知识点10：压杆稳定
一、弹性平衡稳定性的概念
１．弹性体保持初始平衡状态的能力称为弹性平衡的稳定性。
２．受压杆件保持初始直线平衡状态的能力称为压杆的稳定性。
二、压杆的临界力
１．两端铰支细长压杆欧拉〔Euler〕临界力公式为。欧拉临界力公式只适用于小变形、线弹性范围内。
２．在临界状态两端铰支细长压杆的弹性曲线方程为一个半波正弦方程：。由此利用“形状比较法〞可求得不同约束下细长压杆的临界力。
３．杆端约束对临界力的影响：
〔１〕不同杆端约束的压杆的临界力，可用解压杆的挠曲线近似微分方程或用形状比较法求
得。
〔２〕不同杆端约束细长压杆临界力的欧拉公式为，式中μ称为计算长度〔或有效长度〕，μ称为支座系数〔或长度系数〕。当压杆在两个惯性平面内的μ值不同时，计算临界力应取较大的μ值。
〔３〕几种常见杆端约束的支座系数：
４．临界应力与柔度：
细长压杆的临界应力公式为，式中称为压杆的柔度，和压杆的长度、约束情况、截面形状及尺寸相关。
三、压杆的分类与临界应力总图
１．柔度的分界值
；
式中a，b是与材料性质相关的常数，单位为ＭＰa。
２．压杆的分类
压杆根据其柔度的大小而分类，计算压杆临界应力时应先判断是何类压杆，然后选择相应的临界应力公式。压杆可分为以下三类：
〔１〕细长杆〔λ≥λP〕：计算临界应力用欧拉公式〔欧拉双曲线公式〕；
〔２〕中长杆〔λs＜λ＜λP〕：计算临界应力用经历公式σcr＝a－bλ〔雅辛斯基直线公式〕；
〔３〕粗短杆〔λ≤λs〕：计算临界应力用压缩强度公式σcr＝σs〔或σb〕。
３．临界应力总图
临界应力总图如图10－1所示。
四、压杆稳定性的校核
１．进展压杆稳定性的校核时，通常用平安系数法。在建筑等行业常用折减系数法。
２．工程中，考虑到压杆的初曲率、载荷的偏心、材料的不均匀及失稳破坏的突发性等因素对压杆临界力的影响，因而规定的稳定平安系数大于强度平安系数。
３．对于截面有局部削弱〔如油孔等〕的压杆，除校核稳定性外，还须对局部削弱处进展强度校核，其计算面积应是扣除孔洞削弱后的实际面积〔称为净面积〕。
４．压杆的稳定性是对压杆整体而言的，截面的局部削弱，对临界力影响不大，故可不必考虑。
a．平安系数法
为了保证压杆有足够的稳定性，应使其工作压力小于临界力，或使其工作应力小于临界应力，即
Ｆ＜Ｆcr 或 σ＜σcr
用平安系数来校核压杆稳定性，其稳定性条件为
或
式中nW为压杆实际稳定平安系数，［nW］为规定的稳定平安系数。
*b．折减系数法
用折减系数法进展压杆稳定性校核时，引入稳定性的许用应力，压杆的稳定条件为：
σ≤［σW］
［σW］常用根本许用应力［σ］来表示，即
［σW］＝ϕ［σ］
式中ϕ为与λ相关且小于等于１的系数，称为折减系数，计算时可查有关手册。
五、提高压杆稳定性的措施
提高压杆稳定性的措施可以从改善支承情况、减小压杆长度〔或增加中间约束〕、选择合理的截面形状、使压杆在各弯曲平面内的柔度相等〔等稳定性构造〕及合理选择材料等方面考虑。
六、解题思路
计算压杆的临界应力〔临界力〕时，可按照以下步骤进展：
１．根据压杆的杆端约束情况确定支座系数μ值，计算出该压杆的柔度。
２．将压杆的柔度与压杆分类的界限柔度值λP和λs比较，以确定该压杆是何类杆，选取相应的临界应力公式。
３．计算压杆的临界应力〔临界力〕。
４．本卷须知：
〔１〕切忌不判断压杆的类别，直接用欧拉临界应力公式计算。
〔２〕当压杆分类的界限柔度值λP及λs值未知时，应由材料数据计算出。
〔３〕计算临界应力时，采用未削弱前的横截面面积和惯性矩。
〔４〕当压杆在各弯曲平面内的支座系数及惯性矩不同时，应分别计算压杆在各弯曲平面内的柔度，选用较大的柔度计算压杆的临界应力。
〔５〕当压杆不是粗短杆且又没有局部削弱时，就不需再校核其压缩强度。
七、难题解析
【例1】如图10-1〔a〕所示构造，由刚性杆AB与弹性杆CD组成。在铅垂载荷F作用下，刚性杆AB在竖直状态保持平衡，试确定载荷F的临界值。杆CD各截面的拉压刚度均为EA。
图10-1
解：1. 问题分析
使系统发生微偏离，如图10-1〔b〕所示。
设杆端A的水平位移为f，则由图10-1〔b〕可以看出，杆CD的轴向变形为
根据胡克定律，并考虑上述关系式，得杆CD的轴力为
〔a〕
于是由平衡方程即可确定临界载荷值。
2．临界载荷确实定
在临界载荷作用下，系统可在微偏离状态保持平衡，平衡方程为
将式〔a〕代入上式，得临界载荷值为。
【例2】*机器连杆如图10-2所示，截面为工字形，其，，。材料为Q275钢，连杆所受的最大轴向压力，取规定的稳定平安系数。试校核压杆的稳定性。
图10-2
解：连杆失稳时，可能在*-y平面内发生弯曲，这时两端可视为铰支；也可能在*-z平面内发生弯曲，这时两端可视为固定。此外，在上述两平面内弯曲时，连杆的有效长度和惯性矩也不同。故应先计算出这两个弯曲平面内的柔度，以确定失稳平面，再进展稳定校核。
1. 柔度计算
在*-y平面内失稳时，截面以z轴为中性轴，柔度
在*-z平面内失稳时，截面以y轴为中性轴，柔度
因，说明连杆在*-y平面内稳定性较差，故只需校核连杆在此平面内的稳定性。
2. 稳定性校核
由于，属中长杆，需用经历公式。现按经历公式算得临界应力为
则临界力为
又工作压力
代入公式得
故连杆的稳定性足够。
