第4章 板的稳定
4.1 板的稳定微分方程
板按照其厚度可分为厚板、薄板和薄膜三种。将板的厚度t与板幅面的最小宽度b相比，如果t/b＞1/5～1/8时，板被称为厚板；当1／80～1／100＜t/b＜1/5～1/8，这个范围内的板称为薄板；而当t/b＜1/80～1/100时，板被称为薄膜。薄膜没有抗弯刚度，完全靠薄膜张力来支承横向荷载作用。薄板不仅具有抗弯刚度，还可能存在薄膜张力。
薄板在横向荷载作用下，如果产生的挠度w ≤t/5，则属于薄板的小挠度弯曲问题。此时，薄
板中的物理方程和内力表达式与弹性力学中平面应力问题的物理方程和内力表达式相同。薄板中于薄板上下表面等距离的面称为中面。当薄板在中面内承受平行于中面的荷载而失稳时，也可以根据静力平衡准则来确定板的临界荷载。下面根据小挠度理论给出薄板的弹性稳定微分方程 图4－1
（4.1）
式中：，为单位宽度板的抗弯刚度。式（4.1）是一个以挠度为未知量的常系数线性四阶偏微分方程。
板的边界条件表达式：
1）简支边：挠度w＝0，弯距＝0，即 ，由于板的边界各点挠度均为零，则其曲率，故。
2）固定边：挠度w＝0，斜率。
3）自由边：弯距=0，即 ；剪力；扭矩＝0，均匀分布的扭矩等效于均匀分布的剪力，与可合并为。
4.2 受压简支板的弹性失稳
4.2.1 单向均匀受压简支板的弹性失稳
如图4－2所示四边简支矩形板，板的中面上作用有、＝0、＝0；因此，板的弹性稳定微分方程式（4.1）为
图4－2
（4.2）
根据板的边界条件，当
和 时，w＝0、、；
和 时，w＝0、、.
符合这些边界条件的板的挠曲面可用二重三角级数表示为
（4.3）
式中：m和n分别是板失稳时，在x和y方向的半波数， 为各项的待定常数。
对w微分两次和四次后代入偏微分方程，得
（4.4）
由于和均不为零，也不为零，否则板仍然为平面平衡状态，所以
解得 （4.5）
式中：. 只有当n=1时，式（4.5）有最小值，所以有意义的临界荷载为 （4.6）
或 （4.7）
式中：K — 为稳定系数，. （4.8）
由，可得，K=4，则
要使上式成立， 必须是整数，如果 不是整数，则
或
计算临界荷载时，m的取值应使K值最小。当n=1时，即在y方向成一个半波的条件下，K随m和a / b成曲线关系，如图4－2所示。
板的长宽比在时，m=1，板以一个半波的形式失稳；长宽比在与之间时，m=2，板以两个半波的形式失稳；长宽比在与之间时，m=3，余类推。而当长宽比时，K值已非常接近于最小值。
由式（4.6）可得板的临界应力
（4.9）
由式（4.9）可知，单向均匀受压板的临界应力与板的宽厚比的平方成反比，而与板的长度
无关。对于单向均匀受压的矩形板，当加载边为简支，而非加载边为各种不同的支承条件时，稳定系数K的最小值如表4－1。
表4－1
序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
非加载边的支承条件 | 一边简支 一边自由 | 一边固定 一边自由 | 两边简支 | 一边简支 一边固定 | 两边固定 |
稳定系数K | 0.425 | 1.280 | 4.000 | 5.420 | 6.970 |
| | | | | |
只有当时，同时边界条件由简支变为固定，稳定系数K才会有较大提高。通过上述讨论可知，对于单向均匀受压的狭长板，用增加横向加劲肋来改变，从而提高稳定系数的做法并无明显的效果；如果把加劲肋的间距取得小于2b又很不经济。而对于很宽的薄板，如果采用纵向加劲肋以减少板的宽度b倒是有效的。例如在板的纵向中心加一条加劲肋时。
4.2.2 能量法计算简支板的弹性失稳
四边简支的均匀受压板，计算公式中每一项都有，因此，可以从各项中将其分离出来，这样用平衡法求解很方便；而当板的支承条件不是简支时，三角函数则无法分离，这时就需要用能量法来求解。
1）板的总势能
已知 ，则弹性应变能
外力势能
2）瑞利—李兹法
假设符合板的几何边界条件的挠曲面函数为
将此式代入总势能公式中，经积分后，根据势能驻值原理建立一组的线性代数方程组。其非零解的条件是方程组的系数行列式为零，即可得板的稳定方程。
3）伽辽金法
已知板的平衡偏微分方程为，需假定符合板的几何与自然边界条件的挠曲面函数，现假定挠曲面函数为
可得伽辽金方程组
