马科维茨《资产组合选择》读书报告
摘 要
投资者采取最大化折现期望或预期回报的准则，该准则不足以作为立论的前提假设和引领投资者行为的最大化原则，它不能得出存在一个优于所有非分散化组合的分散化资产组合。马科维茨用几何方法表示了主观信念和资产组合选择之间依照“期望E回报——回报方差V”准则形成的关系。E-V准则得出投资者将希望选择可行组合中最富有效率的一个，也就是给定E 或者更大时V 最小，以及给定V 或更小时E 最大，该准则得出的有效资产组合几乎都是分散化的。本文用三只证券的案例及一些简单的数学模型，主要考察资产组合选择过程的第二个阶段：从对所包括的证券的相关主观信念形成资产组合选择。
【关键词】分散化 E-V准则 组合选择
1952年，马科维茨在《金融杂志》上发表题为《资产组合选择》一文，该文堪称现代金融理论史上的里程碑，标志着现代组合投资理论的开端。该论文最早采用风险资产的期望收益率（均值）和用方差（或标准差）代表的风险来来研究资产组合和选择问题。马柯维茨根据风
险分散原理，应用二维线性规划的数学方法，揭示了如何建立投资组合的有效边界，使边界上的每一个组合在给定的风险水平下获得最大的收益，或者在收益一定的情况下风险最小。同时马柯维茨认为，投资组合的风险不仅与构成组合的各种证券的个别风险有关，而且受各证券之间的相互关系的影响，相关系数越大，代表风险的方差越大，因此我们应当在产业间进行分散化投资组合选择，必须避免投资于具有很高相关性的证券。
一、马科维茨投资组合模型的前提假设
（一）从对所包括的证券的相关主观信念形成资产组合选择
在文章的开头和结尾，马科维茨一直在强调他研究的着眼点是资产组合选择过程的第二个阶段，即从对备选证券未来表现的有关主观信念形成资产组合选择。在这之前，传统的经济学家多从资产组合选择过程的第二个阶段出发，即从观察和经验形成对备选证券未来表现的主观信念。这样的经验观察多是用描述性的语言对金融问题进行研究，研究结果缺乏数据支撑及数学模型的论证。而马科维茨与众不同的着眼点，资产组合选择一定会涉及到有限资源下如何做选择的问题，他巧妙地借用了数学中的期望和方差及线性规划等工具来定义预期回报及其不确定新及他们形成的组合，解出来最有效率的资产组合选择。马科维
茨使金融学开始摆脱了纯粹的描述性研究和单凭经验操作的状态, 标志着数量化方法进入金融领域。
（二）分散化资产组合选择
传统的经济学家往往会把预期收益最大化作为投资的最终目标和准则，而马科维茨认为该准则不能得出存在一个优于所有非分散化组合的分散化资产组合，应该被摒弃。尽管投资管理人和经济学家早就意识到了把收益和风险同时考虑的必要性，然而他们却忽略了投资分散化和预期收益最大化之间的矛盾。马科维茨认为在证券组合选择过程中，如果一个投资者仅仅是使预期收益最大化，那么他永远不会选择投资分散化。如果一种证券的预期收益高于任何其他证券，投资者会将所有的资金投放在这种股票上。如果几种股票有相同的最大的预期收益，投资者将会把投资局限在这几种证券之间，而忽视证券组合的分散化。因此他说考察投资者采取（或者应当采取）追求期望回报，回避回报方差的准则。这一准则作为投资者行为最大化原则和前提假设具有许多优点，可以能得出分散化优越性。
二、马科维茨均值-方差模型或者E-V准则
根据马柯维茨理论的前提假设：投资者仅依靠投资的预期收益和预期风险来做出决定。先介绍数学中的期望与方差，再介绍证券预期回报和风险的计算方法。
（一）数学中期望与方差
Y为值是偶然性确定的随机变量，取有限个值y1，y2，…，yN. 对应的概率分别为p1，p2，…，pN ，
Y的期望：E=p1y1+p2y2+…+pNyN
Y的方差：V=p1(y1-E)^2+p2(y2-E)^2+…+pN(YN-E)^2。
假设有一系列随机变量R1,R2,…,Rn,如果R是Ri的加权和（线性组合） 则R = a1 R1 +a2 R2 +…+an Rn，那么R也是随机变量。
加权和的期望值是期望值的加权和:E(R)= a1 E(R1) +a2E( R2 ）+…+anE( Rn)
加权和的方差为:V（R）=
其中Ri和Rj的协方差为σij=E { [ Ri -E（Ri）] [ Rj -E（Rj）] }
它用相关系数ρij来表示为σij= ρijσiσj，等于它们的相关系数乘以Ri的标准差再乘以Rj的标准差。如果运用Ri的方差为σii的事实，则
马科维茨认为风险资产（如证券）的收益是不确定的，在不同的情况下其收益表现一般不同。为了衡量该种资产的平均收益率，马科维茨提出了期望收益率（均值）这一概念。它等于该资产在各种可能状态下收益率的加权平均数，权数为各种可能状态下的几率。实际收益率与期望收益率一般总存在一些差距，这种差距产生的不确定性就是风险。马科维茨用方差（或标准差）对其进行衡量。它等于实际收益率和期望收益率之间差额的平方的加权平均数，权数为各种可能状况的几率。将方差开方后取绝对值，就得到了标准差。但是注意到资产的方差与资产间的相关系数有关。
（二）投资组合的期望回报和期望风险
设有 N 种证券，不允许卖空，同时满足分散化投资和最大化期望回报存在
rit为t 时期投资于证券i的每单位货币的预期回报（不管其如何确定） ，dit为第i个证券在时期t 的回报折现为现值的比率，Xi为投资于证券i 的相对数量。
组合的折现预期回报R为
第 i 个证券的折现回报Ri为
则组合的折现预期回报R为:
Xi与Ri独立，所有Xi的和为1，R 是以非负的Xi为权数的Ri的加权平均，为了最大化R，我们对Ri最大的i 取Xi =1。如果某些Rɑa，a=1，… ，K 最大，那么只要满足都可以
资产组合整体的期望回报E，μi为Ri的期望值；
资产组合整体的期望风险V是 ，σij为Ri和Rj的协方差.
