一、边坡稳定性计算方法
在边坡稳定计算方法中，通常采用整体的极限平衡方法来进行分析。根据边坡不同破裂面形状而有不同的分析模式。边坡失稳的破裂面形状按土质和成因不同而不同，粗粒土或砂性土的破裂面多呈直线形；细粒土或粘性土的破裂面多为圆弧形；滑坡的滑动面为不规则的折线或圆弧状。这里将主要介绍边坡稳定性分析的基本原理以及在某些边界条件下边坡稳定的计算理论和方法。
（一）直线破裂面法
所谓直线破裂面是指边坡破坏时其破裂面近似平面，在断面近似直线。为了简化计算这类边坡稳定性分析采用直线破裂面法。能形成直线破裂面的土类包括：均质砂性土坡；透水的砂、砾、碎石土；主要由内摩擦角控制强度的填土。
图 9－1为一砂性边坡示意图，坡高 H ，坡角 β ，土的容重为 γ ，抗剪度指标为 c 、 φ 。如果倾角 α 的平面 AC 面为土坡破坏时的滑动面，则可分析该滑动体的稳定性。
沿边坡长度方向截取一个单位长度作为平面问题分析。
图9-1 砂性边坡受力示意图
已知滑体 ABC 重 W ，滑面的倾角为 α ，显然，滑面 AC 上由滑体的重量 W= γ（Δ ABC）产生的下滑力T和由土的抗剪强度产生的抗滑力Tˊ分别为：
T=W · sina
和
则此时边坡的稳定程度或安全系数 可用抗滑力与下滑力来表示，即
为了保证土坡的稳定性，安全系数 F s 值一般不小于 1.25 ，特殊情况下可允许减小到 1.15 。对于 C=0 的砂性土坡或是指边坡，其安全系数表达式则变为
从上式可以看出，当 α =β时，F s 值最小，说明边坡表面一层土最容易滑动，这时
当 F s =1时，β=φ，表明边坡处于极限平衡状态。此时β角称为休止角，也称安息角。
此外，山区顺层滑坡或坡积层沿着基岩面滑动现象一般也属于平面滑动类型。这类滑坡滑动面的深度与长度之比往往很小。当深长比小于 0.1时，可以把它当作一个无限边坡进行分析。
图 9-2表示一无限边坡示意图，滑动面位置在坡面下H深度处。取一单位长度的滑动土条进行分析，作用在滑动面上的剪应力为,在极限平衡状态时，破坏面上的剪应力等于土的抗剪强度，即
得
式中 N s =c/ γ H 称为稳定系数。通过稳定因数可以确定 α 和 φ 关系。当 c=0 时，即无粘性土。 α =φ ，与前述分析相同。
二 圆弧条法
根据大量的观测表明，粘性土自然山坡、人工填筑或开挖的边坡在破坏时，破裂面的形状多呈近似的圆弧状。粘性土的抗剪强度包括摩擦强度和粘聚强度两个组成部分。由于粘聚
力的存在，粘性土边坡不会像无粘性土坡一样沿坡面表面滑动。根据土体极限平衡理论，可以导出均质粘这坡的滑动面为对数螺线曲面，形状近似于圆柱面。因此，在工程设计中常假定滑动面为圆弧面。建立在这一假定上稳定分析方法称为圆弧滑动法和圆弧条分法。
1. 圆弧滑动法
1915年瑞典彼得森（ K.E.Petterson ）用圆弧滑动法分析边坡的稳定性，以后该法在各国得到广泛应用，称为瑞典圆弧法。
图 9 － 3 表示一均质的粘性土坡。 AC 为可能的滑动面， O 为圆心， R 为半径。假定边坡破坏时，滑体 ABC 在自重 W 作用下，沿 AC 绕 O 点整体转动。滑动面 AC 上的力系
有：促使边坡滑动的滑动力矩 M s =W · d ；抵抗边坡滑动的抗滑力矩，它应该包括由粘聚力产生的抗滑力矩 M r =c · AC · R ，此外还应有由摩擦力所产生的抗滑力矩，这里假定 φ ＝ 0 。边坡沿 AC 的安全系数 Fs 用作用在 AC 面上的抗滑力矩和下滑力矩之比表示，因此有
这就是整体圆弧滑动计算边坡稳定的公式，它只适用于 φ ＝ 0 的情况。 图9-3 边坡整体滑动
2. 瑞典条分法
前述圆弧滑动法中没有考虑滑面上摩擦力的作用，这是由于摩擦力在滑面的不同位置其方向和大小都在改变。为了将圆弧滑动法应用于 φ ＞ 0 的粘性土，在圆弧法分析粘性土坡稳定性的基础上，瑞典学者 Fellenius 提出了圆弧条分析法，也称瑞典条分法。条会法就是将滑动土体竖向分成若干土条，把土条当成刚塑体，分别求作用于各土条上的力对圆心的滑动力矩和抗滑力矩，然后按式（ 9-5 ）求土坡的稳定安全系数。
采用分条法计算边坡的安全系数 F ，如图 9 － 4 所示，将滑动土体分成若干土条。土条的宽度越小，计算精度越高，为了避免计算过于繁琐，并能满足设计要求，一般取宽为 2 ～ 6m 并应选择滑体外形变休和土层分界点作为分条的界限。于任意第 i 条上的作用力如下。
(1)土条的自。其中 γ 为土的容得， 为土条的断面面积。将 沿其断面积的形心作用至圆弧滑面上并分解成垂直滑面的法向分力 和切于滑面的切向分力 ，由图 9 － 4 （ b ）可知：
