框架柱计算长度系数法和二阶分析设计法的比较
童根树
金阳
（浙江大学土木系
杭州310027
）摘
要
对框架柱的计算长度系数法和二阶分析设计法详细列出设计公式进行了比较，详细解释了内力采用二阶
分析时计算长度系数取1.0的原因。通过算例分析，对两种分析设计方法进行了定量比较。对框架的比较表明，纯框架如果采用二阶分析方法设计，无需计算稳定性。关键词
框架柱
计算长度系数法
二阶分析设计法
C O M P A R I S O NB E T W E E NE F F E C T I V EL E N G T HA P P R O A C HA N DS E C O N
D -O R D
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A N A L Y S I SD E S I G NA P P R O A C HO FC O L U M NI NF R A M E
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（Z h e j i a n g U n i v e r s i t y H a n g
z h o u 310027）A B S T R A C T Ad e t a i l e dc o m p a r i s o nb e t w e e ne f f e c t i v e l e n g t ha p p r o a c ha n ds e c o n d -o r d e ra n a l y s i sd e s i g na p p
r o a c ho f c o l u m n i n f r a m e i s c a r r i e d o u t b y l i s t i n g r e s p e c t i v e f o r m u l a s ，a n d t h e r e a s o nw h y e f f e c t i v e l e n g t h f a c t o r i s t a k e n a s 1.0w h e n s e c o n d -o r d e r a n a l y s i s i s a d o p t e d i s c l e a r l y e x p l a i n e d .T h e n t w o e x a m p l e s a r e p r
e s e n t e d t o i l l u m i n a t e t h e q u a n t i t a t i v e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o d e s i g n a p p r o a c h e s o f c o l u m n i n f r a m e a n d i n d i c a t e t h a t t h e i n -p l a n e s t a b i l i t y o f u n b r a c e d f r a m e n e e d n o t b e e v a l u a t e d i f s e c o n d -o r d e r a n a l y s i s d e s i g n a p p r o a c h i s u s e d .K E Y W O R D S c o l u m n i n f r a m e
e f f e c t i v e l e n g t h a p p
r o a c h s e c o n d -o r d e r a n a l y s i s d e s i g n a p p
r o a c h 框架柱是钢结构中最常见的一种构件。目前规范规定的框架柱设计方法主要有计算长度系数法和二阶分析设计法。计算长度系数法又称一阶分析设计法，就是对框架柱进行一阶线性内力分析和稳定计算；二阶分析设计法严格地讲只需对框架柱进行二阶内力分析和强度计算，但是目前规范规定的二阶分析设计法是近似的，因而为了安全起见规范仍然规定取计算长度系数为1.0进行稳定性验算。本
文对框架柱的上述两种设计方法进行了比较，以便于设计人员选择设计方法时参考。
1规范规定的一阶和二阶分析设计法
按照现行的《钢结构设计规范》（G B50017-2003
）〔1〕（以下简称“规范”），框架柱的内力可以按一阶分析计算，也可以按二阶分析计算。由于框架
柱同时承受弯矩和轴压力，内力按一阶分析时，框架柱的稳定性计算必须查表确定计算长度系数，然后计算长细比，进行稳定验算。
“规范”规定强度计算公式为：
P
A n +M x γx W n x
≤f （1
）式中，A n 为净截面面积；W n x 为对x 轴的净截面模量；γx 为截面塑性发展系数；
P 为构件轴压力，M x 为构件最大弯矩。
弯矩作用平面内的稳定性按下式计算：
P φ
x A +βm x M x γx W 1x （1-0.8P ／P ◜E x ）≤f （2）式中，P ◜E x E π2E A ／（1.1λ2x ）；φ