通常如果用“期望收益”或“期望回报”替代“收益”， 用“回报方差”或“方差”替代“风险”，不会引起表面含义的变化。
（三）投资组合选择的E-V准则
在用期望收益率（均值）和方差（或标准差）对资产组合的平均收益率和风险进行度量之后，马科维茨提出了有效资产组合的概念。有效的资产组合是指在特定的风险下，期望收益率最高的资产组合；或在特定的期望收益率下，风险最小的资产组合，只有这样的组合才是投资者的合理选择。这是因为证券回报的关联性太强，分散化就不能抵消所有的方差。具有最大期望回报的资产组合不一定具有最小方差。 存在一个投资者可以在控制方差的前提下获得期望回报，或者在放弃期望回报的前提下减少方差的比率。 这就是E-V准则，即给定E 或者更大时V 最小，以及给定V 或更小时E 最大。如图1所示
图1
三、马科维茨理论在三个证券案例中的具体应用
在三只证券的情况下，我们的模型减少为
将X3=1-X1-X2代入1）和2）可以得到用X1和X2表示的E和V，简记为
其中
进一步化简
我们将给定期望回报时所有点（资产组合）构成的集合定义为“等均值”线。可以看出，如果我们改变E，截距会改变但是等均值线的斜率不会改变。这就确定了等均值线构成一簇平行直线的结论。同样，将给定回报方差时所有点构成的集合定义为“等方差”线。同样地，通过简单地应用几何分析，我们确定等方差线构成一簇同心椭圆。曲线簇的“中心”是最小化V 的点，我们将该点标记为X，将它的期望回报和方差标记为E 和V。偏离X 越远时，方差会增加。“资产组合可行集”：由所有满足下列约束组合构成 ：
X1≥0，X2 ≥ 0，1- X1- X2 ≥ 0，X3 = 1 – X1 – X2。
“有效组合”:给定E 或者更大时V 最小，以及给定V 或更小时E 最大。在图形当中是在可行集内等均值线和等方差线相切的点的轨迹。如下图2粗折现所示：
图2
在三只证券的情形下，E = a0 + a1X1+ a2X2是一个平面； V = b0+b1X1+ b2X2+b12X1X2 + b11X21 +b22X22 是一条抛物线。如图3 所示，E-平面在有效组合集之上的部分是一系列折线段。V-抛物线在有效组合集之上的部分是一系列抛物折线。如果就有效组合的E 画出V，我们也将得到一系列抛物折线（见图4）
图3
图4
具有 4 只证券的有效集，如同具有3 只证券和N 只证券的情形一样，是一
系列折线段。有效集的一端是方差最小的点，另一端是期望回报最大的点。我们可以使用该方程在三维空间中表示四只证券。消去 X4，我们得到E=E（X1，X2，X3），V=V（X1，X2，X3）。在三维空间中，用向量（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0）将可行集表示为四面体，资产组合表示为X4=1，X3=1，X2=1，X1=1。如图5所示
图5
就像在二维的情形一样，具有最小可取方差的点可能在可取集内或者在其中的一条边界上。一般地我们沿着一条给定的临界线直到这条线或者与一个较大的子空间相交，或者触及一条边界（以及同时具有较低维数子空间的临界线）。在上述任何一种情况下，效率线会反转并且沿着新的直线连续。当到达具有最大E 值的点时，效率线将终止。
四、马科维茨理论在实践中具体应用
（一）理论分析
在理论分析中，我们会考察诸如对公司普遍持有的主观信念的变化、或者对期望回报与回报方差偏好的一般性变化、或者证券供给的变化所产生的各种效应。在我们的分析中，Xt可以表示单只证券或者表示如债券、股票和房地产的总体。
假设投资者在两个组合之间进行分散化（即他将一部分资金投入一个组合，将其余的资金投入另一个组合。在组合之间进行分散化的一个例子是买入两个不同投资公司的股份）。如果两个原始组合P’=（X’1，X’2）， P’’=（X”1 ，X”2） 的方差相等，那么一般地最终的（复合）p组合的方差将小于任何一个原始组合的方差。
