毕业论文开题报告
信息与计算科学
几何背景分析在高等代数课程学习中的作用
一、选题的背景、意义
1．选题的背景
我们知道高等代数与解析几何之间的重复现象，在高等代数、解析几何与近世代数、微分方程之间又何尝没有。因此统筹考虑代数类与几何类的课程体系改革是必要的又是可能的。高代与近代之间是关系非常紧密、内容也有重叠。如多元多项式，Jordan标准形等。这些内容在高代中论述相当之麻烦，而在近代中可简捷明了论述清楚[1]。这样在高代中弃之不讲，而放在近世代数中可得到事半功倍之效。本世纪的微分几何代表Cartan（卡当）、陈省身所研究的问题经常是整体的、大范围的，故常称为整体微分几何。他们使用的研究方法，如活动标架法，外微分形式等与代数理论关系可以说是形影不离，微分几何在一定意义上正在代数化。虽然大学微分几何课主要讲经典微分几何，以往的教法很少与代数联系。现在则尽量利用代数语言与方法，如用非代数方法讲解结构方程与基本定理；用对称变换讲解主方向，主曲率，Gauss曲率与平面曲率等。这些讲法不仅和高等代数、解析几何、近世代数紧密联连，而且更贯
穿了现代微分几何的思想与方法[2]。当然这也要求高等代数与解析几何课更新有关内容与之相适应。这样就强化了微分几何与高等代数、解析几何、近世代数的联系，同时，也使古典微分几何更现代化。
2．选题的意义
从数学发展史上看，代数与几何关系已密不可分，相互依赖，早在欧式几何原本那里，包括几何数论和初等代数一些内容，几何与代数不加划分，几何学几乎代表了全部数学，事实上英文书名为《Elements》。故应译为《原本》，而《几何原本》“几何”二字由利玛窦与徐光启在1607年翻译为中文时所添加上去。十四世纪初，人们承认原理数后就有了用数表示线段的长度，二、三维图形的面积、体积等，阿拉伯人用代数方法解方程，然后用几何图形说明所做步骤的原理。这种做法展示了代数与几何之并行不悖，这种并行性的进一步，充分发扬并导致解析几何的产生[3]。诚然，解析几何是以代数为工具来研究几何问题，因而我们
可本着“工欲善其事，必先利其器”的原则，我们可否先讨论高等代数，而后用之解决解析几何问题？从本质上看，解析几何中的二次曲线，二次曲面的分类与线性代数中的二次型的分类可的说是一回事。至今解析几何课一直先于或同时与高等代数开设。教师教得费心，学生学得辛苦。例如，解析几何中的共线共面，二次曲面的导向，渐近方向，主方向，共轭方向等，有了线性代数知识后，介绍起
来异常简单。其实这些内容只不过是低维空间的线性代数而已。单在解析几何课中学这些概念很难深透。试想把解析几何中有关线性代数内容去掉后，还需要多常时间讲解析几何？【4】
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题
2.1 高等代数和解析几何
2.1.1 高等代数的组成
高等代数是大学数学科学学院（或数学系，应用数学系）最主要的基础课程之一。高等代数课程的教学内容包括三个方面：线性代数，多项式理论，群、环、域的基础概念。线性代数占的比重最大，它研究线性空间及其线性映射（包括具有度量的线性空间及与度量有关的线性变换）。多项式理论是研究一元和多元多项式环。群、环、域的基本概念是紧密结合多项式理论和线性变换（包括与度量有关的线性变换）理论，水到渠成地介绍一元（多元）多项式环、矩阵环、线性变换环、模p剩余类域、正交群、酉群和辛群【5】。
2.1.2 解析几何的范围
代数几何是数学的一个分支，顾名思义，它把抽象代数的方法，特别是交换代数，与几何的语言和问题糅合在一起．在与复分析，拓扑，数论等有多重联系的现代数学的各个领域中，代数几何占据了中
心位置。代数几何最初研究多个变量的多项式方程组，它并不始于方程求解，而是至少掌握方程组的全部解，以得到某些解，这就把整个数学在概念和技术方面带入了更深远的领域，代数簇是它的最基本的研究对象。而分类问题又是代数几何中的主要研究课题，它起着引导代数几何发展和进步的作用。【5】
2.1.3 高等代数的几何意义
线性代数实际上产生于解析几何，线性代数的许多基本概念和方法都有很强的几何背景，从几何角度来学习线性比较容易理解，其效果比单纯从代数角度来学习更好。几何为代数提供直观背景，代数为几何提供研究方法。数理逻辑是科学研究擅长的思维方式，但人类对几
何图形的直观认识却是与生俱来的，“数形结合”恰恰是联系二者的桥梁。直观的模型，形象的认识，辅以逻辑推理，将有利于数学结论的理解和掌握。我们把通过对几何图形进行观察，根据直观认识的横向迁移来解决其它数学分支相关问题的方法称为几何直观方法[6]
。高等代数是研究线性空间及其上的线性变换的学科，课程中大量的公式、定理、推论都是采用严格的演绎论证方法，抽象程度高，逻辑性强。学生在学习知识时很难深刻理解其中的抽象概念和复杂结论，学习效率不高[4]。利用几何直观方法，把抽象的问题形象化，结合直观的形象对抽象内容加以理解，可以帮助学生理解概念，发现研究思路，有效开展推理、猜想，直至问题解决。因此，在教学中
运用几何直观与演绎论证相结合的方法，不仅是学生学好高等代数的需要，而且对培养学生分析问题的能力和养成科学的思维品质都具有十分重要的意义[7]。 2．2 几何在高等代数中运用的实例
2.2.1 几何在线性方程中的运用【1】
我们用解析几何中直线的相交问题来解决代数中有关线性方程组解的定理以及向量的线性相关性问题可以使代数问题变的很简单，下面我们给出1个例题及其的3种解法。
例1 设111122232333,,a b c a b c a b c ααα⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭
，则三条直线
1112223230,0,0a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++=，其中220,1,2,3i i a b i +≠=，交于一点的充要条件是（ ）
（A ）123,,ααα线性相关 （B ）123,,ααα线性无关
