第10章 压杆稳定
10.1 压杆稳定的概念
在前面讨论压杆的强度问题时，认为只要满足直杆受压时的强度条件，就
能保证压杆的正常工作。这个结论只适用于短粗压杆。而细长压杆在轴向压力作用下，其破坏的形式与强度问题截然不同。例如，一根长300mm的钢制直杆(锯条)，其横截面的宽度11mm和厚度0.6mm，材料的抗压许用应力等于170MPa，如果按照其抗压强度计算，其抗压承载力应为1122N。但是实际上，约承受4N的轴向压力时，直杆就发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能力从而导致破坏。它明确反映了压杆失稳与强度失效不同。
1907年8月9日，在加拿大离魁北克城14.4Km横跨圣劳伦斯河的大铁桥在施工中倒塌。灾变发生在当日收工前15分钟，桥上74人坠河遇难。原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳所致。
杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构，屋面采用预应力密肋网架结构，密
肋大梁横截面(600mm×1400mm)，屋面采用现浇板，板厚120mm 。2003年2月18日晚19时，当施工到26～28轴时，支模架失稳坍塌，造成重大伤亡事故。
为了说明问题，取如图10.1a所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力F，使杆在直线形状下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，则当杆承受的轴向压力数值不同时，其结果也截然不同。当杆承受的轴向压力数值F小于某一数值Fcr时，在撤去干扰力以后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，如图10.1a、b所示，这种能保持原有的直线平衡状态的平衡称为稳定的平衡；当杆承受的轴向压力数值F逐渐增大到（甚至超过）某一数值Fcr时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图10.1c、d所示，则不能保持原有的直线平衡状态的平衡称为不稳定的平衡。如果力F继续增大，则杆继续弯曲，产生显著的变形，发生突然破坏。
图10.1
上述现象表明，在轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或者压杆失稳。显然压杆是否失稳取决于轴向压力的数值，压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力，用Fcr表示。当压杆所受的轴向压力F小于临界力Fcr时，杆件就能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有稳定性；而当压杆所受的轴向压力F等于或者大于Fcr时，杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。
10.2 临界力和临界应力
10.2.1 细长压杆临界力计算公式——欧拉公式
从上面的讨论可知，压杆在临界力作用下，其直线形状的平衡将由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，此时，即使撤去侧向干扰力，压杆仍然将保持在微弯状态下的平衡。当然，如果压力超过这个临界力，弯曲变形将明显增大。所以，上面使压杆在微弯状态下保持平衡的最小的轴向压力，即为压杆的临界力。经验表明，不同约束条件下细长压杆临界力计算公式——欧拉公式为:
（10.1）
式中μl称为折算长度，表示将杆端约束条件不同的压杆计算长度l折算成两端铰支压杆的长度，μ称为长度系数。几种不同杆端约束情况下的长度系数μ值列于表10.1中。从表10.1可以看出，两端铰支时，压杆在临界力作用下的挠曲线为半波正弦曲线；而一端固定、另一端铰支，计算长度为l的压杆的挠曲线，其部分挠曲线（0.7l）与长为l的两端铰支的压杆的挠曲线的形状相同，因此，在这种约束条件下，折算长度为0.7l。其它约束条件下的长度系数和折算长度可依此类推。
表11.1 压杆长度系数
支承 情况 | 两端铰支 | 一端固定 一端铰支 | 两端固定 | 一端固定 一端自由 |
μ值 | 1.0 | 0.7 | 0.5 | 2 |
挠 曲 线 形 状 | | | | |
| | | | |
10.2.2 欧拉公式的适用范围
1、临界应力和柔度
有了计算细长压杆临界力的欧拉公式，在进行压稳计算时，需要知道临界应力，当压杆在临界力Fcr作用下处于直线临界状态的平衡时，其横截面上的压应力等于临界力Fcr除以横截面面积A，称为临界应力，用σcr表示，即
将式（10.1）代入上式，得
若将压杆的惯性矩I写成
式中i称为压杆横截面的惯性半径。
于是临界应力可写为
（10.2）