显然， 是推动土体下滑的力。但如果第 i 条们于滑弧圆心铅垂线的载侧（坡脚一边），则 起抗滑作用。对于起抗滑作用的切向分力采用符号 T ′表示。因 作用线能过滑弧圆心 O 点力矩为零，对边坡不起滑动作用，但 决定着滑面上抗剪强度的大小。
(2)滑面上的抗滑力 S ，方向与滑动方向相反。根据库仑公式应有 S=N i tanφ+cl i 。式中 l i 为第 i 条的滑弧长。
图9-4 瑞典条分法
(3)土条的两个侧面存在着条块间的作用力。作用在 i 条块的力，除重力 外，条块侧面 ac 和 bd 作用有法向力 P i 、 P i+1 ，切向力 H i 、 H i+1 。如果考虑这些条间力，则由静力平衡方程可知这是一个超静定问题。要使问题得解，由两个可能的途径：一是抛弃刚体平衡的概念，把土当做变形体，通过对土坡进行应力变形分析，可以计算出滑动面上的应力分布，因此可以不必用条分法而是用有限元方法。另一途径是仍以条分法为基础，但对条块间的作用力作一些可以接受的简化假定。
Fellenius 假定不计条间力的影响，就是将土条两侧的条件力的合力近似地看成大小相等、方向相反、作用在同作用面上。实际上，每一土条两侧的条间力是不平衡的，但经验表明，土条宽度不大时，在土坡稳定分析中，忽略条间力的作用对计算结果的影响不显著。
将作用在各段滑弧上的力对滑动圆心取矩，并分别将抗滑作用、下滑作用的力矩相加得出用在整个滑弧上的抗滑力矩以及滑动力矩的总和，即
将抗滑力矩与下滑力矩之比定义为土坡的稳定安全系数，即
这就是瑞典条分法稳定分析的计算公式。该法应用的时间很长，积累了丰富的工程经验，一般得到的安全系数偏低，即偏于安全，故目前仍然是工程上常用的方法。
（三）毕肖普法
从前述瑞典条分法可以看出，该方法的假定不是非常精确的，它是将不平衡的问题按极限平衡的方法来考虑并且未能考虑有效应力下的强度问题。随着土力学学科的不断发展，不少学者致力于条分法的改进。一是着重探索最危险滑位置的规律，二是对基本假定作些修改和补充。但直到毕肖普（ A.N.Bishop ）于 1955 年担出了安全系数新定义，条分法这五方法才发生了质的飞跃。毕肖普将边坡稳定安全系数定义为滑动面上土的抗剪强度 τ f 与
实际产生的剪应力 τ 之比，即
（9-7）
这一安全系数定义的核心在于一是能够充分考虑有效应力下的抗剪总是；二是充分考虑了土坡稳定分析中土的抗剪强度部分发挥的实际情况。这一概念不公使其物理意义更加明确，而且使用范围更广泛，为以后非圆弧滑动分析及土条分界面上条间力的各种考虑方式提供了有得条件。
由图 9 － 5 所示圆弧滑动体内取出土条 i 进行分析，则土条的受力如下：
1. 土条重 W i 引起的切向反力 T i 和法向反力 N i ，分别作用在该分条中心处
2. 土条的侧百分别作用有法向力 P i 、 P i+1 和切向力 H i 、 H i+1 。
图9-5 毕肖普法条块作用力分析
由土条的竖向静力平衡条件有 ∑ F z ，即
（9-8）
当土条未破坏时，滑弧上土的抗剪强度只发挥了一部分，毕肖普假定其什与滑面上的切向力相平衡，这里考虑安全系数的定义，且ΔH i =H i+1 -H i 即
（9-9）
将（ 9 － 9 ）式代科（ 9 － 8 ）式则有
令
（9-10）
则
(9-11)
考虑整个滑动土体的极限平衡条件，些时条间力 P i 和 H i 成对出现，大小相等、方向相反，相互抵消。因此只有重力 W i 和切向力 T i 对圆心产生力矩，由力矩平衡知
(9-12)
将（ 9 － 11 ）式代入（ 9 － 9 ）式再代入（ 9 － 12 ）式，且 d i =Rsinθ i ，此外，土条宽度不大时， b i =l i cosθ i ，经整理简化可行毕肖普边坡稳定安全系数的普遍公式
(9-13)
式中 ΔH i 仍是未知量。毕肖普进一步假定 ΔH i =0 于是上式进一步简化为
(9-14)
如果考虑滑面上孔隙水压力 u 的影响并采用有效应力强度指标，则上式可改写为
(9-15)
从式中可以看出，参数 m θi 包含有安全系数 F s ，因此不能接求出安全系数，而需采用试算法迭代求解 F s 值。为了便于迭代计算，已编制成 m θ～θ 关系曲线，如图 9 － 6 所
示。
试算时，可先假定 F s ＝ 1.0 ，由图 9 － 6 查出各 θ i 所对应的值。代入（ 9 － 14 ）式中，求得边坡的安全系数 F s ′。若 F s ′与 F s 之差大于规定的误差，用 F s ′查 m θi ，再次计算出安全系数 F s 值，如是反复迭代计算，直至前后两次计算出安全系数 F s ′值，如是反复迭代计算，直至前后两次计算的安全系数非常接近，满足规定精度的要求为止。通常迭代总是收敛的，一般只要 3 ～ 4 次即可满足精度。