（C ）12312,,,)ααααα秩()=秩( （D ）123,,ααα线性相关，12,αα线性无关
解法一 ：首先，由条件220,1,2,3i i a b i +≠=知，120,0;αα≠≠
三条直线交于一点⇔线性方程组1230x y ααα++=有唯一解⇔3α由{}12,αα唯一表示⇔{}123,,ααα线性相关，且{}12,αα线性无关；
解法二 ：设矩阵123(,),(),x A B X y ααα⎛⎫==-= ⎪⎝⎭
，则三条直线交于一点⇔线性方程组AX B =有唯一解⇔{}123()(|)2,,rank A rank A B ααα==⇔线性相关，且{}12,αα线性无关；
解法三 ：三条直线交于一点⇔线性方程组1230x y ααα++=有唯一解，其中由有解{}123,,ααα⇒线性相关，由有唯一解⇒线性方程组120x y αα+=的解空间为零空间，从而{}12,2rank αα=，得出{}12,αα线性无关；反之，由{}123,,ααα线性相关，且{}12,αα线性无关⇒3α由{}12,αα唯一表示，从而线性方程组1230x y ααα++=有唯一解； 以上题目给出了二维几何空间中的三条直线交于一点的一个充要条件，通过它的求解 可以帮助我们把很多东西总结归纳连起来，比如：
1.用到了线性方程组的三种形式：
常规形式11112211211222221122n n n n m m mn n m
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎪⇔⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=⎩向量形式1122n n x x x αααβ++⋅⋅⋅+=，其中, 1112112122221212,,,,n n n m m mn m a a a b a a a b a a a b αααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==⋅⋅⋅==⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
矩阵形式AX B =，其中 1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A X B a a a x b ⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2.看到了线性方程组111122132112222331132233
000a x a x a a x a x a a x a x a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解的几何背景；
3.通过类比、联想可以得出几何空间3R 中很多几何相关结论的代数判别方法，比如3
R
中四平面111122133142112222332431132233334
411422433440000
a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩交于一点⇔13111
2142321222412343331323443414244,,,a a a a a a a a a a a a a a a αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
线性相关，131112232122123333132434142,,a a a a a a a a a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
线性无关()12344(,,,)3rank rank ααααα⇔⇔=；又比如3R 中一条直线111213142122332400
a x a y a z a a x a y a z a +++=⎧⎨+++=⎩与平面313233340a x a y a z a +++=相交1112131412122232342431323334,,,a a a a a a a a a a a a αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关，且111213121222323313233,,a a a a a a a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
线性无关()12344(,,,)3rank rank ααααα⇔⇔=。 4.通过求解，能熟悉串联代数中的相关命题，比如： 线性方程组1122n n x x x a ααβ++⋅⋅⋅+=，其中
1112112122221212,,,,n n n m m mn m a a a b a a a b a a a b αααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==⋅⋅⋅== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭有唯一解β⇔由{}12,,,n ααα⋅⋅⋅唯一表示{}12,,,,n αααβ⇔⋅⋅⋅线性相关，且{}12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关{}{}1212(,,,,)(,,,)n n rank rank n αααβααα⇔⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇔矩阵方程AX B =，其中
111211121
2222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A X B a a a x b ⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭有唯一解。【1】
