排列组合难题二十一种方法(含答案详解)
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起
进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同
排法种数是：73
73/A A
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4
7A 种方法，其余的三个位
置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4
7A 种方法。
思考：可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人，共有1种排法，再把其余4四人依次插入共有 方法
练习题:10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共
有多少排法. 5
10C 五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法
解：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配
到车间也有7种分依此类推，由分步计数原理共有67种不同的排法
练习题：
1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42
2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法87 六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐，共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并
从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！
H F
D A B C D
E A
B E G
H G F
练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈. 120 七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法
解:8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.个特殊元素有
24A 种，再排后4个位置上的特殊元素丙有1
4A 种，其余的5人在5个位置上任
意排列有55A 种，则共有215445A A A 种
前 排后 排
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中
间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法.
解：第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一
个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方
法共有2454C A
练习题：一个班有6名战士，其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,
每人完成一种任务，且正副班长有且只有1人参加，则不同的选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之
间，这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，
再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222
222A A A 种排法1524
3
练习题：
１.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列，要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为
254
254A A A
2. 5男生和５女生站成一排照像，男生相邻，女生也相邻的排法有255
255A A A 种
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在
９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。
一班二班三班四班五班六班七班
