强烈地震作用下结构塑性位移刚塑性计算方法
杨 永 兴
( 山西煤炭运销集团运城有限公司，山西 运城 044000)
摘 要: 研究分析了在强烈地震作用下采用刚塑性模型与弹塑性模型计算结构最大塑性位移的差别，结果表明可以利用刚塑性模
型来计算结构的最大塑性位移，提出了一种能计算建筑结构在强烈地震作用下最大塑性位移的刚塑性位移谱法，并通过实例把计 算结果与弹塑性时程法做了比较，二者虽然具有差别但符合要求，同时还计算绘制了刚塑性反应谱。 关键词: 弹塑性时程法，刚塑性反应谱，弹塑性模型，刚塑性模型
中图分类号: T U313． 3 文献标识码:
A 当满足式( 4) 时体系处于塑性阶段，运动方程为式(
5) : 0 引言
结构的性能以及其在地震作用下的损伤程度与结构的位移 有着直接的联系，当施加荷载使结构的某些部
位产生塑性变形， 经过多次重复后导致结构的塑性积累损伤破坏。结构在强烈地 震的作用下进入塑性阶段，必须具备承受较大的塑性位移的能 力，通过塑性变形来消耗地震的能量，以符合“大震不倒”的要求。
因此，结构在强烈地震作用下的塑性分析十分必要。然而，结构
的塑性分析是一个极其复杂的非线性过程。通常，结构被假定为 弹塑性模型。本文研究表明地震越强烈，在结构总的位移中塑性
位移所占的比例越大，弹性位移可以忽略，可以用刚塑性模型计
算结构的位移。 1 弹塑性与刚塑性响应的比较
刚塑性模型常用来描述在静载作用下产生较大塑性变形的 结构性能。通常认为利用刚塑性模型进行结构动力分析会不能 研究共振。然而，本文研究表明微小的塑性变形也会破坏共振。 对于单自由度体系，受到简谐动力荷载 F s i n θt 的激励，若阻尼比
ξ = 0． 05，F / F y 约为 0． 1 时，如图 1 所示结构进入塑性阶段，位移 幅值急剧下降，在强烈地震作用下结构不会产生共振现象，随着 简谐力幅值与屈服力的比值增加，弹塑性计算的位移幅值趋近于 刚塑性计算的幅值，因此在强烈地震作用下可以采用刚塑性模型 来计算结构的塑性位移。
10
9 8
F y = s i g n ( x ) = s i g n ( x e )
·
ω2 x e ( 4)
F
{
F y x + s i g n ( x ) = － x ( t ) · · ·
g M
( 5)
· · x p = x
式中: x ———相对地面的总位移，x = x e + x p ; x ———结构的相对弹性位移; e p x ———结构的相对塑性位移; ·
x g ( t ) ———地面加速度;
ξ———结构的阻尼比;
F y ———结构的屈服极限。
式( 3) 与式( 5) 是按照理想弹塑性模型建立的运动方程，在弹
性阶段能量主要靠粘滞阻尼来耗散，在塑性阶段主要靠塑性变形 来耗散能量。
刚塑性模型建立的运动方程: x = x
p
( 6)
F
y · · ≤ M
时，
当 x + u g ·
( 7)
x = 0
F
y · ·
＞
M
时， 当 x + u g F
y ·
x ±
= － u g ( t ) ( 8)
M
7 6 5 4 3 2 · ·
· ·
刚塑性响应 弹塑性响应
当 x + u g ＞ 0 时，式中取正号，当 x + u g ＜ 0 时，式中取负号。 从式( 6) ～ 式( 8) 可以看出对于给定地面加速度，刚塑性的振动方
程只与一个参数 F y / M 有关，这将使分析大大简化。
1 0
1． 2 两种模型计算单自由度体系塑性位移差别分析
结构进入塑性阶段，弹塑性模型的振动方程和刚塑性模型的
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
图 1 刚塑性与弹塑性在谐激励下位移幅值
1． 1 弹塑性运动方程
对于单自由度体系，当满足式( 1
) 或式( 2 ) 体系处于弹性阶 段，运动方程为式( 3) :
振动方程形式上是相同的，但是算得的最大塑性位移是有差别
的。产生差别的原因主要是二者进入塑性阶段的初始条件不同， 刚塑性模型的塑性运动总是从静止开始，而弹塑性模型的塑性运
动总是从运动开始的，具有一定的初动能。二者的差别如式( 9
) 所示。
F y ＜
ω2 x e ( 1)
F
Δx p = x p － x p
( 9)
E
－P max R －P max F y
= 且 s i g n ( x ) ≠s i g n ( x e ) · ω2 x e
其中，
x p ，x p
( 2) 分别为弹塑性模型和刚塑性模型计 E －P max R
－P max F
p 算的最大塑性位移; 为了估算两者的最大差别Δx ，当质量块运动 {
·
· e
·
x + 2ξωx + ω x = x g ( t )
2 e
到负的最大位移处 假定在单自由度振动体系上施加 2F y 矩形脉 ， ( 3)
·
x p = 0
动荷载，持续作用时间为 Δt ，若假定振动体系为理想弹性可利用
