第18卷第4期数学研究与评论V o l.18N o.4 1998年11月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ON N ov.1998
q超几何级数250[a,b;z]的两个基本恒等式及其一些应用Ξ
魏鸿增 张谊宾
(河北师范大学数学系，石家庄050091)
摘 要 本文由有限域上交错矩阵方程X K2ΤX′=0的解数公式得到q超几何级数250的一个基本恒等式，并且用它能直接把一些特殊矩阵的这类方程的解数由函数250表出.另
外还用250的一个恒等式得出F q上m阶特殊矩阵的个数.
关键词 q超几何级数，矩阵方程，特殊矩阵.
分类号 AM S(1991)05E15 CCL O157.1
1 引 言
熟知二项系数m
k
的q模拟是高斯二项系数
m
k q
=
(q m-1)(q m-1-1)…(q m-k+1-1)
(q k-1)(q k-1-1)…(q-1).
(1)
对于超几何级数s F t a1,…,a s
b1,…,b t
;z也有相应的q模拟，即q超几何级数
s5t
a1,…,a s
b1,…,b t
;z=∑
r
r=0
(a1)r…(a s)r z r
(b1)r…(b t)r(q)r,
(2)
这里(a)r=(1-a)(1-aq)…(1-aq r-1)，且(a)0=1.因此(2)是a1,…,a s,b1,…b t,q与z的函数，且依定义
250[a,b;z]=∑∞
r=0
(a)r(b)r
(q)r z
r.(3)
由分拆及子空间计数等问题引入的高斯二项系数除了简化表达外，还具有一系列约简计算的
性质.对于q超几何级数来说同样也有约简公式和简化计算的作用.因此一些计数公式考虑它能否用q超几何级数表达常常是重要的.
设F q是q元有限域,F q上两个n阶矩阵A,B说是同步的，如果存在非奇异矩阵T使得TA T′=B.把F q上适合方程X A X′=O(m)的m×n矩阵解X的个数记作n m×n(A,O)，易知若
A同步于B，则n m×n(A,0)=n m×n(B,0).因此将总用矩阵的同步标准形决定的矩阵方程来讨论解数公式.本文首先由交错矩阵方程的解数公式证明250的一个恒等式，然后利用该式直接推出本文所得到的一些特殊矩阵方程解数公式的q超几何级数表示.另外还应用恒等式250
Ξ1995年11月23日收到.1998年5月20日收到修改稿.国家自然科学基金资助项目、河北省教委科研项目.
[c ,q -n ;q ]=c n
给出有限域F q 上m 阶特殊矩阵个数的证明.本文的术语、符号多采自[1].
2 从交错矩阵方程解数得到250的恒等式
设q 是任意素数p 的方幂，则有限域F q 上任何m 阶交错矩阵由[1]定理3.1知必同步于
0I
(Τ)
-I
(Τ)
O
(m -2Τ)
,
这里0≤2Τ≤m ,Τ称为指数.显然交错矩阵的秩为偶数，且2Τ阶非奇异交错矩阵的同步标准
K 2Τ=
0I
(Τ)
-I
(Τ)
.
定义辛群S p 2Τ(F q )={T ∈GL n (F q ) T K 2ΤT ′=K 2Τ}以及它在F q 上2Τ维行向量空间F (2Τ)
q 上的作
用:
F (2Τ)
q ×S p 2Τ(F q )→F (2Τ)
q ,
((x 1,x 2,…,x 2Τ),T )→(x 1,x 2,…,x 2Τ)T .
把具有这个作用的F (2Τ)q 称为2Τ维辛空间且仍记为F (2Τ)q .设P 是F (2Τ)
q 的一个k 维子空间.m ×
2Τ矩阵X 叫做子空间P 的一个矩阵表示，如果它的行向量是P 的生成元.k 维子空间P 的k
×2Τ矩阵表示特别仍记为P .F (2Τ)
q 的一个k 维子空间称为全迷向或(k ,0)型的，如果P K 2ΤP ′=
O (k )
.把F q 上适合方程
X K 2ΤX ′=O
(m )
(4)
的解m ×2Τ矩阵X 和秩k 的m ×2Τ矩阵X 的个数分别记作n (K 2Τ,O (m )
)和n (K 2Τ,O
(m )
;k ).
