苏联学者索科洛夫斯基首先应用特征线数值解，成功地取得了一系列散体极限平衡课题的解，后来，别列赞切夫等人又相继发展了这方面的理论。
近几十年来，又发展起一种称为极限分析法求解散体极限平衡课题的新理论方法。这一理论认为，滑移线法只满足了应力平衡条件和强度条件，没能说明极限平衡状态下土体能否真正发生滑动变形问题，也没能说明滑动边界周围散体的
应力状态。极限分析法引用极大极小原理，提出用极限分析的上限解法与下限解法，求解课题的上限解与下限解。而极限平衡理论课题的真正解或严密解就在上限解与下限解之间，这也是塑性理论中求解塑性课题真正解时常采用的方法之一。
在散体极限平衡理论与土力学的发展过程中，曾先后出现过各种散体极限平衡课题的近似计算方法，例如太沙基等人提出的稳定性计算方法。这类方法采用散体极限平衡理论的某些己有成果，假定土体达到极限平衡时的滑动区形状与范围，按照静力平衡原理找出与最危险滑动情况相应的极限荷载。这类方法在工程实际中曾发挥过很大作用，为实际设计工作提供了大量有价值的成果。
而且土体极限平衡理论，作为塑性理论的一个重要组成部分，早在1773年为库仑所创立。他提出的土体破坏条件(即推广为后来的莫尔一库仑破坏准则，对于理想塑性体，它与屈服准则相一致)，至今仍然被世界各地的土工技术研究人员广泛应用。他论述了极限平衡的基本原理，并用以求解挡土墙土压力。其后有不少学者对这一方面作了一系列深入细致地探讨。
极限平衡状态是土体由静力平衡转向运动的临界状态，而极限平衡理论的一个基本假设，就是把土体视为理想刚塑性材料；认为在整个加载过程中，土体不发生任何变形，一旦达到极限平衡状态，则土体开始沿某破裂面产生剪切变形。极限平衡理论的一个基本物理依据，对于土体来说，就是众所周知的莫尔一库仑破坏条件。格林和毕肖普(1969年)曾根据他们的实验成果，证明莫尔一库仑破坏条件能较为满意地反映实际情况，而广义的屈雷斯条件和广义的Mi条件与实际情况相差甚远。
二、基于极限平很理论的地基稳定性问题
地基稳定性一直以来都是岩土工程师极为关心的问题之一，它指在外荷载作用下地基抵抗破坏的稳定程度，以及当受到外荷载时，基础和地基两者的相互影响。建筑物因地基引起的破坏一般有两种可能：一种是由于在荷载作用下产生了较大的沉降效应(不均匀沉降或沉降差)致使建筑物严重下沉，导致上部结构开裂、倾斜而失去使用价值；另一种是由于建筑物基础承受的荷载过大，超过了地基持力层所能承受荷载的能力，而使地基发生破坏，可见，地基稳定性可归结为
变形问题和强度问题，其所处的极限状态即为正常使用极限状态和承载力极限状态。因此，在建筑物基础设计时必须满足两个基本条件：(l)建筑物的基础在荷载作用下可能产生的最大沉降或沉降差应限制在建筑物所容许的范围内；(2)作用于建筑物基础地面的压力应小于或等于地基允许的承载力，另外，对于水工建筑物地基而言，还应该满足防渗，抗冲切等要求。
广义上的地基承载力是指地基抵抗破坏的能力。这里的破坏包括整体剪切破坏、局部剪切破坏、冲切破坏、单轴压缩破坏、劈裂破坏等模式。狭义上的地基承载力仅指地基抵抗剪切破坏的能力。它认为外荷载的作用会引起地基岩土土体中的剪应力增加。当某一点的剪应力达到抗剪强度时，这里就处于极限平衡状态；若任意一点的剪应力均达到极限平衡状态，就形成极限平衡区或称为塑性区，直至塑性区的范围随外荷载不断增大，局部塑性区发展成为连续贯通到地表的整体滑移塑性区(面)。也就是说，狭义的地基承载力的破坏模式仅为剪切破坏，若此时基础有临空的自由空间，则下面一部分岩土将沿滑移塑性区产生整体滑动而使地基丧失稳定，造成建筑物坍塌、倾倒等灾难性的破坏。
q，在设计过程中，地基承载力通常分为两种：一种称为地基的极限承载力u
即导致地基丧失稳定时的承载力；另一种称为地基的容许承载力q，它使地基稳