收稿日期:
2013-03-01 作者简介: 杨永兴( 1962- ) ，男，工程师
位移幅值
第 39 卷 第 14 期 2 0 1 3 年 5 月
杨永兴: 强烈地震作用下结构塑性位移刚塑性计算方法
·55·
Duh a m e l 积分可以求得由于矩形脉动荷载产生的弹性位移为:
响应与体系的自振特性之间的函关系曲线，是描述地震动特性的
重要工具，但从式( 7) 和式( 8) 可以看出，刚塑性模型的位移响应
只与参数 F y / M g 的值有关而与结构其他特性无关，这样在给定的 地震作用下，利用非线性时程法计算出体系的最大位移，建立最 大位移与 F y / M g 关系曲线即刚塑性反应谱( 如图 4 所示) 。由于 在计算刚塑性反应谱时所采用的地震波加速度的最大值 a max 不 同，因此必须进行转化，把计算的位移谱的纵轴和横轴同时乘以
系数 β = 1 /
a m ax 。 x 1 ( 2 + 3e )
－ξωT ( T ＜ 2Δt )
⎧
ξω⎪ x 1 e ξωt { － 3cos ωd t － 3 i n ωd t +
* * * x e max =
⎨
ωd ⎪2e ξωΔt ［co s ω ( t * － Δt ) ξωs i n ω ( t * － Δt ) ］ ( T ＞ 2Δt ) ⎩ d d ω
d ( 10)
ξωΔt [ － 2e s i n ωd
Δt + =
1 arctg
π
t
*
，ωd
= 槡1 － ξ 。 2
3 － 2e
cos ω Δt t
ωd
ω
8
6 4 2 Δx p
d
d
n=1
其中，ξ 为结构的阻尼比; ωd 为结构的自振频率; ω 为结构无 阻尼自振频率; T 为结构周期; Δt 为荷载作用持续时间; x 1 为体系 最大的负位移。 0 -2 -4 -6 -8
0.5 0.6 0.1
0.2
0.3
0.4
n=2 n=5
为了利用 x e
来计算Δx p ，采用能量原理，理想弹性振动体系的 max 最大弹性势能与弹塑性体系的能总能量相等，可以表示为式(
11) 。 图 3 TAFT 地震波放大 n 倍 Δx p 值变化
100
90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 1 2 k ( x m ax ) e 2 2
( 11) = 2
kx 1 + kx 1 Δx 由式( 11) 可得:
(
x e
) 2
－ x 2
Δx p = max
1 ( 12)
2x 1
F y
把式( 10) 与 x 1 =
2 代入式(
12) ，可得式( 13) : 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
F y /M g
图 4 刚塑性反应谱
M ω
F y 2 { 2 + 3e － ξ( π / 槡1 － ξ2) － 1} ⎧ ⎪ ( T ＜ 2 t )
Δ 2M ω2
4 算例
⎪ F y ［e － 2ξωt * { － 3cos ω t * － 3 ξωs i n ω t * Δx p = ⎨ ⎪
+ 2e ξωΔt
， 某高速公路上的钢筋混凝土高架桥 位于设防烈度为 8 度设计 d d 2M ω2 ω d 基本地震加速度为 0． 3g 的地区。上部结构的重力荷载为 190 kN / m ， ⎪ ξω ⎩ ［cos ωd ( t － Δt ) + ω s i n ωd ( t － Δt ) ］］} － 1 * * 2 ( T ＞ 2Δt ) 由高 9 m 的圆形柱子支撑，桥的总跨度为 39． 6 m ，柱子的直径为
1． 5 m ，对于横向地震作用的计算可以把高架桥看作单自由度系 d
( 13)
当阻尼比 ξ = 0． 05，当 Δt = 0． 12 s ，式( 12) 为两种模型计算位 移差别上限的最小值。当体系振动周期 T ≤0． 6 s 时，ξ = 0． 05 时， 式( 12) 可以近似写成式( 14) :
统( 见图 5) 。经计算可知，柱子的刚度 K = 9． 6 × 10 kN / m ，侧向 屈服力 F y = 839． 7 kN ，结构的自重荷载为 G = M g = 7 517 kN 。
3
Δx p =
F
y { arctg ［8． 5( T － 0． 22) ］+ 1． 075} ( 14)
M
2 弹塑性模型与刚塑性模型响应
1 500
K
为了研究在地震作用下，利用刚塑性模型计算塑性位移的误 差。结构的阻尼比为 0． 05，首先保持 F y / M g = 0． 2 不变，式中的 M g 为结构的重力荷载代表值按规定计算。在地震的作用下，计 算了在
不同自振周期时，两种模型计算塑性位移差别情况( 见表 1) ，结果如图 2 所示。不考虑结构的阻尼，当 F y / M g 固定，对地震 的加速度按比例增大对结构的响应进行计算，所得结果如图