引理2.1 秩k 的m ×2Τ矩阵X 是(4)的一个解当且仅当X 是辛空间F (2Τ)
q 里一个(k ,0)型子空间P 的m ×2Τ矩阵表示.
证明 设X 适合(4).由rank X =k 有X =T P ，这里T 是秩k 的m ×k 矩阵,P 是秩k 的k ×2Τ矩阵.以T 为前k 列作m 阶非奇异矩阵M ，那么X =M P
，且由(4)推出P K 2ΤP ′=O (k )
.
这样P 的k 个行向量生成辛空间F (2Τ)
q
中一个(k ,0)型子空间P ，它以X 为矩阵表示.反之，若
F (2Τ)
q
中(k ,0)型子空间P 以m ×2Τ矩阵X 为矩阵表示，那么rank X =k 且子空间P 有秩k 的
k ×2Τ矩阵表示P 适合P K 2ΤP ′
=0.又矩阵P 的k 个行向量是子空间P 的基，因此存在秩k 的m ×k 矩阵T 使X =T P 从而X 适合(4).
定理2.2 设0≤k ≤Τ，那么
n (K 2Τ,O (m )
;
k )=q k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ
-k +1(q
2i
-1),(5)n (K 2Τ,O
(m )
)=
∑
m in{Τ,m }
k =0
q
k
2
m k
q ∏
Τ
i =Τ
-k +1(q 2i -1).
(6)
证明 对(k ,0)型子空间P 的一个取定k ×2Τ矩阵表示P ,F q 上秩k 的所有m ×k 矩阵T 决定于空间P 的所有m ×2Τ矩阵表示X =T P .于是由引理2.1得n (K 2Τ,O
(m )
;k )=N (k ,0;2Τ
)
n (k ,m ).这里N (k ,0;2Τ
)表示F (2Τ)
q 里(k ,0)型子空间个数，公式见[1]推论3.19;n (k ,m )是
F q 上秩k 的m ×k 矩阵个数，公式见[1]引理1.5，因此有(5).又由[1]知k ≤Τ，故得(6).Carlitz L .在[2]中对奇特征有限域上用特征标的方法也得到n (K 2Τ,O (m )
)的公式，但他的推证有误，在文[3]中已经纠正并得到
定理2.3 设q 是奇素数p 的方幂.那么
n (K 2Τ,O
(m )
)=q
2Τm -
m
2
∑2r ≤m
q
r (r -2Τ-1)∏
m
i =m -2r +1
(q i -1)
∏r
i =1
(q
2i
-1)
.
(7)
定理2.4 设q ≠1是任意复数，那么有恒等式
∑
m in{Τ,m }
k =0
q
k
2
m k
q ∏
Τ
i =Τ
-k +1(q 2i -1)=q
2Τm -
m
2
∑
2r ≤m
q
r (r -2Τ-1)∏
m
i =m -2r +1
(q i -1)
∏r
i =1
(q
2i
-1),
(8)
∑m in{Τ,m }k =0
q
k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ
-k +1(q
2i
-1)=q
2Τm -
m
2
2
50[q -12
m ,q
-
12
(
m -1);q
Τ+1
]′
(9)
成立.这里“′”指该方括号内g 由g
-2
代替.
证明 当q 为奇素数方幂时，由(6),(7)知(8)式左右方都是n (K 2Τ,0(m )
)的公式且都是q 的有理分式.对无穷多个奇素数方幂来说(8)成立，因此(8)对任意复数g 也成立.又恒等式(8)右方的和号部分可变形为
∑2r ≤m
((q -2
)
Τ+1
)
r
(1-q m )(1-q m -1)…(1-q m -2r +1)(1-q -2)(1-q -4)…(1-q -2r )
=
∑∞
r =0
((q
-2
)Τ+1)r
((q -2
)
12
m )r ((q -2
)-
12(
m
-1))r
((q -2))r
,
于是得到恒等式(9).