定有足够的安全度，并且将变形控制在建筑物容许的范围内，同时满足单位面积上承受荷载的要求，确定地基容许承载力的准确程度，不仅影响着建筑物的安全，而且客观影响着工程的经济性和合理性
及技术可行性的实施。容许承载力取值过高，建筑物的安全将受到威胁，容许承载力取值过低，将给工程带来不必要的浪费，可见，在承载力的确定过程中，作为工程技术人员设计的依据，容许承载力的正确确定尤其重要。目前，采用安全系数法，分项系数法和可靠性分析法来确定容许承载力。
三、基于极限平衡理论的地基承载力计算公式
目前求解地基极限承载力的理论方法是建立在极限平衡方程基础上的。普郎德尔和赖斯纳根据塑性理论研究刚性冲模压入无质量的半无限刚塑性介质，导出了介质达到破坏时的滑动面形状和极限压力公式，得到了相应的精确解答。卡库奥特首先应用。普郎德尔和赖斯纳的解答进行了基础分析。太沙基基于叠加原
理给出了浅基础极限承载力的一般近似表达式（c q r cN qN bN P ++=γ2
1u ） ，对于局部剪切破坏的情况（软粘土和松砂） ， 太沙基建议用经念的方法调整抗剪强度指标C 、c c 32=ϕ、ϕϕtan 3
2tan c =对于圆形或方形的基础，由于属于三维问题，因而都是半经验公式。
1．地基极限荷载的一般计算公式： c q r cN qN bN P ++=γ2
1u 式中 u P -----地基极限荷载，KPa ；
γ -----基础底面以下地基土的天然重度， 3/m KN ；
c -----基础底面以下地基土的粘聚力，KPa
q -----基础的旁侧荷载，其值为基础埋深范围土的自重压力 d γ ，KPa ；
γN ， c N ， q N ------ 地基承载力系数，均为)2
45tan(tan φα+= 的函数，亦即φ的函数。可直接计算或查图表确定。
2．极限平衡理论的地基承载力计算公式：
极限平衡理论的地基承载力计算公式包括四种典型承载力公式：太沙基公式、梅耶科夫公式﹑汉森公式﹑魏锡克公式。本文主要介绍太沙基公式。
使用范围：太沙基公式是常用的极限荷载计算公式，使用于基础底面粗糙的条形基础；并推广应用于方形基础和圆形基础。
理论假定：（1）条形基础，均部荷载作用。（2）地基发生滑动时，滑动面的形状，两端为直线，中间为曲线，左右对称。（3）滑动土体分为三区：分别为位于基础底面下，为楔性弹性压密区；滑动面
为曲面，呈对数螺旋线区；滑动面为斜向平面，剖面图上呈等腰三角形区。条形基础（较为密实）：根据作用于土楔上的诸力和在竖直方向的静力平衡条件，对于整体剪切破坏情况：
q c u dN cN bN P γγγ++=2
1 条形基础（松软地基） ：对于局部剪切破坏情况，此时极限荷载按下式计算： ⋅⋅⋅++=q c u dN cN bN P γγγ3
221 方形基础：是由条形基础推导得来的。对于方形基础，太沙基对极限荷载公
式中的数字作适当修改，按下式计算：
q c u dN cN N b P γγ++=2.14.00（0b --方形基础的边长）
圆形基础：是由条形基础推导得来的。对于圆形基础，太沙基对极限荷载公式中的数字作适当修改，按下式计算：
q c u dN cN N b P γγ++=2.13.00（0b --圆形基础的直径） 地基承载力：进行基础设计时地基承载力为：K p f u =
（K ----地基承载力安全系数，0.3≥K ）
四、结语
土体极限平衡理论发展至今，对其研究所得的成果已被世界各地的岩土工程界的研究人员广泛应用。并且在工程实际中曾发挥过很大作用，为实际设计工作提供了大量有价值的成果。所以充分而又正确的运用土体极限平衡理论可以将得到更多有价值的成果。
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