不完全市场下投资组合选择的鞅方法
【摘要】介绍了投资组合选择理论的产生和新的发展，在总结不完全市场下假设下投资组合选择的鞅方法的基础上，对其理论进行了详细的描述。
【关键词】不完全市场，投资组合选择，随机控制论，鞅方法
1、引言
投资组合选择理论被定义为最佳风险管理的定量分析。投资组合选择主要是投资者把拥有的财富投资到不同的资产中，以达到风险和确保收益的目的。其本质上就是一个金融优化问题的研究。1952年，美国经济学家markowitz（1952）首次提出投资组合理论，并进行了全面深入和开创性的研究，他利用了均值和方差的概念来分析资产的收益和风险[1]。它极大地推动了现代金融学的产生和发展，也掀起了华尔街的第一次革命。
投资组合选择理论最大的应用就是证券投资上面，尤其是基金管理行业。证券投资基金起源于英国投资信托公司，发展与美国证券投资市场。在markowitz之前，基金经理很难去风险有很好的刻画，均值方差投资理论给基金管理行业提供了重要的理论依据。随着各种理论模型
的提出，极大地促进了投资组合选择理论的发展，也推动了证券投资行业的兴起和繁荣。
金融市场可以分为完全市场和不完全市场，从50年代以来，投资组合的研究主要集中在完全市场，并且已经有了很多丰富的理论成果。但是现实的市场多数都是不完全的，完全市场的假设往往和实际相违背，于是80年代末90年代初起，开始进行了对不完全市场下的投资组合的研究[2-4]。研究的方法主要集中在两种：（1）控制论方法，（2）鞅方法。本文主要是在研究大量文献的基础上，总结和分析在不完全市场下投资组合选择的鞅方法。
2、鞅和对偶方法
鞅方法主要就是思想是把一个动态的最优问题，转化为一个静态的最优问题。pagès（1987）最早采用鞅方法来研究不完全市场下的投资组合选择问题，并且提出了等价鞅测度的思想[2]。he和pearson（1988）继续了pagès的工作，重点讨论了如何需找最大的等价鞅测度，并且定义了arrow-debreu状态价格[3]。karatzas、lehoczky、shreves和xu（1991）用鞅和对偶的方法，通过增加“虚拟”股票，得到了与完全市场相一致的最优投资组合。这几位学者都通过假设股票数量小于brownian运动个数来刻画市场的不完全性[4]。总结起来，可以概括为：