上面方程组经积分后可得到的线性方程组，为得到它们的非零解，其系数行列式应为零，则可得稳定方程，由稳定方程可解的临界荷载。
4.3 均匀受剪简支板的弹性失稳
均匀受剪的四边简支板如图4－4所示，在其对角线方向因受压而失稳，失稳时板的波长与另一对角线方向的拉力有关。对于长板，失稳时的半波长度约为板宽的1.25倍。当采用能量法求解剪切临界荷载时，板的挠曲面函数可用二重三角函数表示。但是对于均匀受剪的四边简支板，可以利用均匀受剪四边简支的正方形板来求解临界荷载的近似值。 图4－4
如采用伽辽金法求解时，板的中面力，而。板的平衡偏微分方程为
设满足几何和自然边界条件的挠曲面函数为
（4.10）
伽辽金方程组为
（4.11a）
（4.11b）
将式（4.10）的偏微分代入式（4.11）经积分后得到
板的失稳条件是
解得
这个均匀受剪简支板的剪切失稳临界荷载计算结果与精确解相比，误差为19％；如果采用更多项的挠曲面函数，则可提高解的精确度。
经过对矩形板更精确的理论分析，可得
式中：为剪切失稳系数，图4－5给出了均匀受剪矩形板的剪切稳定系数。
对于四边简支的受剪板，剪切稳定系数
当时，
当时，
对于四边固定的受剪板，剪切稳定系数
当时，
当时， 图4－5
4.4 单向受压简支板的失稳后强度
以上研究的板的失稳都是建立在小挠度理论基础上的，即认为板在失稳时的挠度远小于其厚度，忽略了板失稳时中面上的薄膜拉力。如果板的支承构件刚度较大，板的临界应力虽然不高，但失稳后并不破坏。板中的应力将重新分布，并产生薄膜拉力，使板的承载能力远远超过其临界荷载，这种现象被称为失稳后强度。此时，板的挠度与板的厚度相比已不是一个小量，所以需按大挠度理论来求解。
4.4.1 平衡偏微分方程
薄板失稳后，板的中面产生了数值远大于其厚度的挠度，外荷载作用下中面力已不再是常量，在非荷载作用的方向也同时产生了中面力，因此需按大挠度理论研究薄板的失稳后强度。如图6－6所示，从板中取出的微元体dxdyt上作用着中面力、和,
由这些中面力在x方向的平衡条件,忽略其中的高阶微量后可得
（4.12）
同理，由这些中面力在y方向的平衡条件可得
（4.13）
由这些中面力在z方向的平衡条件可得 图4－6
（4.14）
由式（4.14）可见大挠度理论的平衡方程与小挠度理论平衡方程式（4.1）的形式相同，但它是变系数的。已知中面力、和都包括了作用于中面的外荷载和因为板挠曲而产生的薄膜力，所以都是变量。这样式（4.12）、式（4.13）和式（4.14）三个方程中有了四个因变量，属于变系数偏微分方程，并需要根据板的变形条件补充一个变形协调方程。
4.4.2 变形协调方程
薄板微元体中面的应变可以用双向受力板的中面力表示
（4.15）
这样微元体有三个平衡方程、三个几何关系式和三个物理方程，共有九个未知量，经整理可得中面的应变与挠度的变形协调方程
（4.16）
4.4.3 薄板的大挠度方程组
为了简化计算过程，应设法减少未知量，可引入满足中面力平衡方程的应力函数。当和为图4－4所示的拉力时，则
； ；
将上面表达式代入平衡方程和变形协调方程中，则可得到以挠度和应力函数为变量的力平衡方程和变形协调方程
（4.17）
（4.18）
式（4.17）和式（4.18）称为薄板的大挠度方程组。
4.4.4 单向受压简支板的失稳后强度
单向均匀受压四边简支矩形板如图4－7所示，现研究其失稳后的强度。矩形板在平面外的边界条件为：当和时，和；当和时，和。板在发生失稳后会产生应力重新分布，故在研究板的失稳后强度时，还要
图4－7
考虑在板自身平面内的边界条件。为此假设：板失稳后其外形不变，及板的边缘仍保持直线；沿板的四周不产生剪应力，即；和的两条边在y方向可以自由移动。在上述假设条件下来求解板的失稳后强度，假设符合板边界条件的挠曲面函数为
将上式代入变形协调方程式（4.18），即
（4.19）
式（4.19）的全解由特解为Fp和通解为Fc两部分组成，其特解为
将上式代入式（4.19），可得
，。由此可得
（4.20）
通解由式（4.18）的齐次方程求得，即相当于，处在板失稳前的平衡状态。此时板的中面力，和；可得，积分得。则式（4.19）的全解为4
（4.21）
应力函数与板的最大挠度有关，因此，可以通过式（4.17）用伽辽金法求解板的挠度。建立伽辽金方程如下
（4.22）
将挠曲面函数和应力函数F代入式（4.22），经积分后可得