恒等式(8),(9)给计算带来很大方便.如n (K 2Τ,O (m ))求值时，用右式其非零项是[m
2
]+1
个((9)的右式当k =[m
2
]时则r 从0跑到k 即止)用左式是m in {Τ,m }+1.通常使用右式简便
(除非Τ<[
m
2
]时).例如当2Τ=6,m =3时，右式r =0,1仅两项即
q 15
[1+q
-8
(1-q 3)(1-q 2)(1-q -2
)
]=q 15+q 12-q 9
，而左式为
1+(q 6
-1)(q 3-1)(q -1)+q (q 6-1)(q 4
-1)(q 3-1)(q 2-1)(q -1)(q 2-1)
+
q 3(q 6-1)(q 4-1)(q 2-1)(q 3-1)(q 2-1)(q -1)(q -1)(q 2-1)(q 3
-
1)
=q 15+q 12-q 9
.运算量相差很大，因此把所得公式用q 超几何级数表达是很有意义的工作.
3 恒等式(9)的几个应用
1) 设F q 是特征为2的有限域.由[1]第四章知F q 上2Τ+∆(∆=0,1或2)阶非奇异对称矩
阵的同步标准形分别是
S 2Τ=
I
(Τ)
I
(Τ)
0(交错矩阵);S 2Τ+1=
I
(Τ)
I
(Τ)
1
;
S 2Τ+2=
I
(Τ)
I
(Τ)
01
1
1
(非交错对称矩阵).
统一记为S 2Τ+∆,∆=0时它定义辛群S p 2Τ(F q );∆=1或2时它分别定义伪辛群P s 2Τ+1(F q )和P s 2Τ+2(F q )，并且具有后二者作用的空间F (2Τ+∆)
q
称为伪辛空间.F q 上适合方程
X S 2Τ+∆X ′=O
(m )
(10)
的m ×(2Τ+∆)矩阵X 和秩k 的m ×(2Τ+∆)矩阵X 的个数分别记作n (S 2Τ+∆,O
(m )
)和n (S 2Τ+∆,
O
(m )
;k ).同2有下述结果
引理3.1 当∆=0时，秩k 的m ×2Τ矩阵X 是(10)的一个解当且仅当X 是辛空间F (2Τ)
q
中一个(k ,0)型子空间P 的m ×2Τ矩阵表示；当∆=1(∆=2)时秩k 的m ×(2Τ+1)(m ×(2Τ+
2))矩阵X 是(10)的一个解当且仅当X 是伪辛空间F (2Τ+1)
q
(F (2Τ+2)q )中一个(k ,0,0,0)型((k ,0,0,0)型或(k ,0,0,1)型)子空间P 的m ×(2Τ+1)(m ×(2Τ+2))矩阵表示.
定理3.2 当∆=0,1或2时，有
n (S 2Τ+∆,O
(m )
;k )=q
k
2
(q
2Τ-k +2
-1)
[
∆
2
]
m k
q
∏
Τ
i =Τ-k +[∆2]+1
(q 2i -1),
(11)
n (S 2Τ+∆,O
(m )
)=
∑
m in{Τ+[
∆
2
],m }
k =0
q
k
2
(q
2Τ-k +2
-1)
[
∆
2
]
m k
q
∏
Τ
i =Τ-k +[∆
2
]+1
(q 2i -1).