上式为计算压杆临界应力的欧拉公式，式中λ称为压杆的柔度（或称长细比）。则： (10.3)
柔度λ是一个无量纲的量，其大小与压杆的长度系数μ、杆长l及惯性半径i有关。由于压杆的长度系数μ决定于压杆的支承情况，惯性半径i决定于截面的形状与尺寸，所以，从物理意义上看，柔度λ综合地反映了压杆的长度、截面的形状与尺寸以及支承情况对临界力的影响。
从式（10.2）还可以看出，如果压杆的柔度值越大，则其临界应力越小，压杆就越容易失稳。
2、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导出的，而应用此微分方程时，材料必须服从虎克定理。因此，欧拉公式的适用范围应当是压杆的临界应力σcr不超过材料的比例极限σp，即：
有
若设λP为压杆的临界应力达到材料的比例极限时的柔度值，即
（10.4）
则欧拉公式的适用范围为：
（10.5）
上式表明，当压杆的柔度不小于λP时，才可以应用欧拉公式计算临界力或临界应力。这类压杆称为大柔度杆或细长杆，欧拉公式只适用于较细长的大柔度杆。从式（10.4）可知，λP 的值取决于材料性质，不同的材料都有自己的E值和σp值，所以，不同材料制成的压杆，其λP也不同。例如Q235钢，σp= 200MPa，E = 200GPa，由（10.4）即可求得，λP=100。
10.2.3 中粗杆的临界力计算—经验公式、临界应力总图
1、中粗杆的临界应力计算公式—经验公式
上面指出，欧拉公式只适用于较细长的大柔度杆，即临界应力不超过材料的
比例极限（处于弹性稳定状态）。当临界应力超过比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压杆的稳定属于弹塑性稳定（非弹性稳定）问题，此时，欧拉公式不再适用。对这类压
杆各国大都采用从试验结果得到经验公式计算临界力或者临界应力。我国在建筑上目前采用钢结构规范(GBJ17-1988)规定的抛物线公式，其表达式为
（10.6）
式中是有关的常数，不同材料数值不同。对Q235钢、16锰钢，
对Q235钢：
(MPa)
对16锰钢： (MPa)
2、临界应力总图
综合压杆按照其柔度的不同，可以分为二类，并分别由不同的计算公式计算其临界应力。
当λ ≥λc时，压杆为细长杆（大柔度杆），其临界应力用欧拉公式
（10.2）来计算；当λ＜λc时，压杆为中粗杆，其临界应力用经验公式（10.6）来计算。如果把压杆的临界应力根据其柔度不同而分别计算的情况，用一个简图来表示，该图形就称为压杆的临界应力总图。图10.2即为某塑性材料的临界应力总图。
图10.2
例10.1 如图10.3所示，一端固定另一端自由的细长压杆，其杆长l = 2m，截面形状为矩形，b = 20 mm、h = 45 mm，材料的弹性模量E = 200GPa 。试计算该压杆的临界力。若把截面改为b = h =30 mm，而保持长度不变，则该压杆的临界力又为多大？
解：一、当b=20mm、h=45mm时
（1）计算压杆的柔度
＞(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)
(2)计算截面的惯性矩
由前述可知，该压杆必在xy平面内失稳，故计算惯性矩
（3）计算临界力
查表10—1得μ = 2，因此临界力为
图10.3
二、当截面改为b = h = 30mm时
（1）计算压杆的柔度
＞
(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)
(2)计算截面的惯性矩
代入欧拉公式，可得
从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后者大于前者。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临
界力。
例10.2 图10.4所示为两端铰支的圆形截面受压杆，用Q235钢制成，材料的弹性模量E=200Gpa，屈服点应力σs=240MPa，，直径d=40mm，试分别计算下面二种情况下压杆的临界力：
（1）杆长l=1.5m；（2）杆长l=0.5m。
解：（1）计算杆长l=1.2m时的临界力
两端铰支因此 μ=1
惯性半径
柔度：＞
(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式) 图10.4
（2）计算杆长l=0.5m时的临界力
μ=1，i=10mm
柔度：＜
压杆为中粗杆，其临界力为
例10.3 某施工现场脚手架搭设的二种，搭设是有扫地杆形式，如图10.5(a)所示，第二种搭设是无扫地杆形式，如图10.5(b)所示。压杆采用外径为48mm，内径为41mm的焊接钢管，材料的弹性模量E = 200GPa,排距为1.8m。现比较二种情况下压杆的临界应力？
解：（1）第一种情况的临界应力
一端固定一端铰支 因此 μ=0.7，计算杆长l=1.8m
惯性半径
柔度：＜
所以压杆为中粗杆，其临界应力为