3 所示。 表
1 选择的地震波 图 5 结构断面与模型
由文献［8］可知在强烈地震作用下时程分析时地震加速度的 最大值为 0． 51g 。F / M = 0． 11，α = 1 /0． 51 = 1． 96，a = 0． 11 × y g y 1． 96 = 0． 216，由刚塑性位移谱图 4 可 得，结 构 的 塑 性 位 移 为
17 /1． 96 = 8． 67 cm ，结构的屈服位移为 F y /
K = 839． 7 /96 = 8． 74 c m ， 结构的弹塑性位移为 17． 41 c m 。利用 ANSYS 有限元程序输入 TAFT 地震波弹塑性时程分析，计算结构的最大塑性位移为 9． 1 c m ， 最大弹塑性位移为 17． 96 c m 。
结构利用本文的刚塑性位移谱法计算的结果与有限元弹塑 性时程分析的结果最大塑性位移相差 4． 7% ，最大弹塑性位移相 差 3． 1% ，在建筑结构分析计算中所允许的。
8 6 4 2 0
Δx p
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
结语
1) 在强烈地震作用下，可以用刚塑性模型来计算结构的响 应，只要结构有微小的塑性变形就不会产生共振现象。
2) 结构的自振周期越短，F y / M g 值越小，地震加速度峰值越 大，结构的位移响应越接近刚塑性响应。
3) 结构的自振周期不超过 0． 6 s 时，利用刚塑性模型与弹塑性
5 兰州波最大加速度为 0.3g
迁安波最大加速度为 0.54g 按式（14）计算值
El 波最大加速度为 0.34g
广州波最大加速度为 0.41g
图 2 表 1 地震作用下 Δx p 值的变化
3 刚塑性位移计算反应谱法
反应谱是单自由度体系对于某个实际地震地面运动的最大
a m a x
9 000
9 000
地震波名称 地面加速度峰值
地震波名称 地面加速度峰值
El Centro 波 0． 34g
迁安波 0． 54g
兰州波 0． 3g
广州波
0． 41g
山 西 建 筑
第 39 卷 第 14 期 2 0 1 3 年 5 月
V o l ． 39 N o ． 14
M ay ． 2013
·56·
S HANX I A R C H I T E CT U RE
·岩土工程·地基基础·
文章编号:
1009-6825( 2013) 14-0056-03 谈基桩静载试验的数据整理和结果判定
都 智 刚
( 山西建筑工程( 集团) 总公司，山西 太原 030002)
摘 要: 通过对基桩静载试验 Q —s 曲线的数据进行对比和分析，得出了绘制的比例和确定极限承载力 Q u 的具有实际可操作性的
方法，且实践证明该结论合理，可解决静载试验结果判定的准确性问题。
关键词: 桩基，静载试验，陡降，Q —s 曲线 中图分类号:
T U473． 1 文献标识码:
A 线可根据沉降量确定，宜取 40 mm 对应的荷载值”
。按说规范已 有明文要求，照此执行即可。但由于规范条文( 包括条文解释) 并 未对 Q —s 曲线的横纵轴比例做出规定，而“明显陡降”一词也难
以准确定量，在实际工作中，往往会出现判断上的困难，
甚至做出
错误的判定，造成很大的经济损失或引发严重的安全事故。
2 思考与分析 众所周知，在数据不变的前提下，仅仅改变坐标轴的比例，图 形就可能会有很大的变化，尤其是曲线的弯曲程度。表 1 是一组
静载数据按不同比例绘制的 Q —s 曲线图形。 表
1 Q —s 静载数据表 0 引言
桩基作为建筑物重要的基础形式之一，以其承载力高、沉降
量小且均匀、抗震性能好、应用范围广等优点得到了普遍的应用。
但由于其属于隐蔽性工程，质量控制尤为重要，准确测试基桩的 承载力是保证工程质量的必要措施。而基桩静载试验( 本文仅指 基桩竖向抗压静载试验) 是人们公认的最常规、最直观、最准确的 测量基桩承载力的方法，也是国家相关规范、标准强制性条文规 定的验收检测方法。 基桩静载试验的检测方法规范中有明文要求，毋庸赘言。但 关于检测数据的分析与判定，则尚有诸多疑问值得探讨。
问题的提出
在现行的 JGJ 106-2006 建筑基桩检测技术规范中条文 4． 4． 1 对检测数据的分析给出了如下方法“确定单桩竖向抗压承载力 时，应绘制竖向荷载—沉降( Q —s ) 、沉降—时间对数( s —l gt ) 曲 线”，判定单桩竖向抗压承载力 Q u 也在条文 4． 4． 2 中给出了明确 依据“根据沉降随荷载变化的特征确定: 对于陡降型 Q —s 曲线， 取其发生明显陡降的起始点对应的荷载值”“对于缓变型 Q —s 曲 1 如图 1 所示，3 条曲线分别按横纵坐标 1∶ 1，1∶ 1． 5，1∶ 2 绘制， 图形形状基本相似，而区别的恰恰是所谓的“陡降”和“缓变”的性 质及程度。如绘制比例进一步增大或减小，曲线的陡、缓情况还 将加剧。所以如果没有一个合适的曲线绘制比例，就失去了依据