x 为弯矩作用平面内的轴心受压构件稳定系数，由λx E μh ／i x 查表得到；μ是计算长度系数；W 1x 为受压纤维的毛截面模量；βm
x 为等效弯矩系数，“规范”第5.2.2条对其取值有详细规定。
第一作者：童根树男1963年11月出生
教授
收稿日期：2004-09-08
框架柱采用二阶弹性分析方法设计时，要按照式（3）、式（4
）进行强度和平面内稳定性计算，但是此时的弯矩为二阶分析得到的弯矩：
P 2A n +M x 2
γx W n x
≤f （3
）P 2φx 2A +βm x 2M x 2γx W 1x
（1-0.8P 2P ◜E x 2
）≤f （4）式（3）、式（4）和式（1）、式（2）形式相同，为了区别起见，在式（3
）、式（4）的有关量中加上下标2，表示与一阶分析的不同。特别是P ◜E x 2E π2E
A ・8
科研开发
钢结构2005年第2期第20卷总第78期
（1.1λ2x 2）-1；λx 2E h ／i x ；φ
x 2由λx 2查表确定；P 2则近似地取一阶分析的结果；β
m x 2E 0.35+0.65M 2／M 1。对于二阶弹性分析，“规范”允许采用近似二阶分析方法，并有如下规定：
1）对∑P ・Δu
∑H ・h >0.1的框架结构宜采用二阶弹性分析，此时应在每层柱顶附加考虑假想水平力
H n i E αy Q i 2500.2+1n ﾍ
s
，其中Q i 、n s 、αy 分别为第i 层的总重力荷载设计值、框架总层数、钢材强度影响
系数，并且式中根号的值要小于1.0。这条规定实际上是通过一个假想水平力来考虑结构初始缺陷的影响。
2
）对纯框架结构，当采用二阶弹性分析时，各杆件杆端的弯矩M Ⅱ可用下列近似公式进行计算：M ⅡE M Ⅰb +α2i
M Ⅰs （5）α2i E 1／（1-∑P ・Δu ∑H ・h
）（6）式中，M Ⅰb 、M Ⅰs 分别为假定框架无侧移、有侧移时按一阶弹性分析求得的各杆件端弯矩；α2i 为考虑二阶效应第i 层杆件的侧移弯矩放大系数；∑P 为所计算楼层各柱轴心压力设计值之和；∑H 为产生层间侧移Δu 的所计算楼层及以上各层的水平力之和；Δu 为按一阶弹性分析求得的所计算楼层的层间侧移；h 为所计算楼层的高度。2为什么内力采用二阶分析时计算长度系数取1.0
严格地讲，考虑结构的稳定问题就必须采用二阶分析，因为分析结构的稳定性就是要在结构变形以后的位置上建立平衡关系，也就必须要考虑二阶效应。因此，框架柱设计无论采用计算长度系数法还是二阶分析设计法进行稳定性设计时，都必须考虑二阶效应的影响，但是两种方法的考虑途径有所不同。
设悬臂压杆存在初始缺陷：
y 0E d 0（1-c o s πx 2h ），y "0E d 0
（π2h ）2c o s πx 2h 则压杆平衡微分方程为：
E I y （
V
）
+P y "E-P y "0
令y E d （1-c o s πx 2h
）
，由逆解法得：d +d 0E d 0
1-P ／P E ，其中P E E π2E I 4h
2。根据边缘纤维屈服准则得到：
P A +P d 0
W x （1-P ／P E ）E f
y
上式化为：
σ2-［f y +σE （1+E ）］σ+σE f y
E 0式中，σE P ／A ；σE E P E ／A ；E E A d 0／W x 。根据上式得到著名的P e r r y
-R o b e r t s o n 公式：σm a x
E 12
［f y +（1+E ）σE ］-［f y +（1+E ）σE ］2-4σE f ﾍ｛｝y 比值σm a x ／f y 被定义为稳定系数φ：φE 121+1+E -λ2-（1+1+E -λ2）2-4-λ
ﾍ
［
］
2式中， λE λ／λy ，λy E πE ／f ﾍy
。欧洲钢结构设计规范E C 3采用的柱子稳定系数公式与上面的相似：
φE 121+1+α（-λ-0.2）-λ2-［1+1+α（-λ-0.2）-λ2］2-4-λ
ﾍ
｛
｝
2（7）相当于取E E α（ λ-0.2），对应a 、b 、c 曲线α取
0.206、0.339、0.489
。从上面推导过程可知，稳定系数φ可以近似地看作由以下三个步骤得到：1）考虑初始缺陷；2
）进行二阶内力分析；3）进行最不利截面的强度计算。因此如果内力采用二阶分析方法确定，又考虑了初始缺陷（“规范”中的假想水平力），那么只要进行强度校核就可以了，无需再进行稳定验算。
但是考虑目前的二阶分析方法是近似的，仅考虑了有侧移的P -Δ效应，而没有考虑无侧移的P -δ效应，例如在上面悬臂柱的例子中：1
／（1-P ・P E -1）
是二阶效应放大因子，但在“规范”中这个系数为1／［1-P h 3・（3E I ）
-1］是近似的；而且初始缺陷的影响也无法真实模拟，为了安全起见，“规范”仍然规定取计算长度系数为1.0进行稳定性计算。
为了进一步解释内力采用二阶分析时，计算长度系数无需查表确定，我们再考虑框架柱平面内稳
定计算公式（2
）
的来源。参考教科书〔2〕，内力采用二阶分析后，受力最大截面的强度计算公式为：
P A +M x +P e *γx W 1x （1-P ／P E x ）
E f （8）式中，e *是用来考虑各种缺陷影响的压杆等效初弯曲。令M x E 0时压杆的承载力P E φx A f ，可以得到等效缺陷因子e *，将e *代入上式化简得到：
