两信封悖论的求解方法
刘 博 刘维奇
摘要：介绍了两信封悖论，详述了几种主要的求解方法，最后着重对所述方法作了进一步的比较和分析。
关键字： 两信封悖论 概率测度 期望 无差异原理 博弈论
两信封悖论的问题由来已久，它涉及概率论、博弈论、经济学等很多方面。寻找这个问题的解决办法的同时，人们又发现了许多新的实际问题，这些问题与两个信封悖论极其相似，或者与两信封悖论的解决遇到了相同的问题。大量学者提出许多对这个问题的解释或看法，但是没有一种得到广泛的认同。到目前为止这个悖论仍没有被彻底解决。本文期待总结分析现有几种主要方法的优缺异同，能够推进这个问题的解决进程。
1.两信封悖论简介
两信封悖论有很多不同的表述形式。下面给出最常见的一种。
假定有两个外表一样的信封，主持人将一笔随机数量的钱放在一个信封中。抛掷一枚硬币，若正面朝上，则将两倍于这个信封里的钱放入另一信封中；否则放入另一信封中的钱数为第一个信封中钱数的一半。这样两个信封都装有钱，其中一个信封里装的钱数是另一个信封里钱数的两倍，但是并不知道是哪一个。
一个参与者加入这个游戏，他在两个信封之间任意选择一个，所选信封中钱将归他所有。打开信封之前他有机会来决定是否要改变主意，即是否转而选择另外一个。参与者总是想使自己的利益（钱数）尽可能的大，假设所选信封甲中的钱数为x，则另一信封乙中的钱数等可能的是2x或x/2，其期望值为1/2•2x+1/2•x/2=1.25x，即乙信封中钱数的期望是甲中钱数的1.25倍。因此他应该选择交换乙信封，以获得更大的钱数期望。但是这种考虑显然是有问题的，因为如果在交换到乙信封之后，再给他改变主意的机会，依据同样的推理，甲信封中的钱数期望也会是乙信封中钱数的1.25倍，他还是会选择交换信封的策略以使自己的利益最大。 如果一直给他重新选择的机会，他会一直交换下去。由于这种情况对两个信封是对称的，因此也有观点认为换与不换无所谓。
问题出在哪里呢？
这就是两信封悖论的标准描述。Kraitchik 在1943年讨论的领带悖论和他构造的钱包游戏，都是和两信封悖论实质相同的问题[1]。
本文接下来将介绍几种对这个悖论的主要观点和解释。在第三部分对这些方法进行分析比较，并提出作者的一些看法。
2.两信封悖论的几种主要解释
(1)概率测度方法[2]
此方法的核心是建立一种基于自然数集N上的概率测度，利用所建立的概率测度的有限可加性来计算信封中钱数的期望值，对于钱数定义域即自然数集的无限性，采用了对上述的计算值取极限的办法。
设集合且,定义势；定义的概率测度（又称渐近密度）为，若此极限存在。
易见如果,则对所有的成立。
具有性质：，为空集；==0，其中；=1；=0，若。
直观意义上讲P应由一个均匀分布决定。虽然有限集的测度为0，但是这个结论的逆并不成立。例如对，由，有P(A)=0成立。
上述定义的概率测度具有如下性质：
(i) 有限可加性。
(ii) 平移不变性。
(iii) 可以构造集合，使得对任意成立。
(iv) 上面所建立的概率测度并不完善，可以构造一个集合，使其在所定义的概率测度意义上不可测。
形式地计算两信封中钱数的期望值：
这是因为所建立的概率测度没有无限可加性质。为避开这个问题，可以先计算一个累积的期望，然后取极限，得到期望值：
两信封中的钱数均为无限期望值，就没有矛盾的推理了（因为E(A)与E(B)均为无限，E(A)=1.25E(B)与E(B)=1.25E(A)可以同时成立）。
(2)概率密度函数解释[3]
将正实数集作为信封中钱数的定义域来讨论，并且不考虑实际情况中存在着的钱数的上限（有关钱数有限时的情形，可以推论到合理的结果，悖论的情况并不出现，见[4]）。
假设信封中钱数服从于某一概率分布。定义两信封中较小的钱数Z的概率密度函数为g(x)，则Z落于区间[a ,b]的概率为。则两种情况A=2Z，B=Z与A=Z，B=2Z出现的概率相同。直观上看，由于只知道Z的取值范围，很容易认为它是服从无限区间的均匀分布的变量。但是这是不可能的。
假设概率密度函数g(n)为正实数域上的平均函数，则对任意的正整数k有成立，其中为一常数。如果c=0，g(n)在其积分区域内的积分值为；如果，则在积分区域内的积分值为正无穷。同时，每个适定（proper）的分布必定收敛的事实也从一个方面反映了实数集上的平均分布的不可能性。
可以证明存在能够导致悖论中的矛盾推理的适定（proper）的概率分布。得出。
若A（代表信封中钱数）的取值范围为：，则的范围或者是或者是，根据概率测度概念，第一种情况的概率应该是，第二种情况的概率应该是，因此B>A的概率与B<A的概率之比为。
不存在无限集上的平均分布，转向寻找概率密度函数为减函数的随机变量，以便使得对所有的有P(B>A|A=n)=0.5成立。上述情况可以定义函数g(n)满足。例如：g(x)=1/x ，分别取上下界U，L后规范化（normalize）使得成立。此时对所有满足的n ，有P(B>A|A=n)=0.5成立。
一般情况下分布函数的界会限制（block）矛盾的推理；而且无界（unbounded）的分布函数g(x)=1/x有无限积分。因此上述有界的分布不会导致悖论的情况出现。