(12)
证明 ∆=0或1时同定理2.2的证明.对∆=2由引理3.1有
n (S 2Τ+2,O
(m )
;k )=(N (k ,0,0,0;2Τ+2)+N (k ,0,0,1;2Τ+2)) n (k ,m ),
这里N (k ,0,0,0;2Τ+2),N (k ,0,0,1;2Τ+2)分别表示伪辛空间F (2Τ+2)
q 里(k ,0,0,0)型和(k ,
0,0,1)型子空间的个数(见[1]p 185,186)，且前者0≤k ≤Τ，后者1≤k ≤Τ+1.当1≤k ≤Τ时,
n (S 2Τ+2,O
(m )
;k )=
∏
Τ
i =Τ-k +2
(q 2i -1)[q k (q 2Τ-
2k +2
-1)+q k
-1]
∏k
i =1
(q
i
-1)
n (k ,m );
当Τ+1≤m 时,
n (S 2Τ+2,O
(m )
;Τ+1)=N (Τ+1,0,0,1;2Τ+2) n (Τ+1,m )
以及n (S 2Τ+2,O
(m )
;0)=1，因而得(11).(12)从(11)立得.
为用q 超几何级数表达，先证250的一个循环关系式.
引理3.3
q m
250[q
-
12
m ,q
-
12(
m -1);q
Τ+1
]′+(1-q m
)250[q
-
12
(
m -1),q
-
12
(
m -2);q Τ
]′
=250[q -
1
2m ,q
-
12
(
m -1);q Τ
]′,
(13)
这里“′”意义同(9).证明 由(3),
2
50[q
-
1
2
m ,q
-
12
(
m -1);q Τ
]
′=
∑∞
r =0
(q
-2Τ)r
(1-q m )(1-q m -1)…(1-q m -2r +1)
(1-q -2)(1-q -4)…(1-q -2r )
,
因此(13)两端代(3)化为上形后，只需再证左右第r +1项对应相等.事实上左方为
(q -2Τ)r (1-q m -1
)(1-q m -2)…(1-q m -2r +1)(1-q -2)(1-q -4)…(1-q -2r
)
[q m (1-q m )q -2r +(1-q m )(1-q m -2r
)] =((q -2)Τ)r (1-q m )(1-q
m -1
)…(1-q m -2r +1)(1-q -2)(1-q -4)…(1-q -2r )
,
恰为右方第r +1项.
定理3.4 设q =2t
，那么对∆=0,1或2有
n (S 2Τ+∆,O (m )
)=q
(2Τ+[∆2
])m -m
2
2
50[q
-
1
2
m ,q
-
12(
m
-
1);q
Τ+1
]′, “′”意义同(9).(14)
证明 当∆=0或1时(12)即
n (S 2Τ+∆,O
(m )
)=
∑m in{Τ,m }
k =0
q
k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ
-k +1(q
2i
-1),.
应用恒等式(9)立得
n (S 2Τ+∆,O
(m )
)=q 2Τm -m
2
250[q -
1
2m ,q -
12
(
m -1);q Τ+1
]′，即(14).当∆=2时，注意到q 2Τ-
k +2-1=(q 2Τ+2-1)-q
2Τ-k +2
(q k -1)，那么(12)拆分并令t =k -1后
n (S 2Τ+2,O
(m )
)=
∑
m in{Τ+1,m }k =0q
k
2
m k
q ∑
Τ+1
i =Τ
+1-k +1(q 2i -1)- (q m
-1)q
2Τ+1
∑
m in{Τ,m -1}
t =0
q
t
2m -1
k
q ∏Τ
i =Τ
-t +1(q
2i
-1).
应用恒等式(9)后得
n (S 2Τ+2,O
(m )
)=q
2(Τ+1)m -
m
2
2
50[q
-
1
2
m ,q
-
12
(
m -1);q
Τ+2
]
′-(q m -1)q
2Τ+1
q
2Τ(m -1)-
m -1
2
2
50[q
-
12
(
m -1),q
-12
(
m -2);q
Τ+1
]′.
再由循环关系式(13)便得(14).