P φ
x A +M x γx W 1x （1-φx P ／P E x ）E f （9）式（9）已经与式（2）接近，不同之处为φx P ／P E x 变为
0.8P ／P ◜E x 。
因此可以说，采用一阶分析内力的平面内稳定计算等效于采用二阶分析内力和考虑初始缺陷影响的强度计算。既然是强度计算，当然没有必要查计算长度系数。稳定系数中已经部分地包含了二阶分
9
童根树，等：框架柱计算长度系数法和二阶分析设计法的比较
S t e e l C o n s t r u c t i o n .2005（2），V o l .20，N o .78
析，还包含了初始缺陷的影响。
为什么说稳定系数中仅仅包含了部分的二阶效应。因为荷载产生的主弯矩还有二阶效应，这部分
的二阶效应在式（2）中用1／（1-0.8
P P ◜E x ）考虑。3一阶和二阶分析设计方法对比
本文通过下面两组算例对框架柱的两种设计方法进行了定量比较。
3.1悬臂柱承载力分析
如图1所示悬臂柱，在柱顶作用有竖向荷载P 和水平荷载Q ，P 与Q 的比值为k 。假定该柱在弯矩作用平面外有足够的支撑，不会发生平面外失稳。一阶分析设计法的柱底截面弯矩为M x E Q L ；二阶分析设计法的柱底截面弯矩为M x 2E （Q +H n ）L 1-P ／P E x ，假想水平力为H n E P ／250。无论采用哪一种设计方法，根据“规范”5.2.2条规定对悬臂柱的等效弯矩系数βm x 均为1
.0，因而无论哪一种设计方法均由
稳定应力控制承载力。
悬臂柱承载力值一阶和二阶分析结果比较
k E P ／Q λx E 40（λx 2E
20），L E 371.354c m P 1P 2P 2／P 1λx E 80（λx 2E
40），L E 742.708c m P 1P 2P 2／P 10.2532.52732.50410.99929616.306916.30120.99965051124.888124.5580.997357663.088463.00260.998642237.195236.0450.9951517120.967120.6660.99751173338.875336.5990.9932837174.357173.7610.99658175516.238511.2340.9903068269.917268.5940.995098510
852.687
840.389
0.9855774460.853
457.55
0==============================================================.9928329k E P ／Q λx
E 120（λx 2
E 60），L E 1114.06c m P 1P 2P 2／P 1λx
E 160（λx 2
E 80），L E 1485.42c m
P 1P 2P 2／P 10.2510.8510.85951.00087568.1118.130071.0023511141.735641.89211.003749830.926731.21471.0093123279.491680.05811.007126558.304859.31191.0172733113.915115.0681.010121682.820284.82291.024********.659177.3281.0152812125.156129.6211.035675510
293.301
300.59
1.0248516
204.994
216.388
1.0555821
注：P 1、P 2分别为一阶、
二阶分析得到的承载力值。从表1可以看出：对图1所示的b 类截面悬臂柱，一阶分析设计法和二阶分析设计法得到的承载力值基本接近，长细比大、竖向荷载大时出现一定的差别，但两者的最大差值在5%以内。我们还对a 类、c 类截面悬臂柱进行了分析，结果类似。3.2单层框架的框架柱承载力分析
如图2所示的单层框架，跨度为l ，高度为h ，在横梁上作用有均布竖向荷载q ，柱顶作用有水平荷载Q ，水平荷载与竖向总荷载的比值为k
。假定框架在平面外有足够的支撑不会发生平面外失稳。
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采用二阶分析设计法时，框架内力按式（5）计算并同时在柱顶考虑附加假想水平力的影响。在图2所示的竖向荷载和水平荷载作用下框架的右柱内力更为
不利，表2列出了其内力表达式，并给出了两种设计方法的计算长度系数、等效弯矩系数的取值。
取l E 8000m m ，h E 5000m m ，
横梁和柱的截表2图2所示单层框架右柱的内力、层间侧移表达式
参数计算长度系数法
二阶分析设计法
柱顶截
面弯矩M 上E q
l 36*I x c I x b h +2I x c l +3Q h 2
2*
I x b 6I x b h +I x c l M 上2E q
l 36*I x c I x b h +2I x c l +α2i
3（Q +H n ）h 22*I x b 6I x b h +I x c
l 柱底截面弯矩M 下E q
