摘要：某电站为一待建电站，位于高山峡谷区，河道比降较大。其下游为某城市，一旦大坝溃决，将对人民的生命财产安全造成极大的威胁。为此，进行溃坝洪水计算，可预测溃坝后，洪水的淹没范围和程度，以便提早采取相应的措施，减少损失。
关键词：溃坝; 洪水; 预测; 不恒定流
1 前言
水电是洁净能源，是西部地区重要的能源资源，开发西部水电，实现“西电东送”是实施“ 西部大开发”战略的重要举措，也是西部地区脱贫致富的重要途径之一。但水电站往往处于深山峡谷，甚至高地震区中，水电站的溃决将造成巨大的损失，为了预估溃坝洪水带来的影响，并提早采取相应的措施，将洪水灾害造成的影响减少到最小程度，有必要进行溃坝洪水计算。
本次计算电站地处青藏高原东南缘，区域内地势较高，平均海拔在4 000m左右。且电站坝址区覆盖层深厚，构造裂隙较发育，是我国西部著名的强地震带。电站下游主要的城镇为某城市，该城为我国西部少数民族集居区，经济以农牧业为主。
2 数学模型
2.1 模型结构
本次计算采用美国国家气象局编制的溃坝洪水预报模型DAMBRK模型［１］。该模型由 三部分组成：1）大坝溃口形态描述。用于确定大坝溃口形态随时间的变化，包括溃口底宽、溃口顶宽、溃口边坡及溃决历时。2）水库下泄流量的计算。3）溃口下泄流量向下游的演进。
2.1.1 溃口形态确定
溃口是大坝失事时形成的缺口。溃口的形态主要与坝型和筑坝材料有关。目前，对于实际溃坝机理仍不是很清楚，因此，溃口形态主要通过近似假定来确定。考虑到模型的直观性、通用性和适应性，一般假定溃口底宽从一点开始，在溃决历时内，按线性比率扩大，
直至形成最终底宽。若溃决历时小于10分钟，则溃口底部不是从一点开始，而是由冲蚀直接形成最终底宽。溃口形态描述主要由四个参数确定：溃决历时（τ），溃口底部高程（hbm），溃口边坡（z）。由第一个参数可以确定大坝溃决是瞬溃还是渐溃。由后面三个参数可以确定溃口断面形态为矩形、三角形或梯形及局部溃或全溃。
2.1.2 水库下泄流量计算
水库下泄流量由两部分组成，一是通过溃口下泄流量Qb，二是通过泄水建筑物下泄的流量 Qs，即
Q=Qb＋Qs
漫顶溃口出流由堰流公式计算
Qb=C1(h－hb)1.5+C2(h－hb)2.5 |
|
其中 C1=3.1biCvKS，C2=2.45ZCvKS |
当tb≤τ时,hb=hd－(hd－hbm)·tb/τ |
bi=b·tb/τ |
当tb>τ时，b=hbm |
bi=b |
|
行进流速修正系数Cv=1.0＋0.023Q′2/［B′2d(h′－hbm)2(h′－ hb)］
| Ks=1.0 | 当(h′t－h′b)/(h′－h′b)≤0.67 |
KS=1.0－27.8［(h′t－h′b)/(h′－h′b)－0.67］3 | 当(h′t－h′b)/ (h′－ h′b)>0.67 |
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式中hb为瞬时溃口底部高程；hbm为终极溃口底高程；hd为坝顶高程；hf为漫顶溃坝时的水位；h为库水位高程；bi为瞬时溃口底宽；b为终极溃口底宽；tb为溃口形成时间；Cv为行进流速修正系数（Brater1959）；Q为水库总下泄流量；Bd为坝址处的水库水面宽度；Ks为堰流受尾水影响的淹没修正系数（Venard1954）；ht为尾水位（靠近坝下游的水位）。
尾水位（ht）由曼宁公式计算，即
Q=(1.49/n)·S1/2A5/3/B2/3
式中n为曼宁糙率系数；A为过流断面积；B为过流断面的水面宽；S为能坡。
管涌溃口出流由孔口出流公式计算
Qb=4.8Ap(h-h′)1/2
式中Ap=［2bi+4Z(hf-hb)］(hf-hb)。