2)
设F q 是特征≠2的有限域.由[1]第六章知F q 上2Τ+∆(∆=0,1或2)阶非奇异对称矩
阵标准形为:
S 2Τ=
I
(Τ)
I
(Τ)
0,S 2Τ+1,1=
I
(Τ)
I
(Τ)
1,
S 2Τ+1,z =
I
(Τ)
I
(Τ)
z
,S 2Τ+2=
I
(Τ)
I
(Τ)
1
-z
,
这里z 是F 3
q 的一个固定非平方元.统一记作S 2Τ+∆,∃(这里∆=0,1或2),∃为定号部分，当∆=0时不出现；当∆=1时,∃=1或z ；当∆=2时,∃=
1
-z
.S 2Τ+∆,∃定义F q 上的正交群
O 2Τ+∆,∃(F q ).具有此群作用的空间称为正交空间F (2Τ+∆)
q
.F q 上适合方程
X S 2Τ+∆,∃X ′=O
(m )
(15)
的m ×(2Τ+∆)矩阵X 和秩k 的m ×(2Τ+∆)矩阵X 的个数分别记作n (S 2Τ+∆,∃,O
(m )
)和
n (S 2Τ+∆,∃,O
(m )
;k ).同前易证
引理3.5 秩k 的m ×(2Τ+∆)矩阵X 是(15)的解，当且仅当X 是正交空间F (2Τ+∆)
q
中一个
(k ,0,0)型子空间P 的m ×(2Τ+∆)矩阵表示.
定理3.6 当∆=0,1或2时有
n (S 2Τ+∆,∃,O
(m )
;k )=q
k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ-k +1(q
i
-1)(q
i +∆-1
+1),
(16)n (S 2Τ+∆,∃,O (m )
)=
∑m in{Τ,m }
k =0
q
k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ
-k +1(q
i
-1)(q
i +∆-1
+1).
(17)
证明 同前，由引理3.5有n (S 2Τ+∆,∃,O (m )
;k )=N (k ,0,0;2Τ+∆,∃) n (k ,m )，这里N (k ,0,
0;2Τ+∆,∃)是正交空间F (2Τ+∆)
q
中的(k ,0,0)型子空间的个数，公式见[1]推论6.23.
定理3.7 设q 是奇素数p 的方幂，那么有 n (S 2Τ+∆,∃,O
(m )
)=q
(2Τ+∆-1)m -
m
2
{250[q
-
1
2
m ,q
-
12(
m -1);q
Τ+[∆+12
]
]′- (1-∆)q
-(Τ+[∆
2
]
)
(1-q m )250[q
-
12
(
m -1),q
-
12
(
m -2);q
Τ+[∆+1
2
]
]′},(18)
这里∆=0,1或2，并且“′”意义同(9)((18)与Carlitz [4]
所得一致).
证明 显然当∆=1时由(17)及恒等式(9)立即得(18):
n (S 2Τ+1,∃,O
(m )
)=q
2Τm -
m
2
2
50[q
-
1
2
m ,q
-
12
(
m -1);q
Τ+1
]′.
当∆=0和2时分别注意到
q
Τ-k
+1=(q Τ+1)-q Τ-k (q k -1)和q
Τ-k +1
-1=(q Τ+1-1)-q
Τ-k +1
(q k -1),
则(17)成为
n (S 2Τ,O
(m )
)=
∑m in{Τ,m }
k =0q
k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ
-k +1(q
2i
-1)-(q m
-1)(q Τ
-1)q
Τ-1
∑
m in{Τ-1,m -1}
k =0
q
k
2
m -1
k
q ∏Τ-1
i =Τ
-k (q
2i
-1),
n (S 2Τ+2,O
(m )
)=
∑
m in{Τ+1,m }
k =0q
k
2
m k
q ∏
Τ+1
i =Τ
+1-k +1(q 2i -1)-(q m
-1)(q Τ+1
+1)q
Τ
∑
m in{Τ,m -1}
k =0
q
k
2
m -1
k
q ∏Τ
i =Τ
-
k +1(q
2i
-1).
应用恒等式(9)后再由循环关系式(13)便得(18).
3) 令F q 是特征为2的有限域,K m 表示F q 上全体m 阶交错矩阵的集.两个m 阶矩阵
A ,
B 说是模
K
m
同余并记作A ≡B ，如果A +B ∈K m .F q 上两个m 阶矩阵A ,B 说是“同步”