l 312*I x c I x b h +2I x c l +Q h 2-3Q h 2
2*
I x b 6I x b h +I x c l M 下2E q
l 312*I x c I x b h +2I x c l +α2i
（Q +H n ）h 2-3（Q +H n ）h 22*I x b 6I x b h +I x c ［］
l 轴力P E q
l 2+3Q h 2
l *
I x b 6I x b h +I x c
l P 2E q
l 2+3Q h 2
l *I x b 6I x b h +I x c
l 层间侧移Δu E 1E I x c （Q h 36-3Q h 4
4*
I x b
6I x b h +I x c
l ）计算长度系数
查“规范”附表D -2得到
μE
1.0等效弯
矩系数βm
x E 1.0（内力未考虑二阶效应的无支撑纯框架）βm
x 2E 0.65+0.35M 2M
1
，且|M 1|≥|M 2|（“规范”5.2.2条）注：I x b 、I x c 分别为梁截面惯性矩、柱截面惯性矩；α2i 由公式（6）确定；M 1、M 2为总的端弯矩，使构件产生同向曲率时取同号，使构件产生反向曲率时取异号。
面均采用H 型钢H 500*300*8*14，钢材为Q 235-B
。取不同的水平荷载和竖向荷载比值k （与悬臂柱的k 相反），对右柱进行验算，当采用计算长度系数法时由平面内稳定控制承载力，利用式（2）进行平面内稳定验算反求得到框架承载力值q 1，当采用二阶分析设计法时，利用式（4）进行平面内稳定验算反求得到承载力值q 21，利用式（3）进行强度验算反求得到承载力值q 22
，结果见表3。表3单层框架柱一阶和二阶分析结果比较
k E Q ／（q l ）q 1q 21q 21／q 1q 22q 22／q 10.2572.752163.6312.24973.4281.009133.07680.8422.44433.2041.004218.25943.1152.36118.3311.004312.61129.4062.33212.6611.00457.79017.9792.3087.8221.00410
3.983
9.119
2.289
4.000
1.004
从表3得知，框架进行二阶分析后，无需计算稳定性，总是由强度控制设计。
下面来看另一组框架，形式仍然如图2，取不同的荷载比值k ，先通过P K P M 软件初选截面，控制较不利右柱的稳定应力在200M P a 左右，所选截面见表4
。表4中第1组数据是特意选择的，目的是希望获得（∑P ・Δu ）／（∑H ・h ）>0.1的一个例子。为了达到这个目的，框架高度要达到25m 。由此可知实际工程中不太可能出现∑P ・Δu
∑H ・h
>0.1的情况。对上述这组框架的右柱进行设计验算，计算长度系数法利用式（2
）进行平面内稳定验算反求得到表4框架尺寸及梁柱截面型号
框架尺寸／m k 柱截面／m m 梁截面／m m 8*250.025H 500*300*8／10
H 500*300*8／14
8*50.05H 300*300*8／14H 500*300*8／148*50.25H 500*300*8／14H 500*300*8／148*51.0H 650*450*10／16
H 650*400*8／14
8*52.0
H 900*600*12／16H 700*500*10／16
8*5
5.0H 1200*1000*14／18H 900*600*14／18
承载力值q 1，二阶分析设计法分别利用式（4）、式（3
）进行平面内稳定和强度验算反求得到承载力值q 21、q 22
，结果见表5。表5表4中各框架柱一阶和二阶分析结果比较
k E Q ／（q l ）q 1q 21q 21／q 1q 22q 22／q 10.02569.477103.3931.48889.6811.2910.0572.988137.0281.87774.5771.0220.2572.752163.6312.24973.4281.0091.070.004161.7242.31070.1671.0022.068.879141.2972.05168.9691.0015.0
68.009
128.570
1.890
68.078
1.001
从表5可知，对于第一个例子，二阶设计方法偏不安全，而且相差较大。
从表3、表5的数据可以看出：对于无支撑纯框架采用计算长度系数法和二阶分析设计法由稳定条件得到的承载力值差别很大。究其原因，不难发现：根据“规范”规定，采用计算长度系数法时，内力采用一阶线性分析，等效弯矩系数βm x 取1.0；采用二阶分析设计法时，内力采用二阶分析，等效弯矩系数按βm
x 2E 0.65+0.35（M 2／M 1）取。由于框架柱的端弯矩M 1、M 2使其产生反向曲率，
故它们的比值取负，（下转第40页）
1
1童根树，等：框架柱计算长度系数法和二阶分析设计法的比较
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工程设计
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