若ht≤2hf-hb时,h′= hf，否则ht>2hf-hb时,h′= ht
溢洪道下泄流量（Qs）计算如下
Qs=CsLs(h-hs)1.5+CgAg(h-hg)0.5+CdLd(h-hd)1.5+Qt
式中Cs为无控制的溢洪道流量系数；hs为无控制的溢洪道堰顶高程；Cg为有闸门的溢洪道流量系数；hg为有闸门的溢洪道中心线高程；Cd为漫坝水流的流量系数；Ls为溢洪道长度；Ag为闸门过流面积；Ld为坝顶长度减Ls；Qt为与水头无关的固定下泄流量项。
水库总出库流量过程是水库蓄水和入库流量共同作用的结果，本模型采用水文蓄量法来推求水库总出库流量，程如下
I-Q=ds/dt
式中I为入库流量；Q为总出库流量；ds/dt为水库蓄量随时间变化率。
将上述方程用有限差分法离散可得
（Ii+Ii+1）/2-（Qi+Qi+1）/2 =△s/△t
其中上标i和i+1分别表示t和t+△t时刻变量的值。
△s=（ASi+1+ASi）（hi+1-hi）/2
代入有关公式得到总的离散方程为
（ASi+1+ASi）（hi+1-hi）/△t+ C1(h－hb)1.5+C2(h－hb)2.5+ CsLs(h-hs)1.5+
CgAg(h-hg)0.5+CdLd(h-hd)1.5+Qt+Qi-Ii+1-Ii=0
上述方程可用Newton—Raphson迭代法求解，得到水位h和下泄流量Q。
2.1.3 溃坝洪水向下游演进
本模型采用圣维南方程来描述洪水波向下游的传播，其方程形式如下
式中A为有效过流面积；A0为非有效过流面积（滩地蓄水面积）；q为沿河道单位距离的侧向入流或出流（“+”表示入流，“—”表示出流）；Sf为摩阻比降；由曼宁公式求出：Sf=n2|Q|Q/2.21A2R4/3;Se为局部损失（扩散—收缩）比降；Se=K△(Q/A)2/2g△x。
圣维南方程为双曲型偏微分方程组，目前尚无法求出其解析解。应用中通常将其离散为代数方程，然后求出其数值解。本模型中，变量的时间差分采用中心差分，即
变量的空间差分采用有加权系数θ的向前差分
变量本身的近似表示如下
将上述离散式代入圣维南方程中，得到两个非线性方程。对N个断面的河道，有（N-1）个河段，可建立（2N—2）个方程。给定上、下游边界，共同组成2N个非线性方程，利用Newton Raphson法迭代求解方程组，可求出任意时刻各断面有关的水力要素。
2.1.4 初始条件和边界条件
初始条件：在求解上述不恒定流方程时，为了使方程的解尽快收敛，必须给定一个适当的初始值，即时 段初（t=0），各断面的水位（h）或流量（Q）。本模型给定恒定非均匀流作为河道初始流条件。该初始值可由下列恒定流方程求出
Qi=Qi-1+qi-1△xi-1 i=2,3,4…N
式中Qi为坝址处的恒定流量，qi-1为沿河断面间 莫玿内有支流汇入的单宽旁侧入流量。
对于给定的上游初始流量条件及下游末端断面的确定的起始水位，用Newton—Raphson法很容易迭代求解上述方程，得到各断面的初始水位和流量。
对于山区河流，由于断面比降较大，某些断面可能会出现急流、跌水等复杂的流态。利用上述恒定流方程求解时，可能会出现迭代不收敛的情况，使得计算无法继续。为了解决这种问题，在推求水面线时，对可能会出现以上复杂流态的断面，采用临界流方程，用临界流水深作为该断面的水位初值。临界流方程可表示为
F3/B-Q2/g=0
当下断面为急流，上断面为缓流时，取上断面水位为临界水位。上述方程为超越方程可用对分法求。
上游边界条件：可用水库的出流过程线Q(t)。
下游边界条件：可用下游断面的水位流量关系曲线。
若最下游的流量由河道控制，可用满宁公式给出其水位流量关系
若最下游流量由建筑物控制，则其关系式可表示为