可以修改这个分布函数，使它更快的收敛以解决这个问题。比如定义分布函数为，在取下界L处截断后标准化（normalized），使得悖论出现。这个分布有有限积分，而且既使对绝大多数的，P(B|A=n)<0.5，仍然对所有的，有E(B|A=n)>n。事实上如果，；如果，因为：
==。因此悖论仍然存在。
也可以构造类似的更符合直觉的概率分布：设随机变量落在区间（1，2）的概率为，落在区间（2，4）的概率为0.9c，落在区间（4，8）的概率为0.81c，……以此类推。这个分布有有限积分（即是适定（proper）的分布），与选择变量值落在与之间的概率是常数的情况相比，两种情况十分相似的，矛盾的推理仍然成立。由此可以证明能够导致悖论中矛盾推理（即：E(A)=1.25E(B)，E(B)=1.25E(A)）的适定（proper）概率分布存在。
根据适定的概率分布所具有的性质，上述分布都具有有限的积分值，但是这些概率分布仍然可以具有无限的期望值（比如当时，期望值无限）。当期望值是无限的时候，类似上面的方法(1)，悖论解决。
为了完全解释这个悖论，只需证明在有限期望的情况下没有悖论存在。为此需要更精确的描述矛盾状态下的条件。问题的表述中，当对所有的nN，有E(B|A=n)>n成立时，矛盾情况出现。关于依赖于的推理使我们得到结论：在平均情况（而不是任何情况）下，通过用换，是有期望利益存在的，这时矛盾情况仍出现。用K表示随机变量E(B|A=x)，当E(K-A)>0时这个结论仍然成立。因此需证明当E(A)有限时，E(K-A)=0。
定义函数h为A的概率密度函数：=。注意。
上述推导只有在的值为有限的时候才有意义。此时E(A)有限，由B对A的依赖，不会得出应该交换信封的结论。
所以如果当E(A)有限时，对所有的n 有E(B|A=n)>n是不可能的，此时悖论不会出现。而如果E(A)无限，可能有E(A) =E(K)，且均为无限。这种情况下，矛盾的推理仍然存在。但结果不再是悖论，仅仅是与人们的直觉不相符合。
(3)博弈论观点[5]
引入另一个相关的悖论，称之为猜数游戏（不妨计为悖论Ⅱ，两信封悖论计为悖论Ⅰ）：两张纸片上均写有一实数，数字朝下放在桌面上。甲随机选择其中的一张，告诉乙上面的数字，由乙来猜另外一张纸上数字与这个数字之间的大小关系。
利用悖论Ⅱ的解决给了悖论Ⅰ的一种不同的解释。即不存在具有如下性质的概率分布：该分布使得一对数a，b等可能的互为大数，且对其中任一数的观察不会改变这种等可能性。延伸到悖论Ⅰ中：服从对任一信封中的随机钱数x ，另一信封中的钱数等可能的为2x和x/2性质的概率分布是不存在的。即两信封悖论中所描述的情况不存在。
定义随机变量X1，X2分别表示第一、二个信封中的钱数。由两信封悖论的描述可以知道，对任意X1的观察值x1，有
;
成立。
这表明对任意可测数集A有：
;
。
在分析中，可以把事件X1=2X2，X1=0.5X2分别等同于事件X1> X2，X2> X1。
因此有下述两个条件成立：
（i）
(ii)
即事件X2> X1，X1> X2的概率均为1/2，且这两个事件与X1，X2独立。
命题1：不可能有一对随机变量X1，X2满足上述条件(i)、(ii)。
悖论Ⅱ可看作是一个双人游戏：参与者C选择两个数字分别写在两个纸片上，参与者G在看过从其中随机选择的一个纸片之后，猜测这两个纸片上的数字的相对大小。若猜对，则G获胜。
这里假定G采用门限策略(threshold strategy) T：G任意选择一个实数T，当他所看到的数字不小于T时，认为这个数是两个数字中的大数；否则认为是较小的数。
命题2：如果不论C采取何种纯策略, G都采取门限策略T，那么G获胜的概率为1/2，当或的时候；获胜的概率为1，当或者的时候。
如果G采用一个混合策略，即对任意，概率。
命题3：G采取策略Q将保证获胜的概率过半，不论C采取何种纯策略。
证明：设,如果,；否则，。
因此。
时的情况类似。证毕。
上述命题3可以用来证明命题1：假设C采用的混合策略(x1，x2)满足条件(i)，(ii)，那么G将不能保证他以过半的概率猜对，推出矛盾。
G用门限策略T时获胜的概率为：
因此混合策略(x1, x2)使得无论G采取何种门限策略（当然包括Q），他获胜的概率为1/2，与命题3相矛盾。因此假设不成立，命题1得证。
(4)无差异原则（principle of indifference）的观点[6]
关于一个问题的各种不同的推理并不相互矛盾，因为不同的推理所依据的具体的操作或描述的过程并不相同，同一个策略所对应的状态空间也不同。言外之意若无足够信息支持在多种不同分布间作出理性偏好，我们没有理由坚持换或者不换。
关于两信封悖论，如果没有其他的信息的话，问题得不到很好的解决。为了说明这种观点，有人专门将信封悖论的不同操作过程分别开来加以讨论，以适应对两信封悖论的不同推理。这种解释方法不仅适用于两个信封悖论，对其他的问题也成立。比如贝特朗悖论（
Bertrand’s Paradox）。
