n
g
教学目标
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略；能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的n
1
m
2
m 方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：
n
n
m
12n
N m m m
=+++
种不同的方法．
2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，
n
1
m
2
m …，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：
n
n
m
12n
N m m m
=⨯⨯⨯
种不同的方法．
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排,
先排末位共有1
3
C
然后排首位共有1
4
C
最后排其它位置共有3
4
A
由分步计数原理得113
434
288
C C A=
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不
522
522
480
A A A=
同的排法
l l t h s 练习题：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有
多少种？
解：分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元5
5A 素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有 4
6A 5
4
56A A 种
新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后
用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：
73
73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共
4
7A 有 1种坐法，则共有种方法。
4
7A 思考：可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人，共有1种排法，再把其余4四人依次插入共有 方法
练习题:10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5
10
C 五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法
解：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推，由分步计数原理共有种不同的排法
6
7练习题：
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目
插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法8
7六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐，共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆
4
4A 形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即！
7允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为种
n
m
n
g s
r
b o
d f
o r
E 练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法
解:8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.个特殊元素有种，再排后
2
4A 4个位置上的特殊元素丙有种，其余的5人在5个位置上任意排列有种，则共有
1
4A 55A 种
215
445A A A
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法.
解：第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装
2
5C 入4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有4
4A 2
4
54
C A 练习题：一个班有6名战士，其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一种
任务，且正副班长有且只有1人参加，则不同的选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间，这样的五
位数有多少个？
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有种排法，再排小集团内部共有种排
2
2A 2
2
22A A 法，由分步计数原理共有种排法.
2
2
2
222A A A 练习题：
１.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,
排成一行陈列，要求同一
品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为2
5
4
254
A A A 2. 5男生和５女生站成一排照像，男生相邻，女生也相邻的排法有种2
5
5
255A A A 十.元素相同问题隔板策略
一般地,n 个不同元素作圆形排列，共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有
1m n A n
一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究.
解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?
小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选
６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分
法共有种分法。
6
9C 二班三班四班六班
七班
练习题：
1．10个相同的球装5个盒中，每盒至少一有多少装法？ 49
C 2 .求这个方程组的自然数解的组数 100x y z w +++=3
103
C 十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数，不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难，可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数
5个奇数，所取的三个数含有3个偶数的取法有，只含有1个偶数的取法有，和为偶数
3
5C 1
255C C 的取法共有。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有123
555C C C +1
2
3
5559
C C C +-练习题：我们班里有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记6本书为ABCDEF ，若第一
22
2
642C C C 步取AB，第二步取CD，第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF)，则中还有(AB,EF,CD),2
2
2
642C C C (CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法 ，而这些分法仅是(AB,CD,EF)一3
3A 种分法，故共有种分法。
2
2
2
3
6423/C C C A 练习题：
1 将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队, 有多少分法？（）
5
4
4
2
13842/C C C A 2.10名学生分成3组，其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______（）
2
2
2
2
4262/90C C A A =十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能唱歌,5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞
的节目，有多少选派方法
将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，
插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为1
1
m n C --有些排列组合问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中淘汰.
平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要一定要除以(为均分的
n
n A n 组数)避免重复计数。
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种，只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员2
2
33C C 种，只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有
112534C C C 2255C C 种。
2
2
1
1
2
2
2
3353455C C C C C C C ++练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人，他们任选2只船或3只船，但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27） 本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2
盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，求满足条件的关灯方法有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有 种
3
5C 练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子，现将5个球投入这五个盒子内，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，
2
5C 如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3
号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法，由分步计数原理有种
2
52C 号盒 5号盒
练习题：
1.同一寝室4人，每人写一张贺年卡集中起来，然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色，要求相邻区 域不同色，现有4种可选颜色，则不同的着色方法有 72种
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果