Q —s 曲线判定基桩极限承载力 Q u 的基本条件，而现行 JGJ 106-
2003 櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅
模型计算的最大塑性位移差别不会超过式( 14) 计算结果，在实际
工程中可以忽略由式( 14) 计算出的误差。
4) 刚塑性模型计算结构的弹塑性位移与塑性位移过程简单， 容易掌握，利用本文提出的刚塑性位移谱
法计算结构在强烈地震 作用下的最大塑性位移比弹塑性时程法计算结果偏小，但误差在 10% 以内，符合建筑结构计算设计要求。 参考文献: ［1］ A ． Pa g li ett i ，M ． C ． Po rc u ． R g i d-p l ast i c a pp ro x i m at i o n to p re d i ct p l ast i c m ot i o n under stro ng ea rt hqu a k es ． E a rt hqu a k e E n g i n eer -
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p l a s t i c m otion of s t r u c t u r e und e r s t r o n g e a r t hqu a k e
YANG Y o n g -x i n g
( S han x i Co a l T r an s po rt a t i o n Group Y un c h e ng Co ． ，Lt d ，Y un c h e ng 044000，C h i na )
Ab s tr ac t : In t h i s paper study d i ffe re n ce be twe en p l ast i c d i s p l ace m e n ts o f stru ctu re under stron g ea rt hqu a k e ca l c u l a te d u s i n g r i g i d-p l a st i c m o d e l
and ca l c u l ate d u s i n g e l ast i c -p l ast i c m o d e l ． The res u l ts show tha t r i g i d -p l a st i c m o d e l can be i n tro du ce d to ca l c u l ate the max p l ast i c m ot i o n un der stron g ea rt hqu a k e ． M ot i vate d by t h i s a r i g i d-p l a st i c re spo n spec tru m i s i n tro du ce d ，w h i c h p rov i d es an easy metho d to ca l c u l ate the m a x i mum p l ast i c d i s p l ace m e n t of stru ctu re under stron g ea rt hqu a k e ． The procedure i s fo r mu l ate d u s i n g a step by step forma t fo ll o we d by an e xa mp l e ． R e - s u l ts are compared w i t h ref i n e d e l a st i c -p l a st i c t i m e -h i story a n a l ys i s an d found to be e xtre m e l y e n co u ra g i n g ．
K e y w o r d s : e l a st i c -p l a st i c t i m e -h i sto ry m et h o d ，r i g i d -p l ast i c re spon s p ectr um ，e l a st i c -p l ast i c m o d e l ，r i g i d -p l ast i c m o d e l
收稿日期:
2013-03-02 作者简介: 都智刚( 1978- ) ，男，高级工程师
荷载 Q / kN
600 900 1 200 1 500 1 800 2 100 2 400 2 700 3 000
沉降 s / mm
0． 63 1． 19 2． 16 3． 52 5． 36 7． 69 10． 65 17． 61 25． 18
