排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
教学目标：
1.理解和应用分类计数原理和分步计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能够解决简单的综合应用题，提高解决问题分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固：
1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法。在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法。做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×
m2×。×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：
1.认真审题弄清要做什么事。
2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一、特殊元素和特殊位置优先策略：
例1：由0、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。先排末位共有C3，然后排首位共有C4，最后排其它位置共有A4^3，由分步计数原理得C4×C3×A4^3=288.
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
练题：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二、相邻元素捆绑策略：
例2：7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法。
因此可以使用求幂策略来解决问题。例如，把6名实生分配到7个车间实，每名实生可以分配到任何一个车间，因此共有$7^6$种不同的分法。
练题：有4个红球，3个蓝球，2个绿球，把它们排成一排，求不同的排列数。由于每个球都是独立的，因此可以使用求幂策略，即$9!/(4!3!2!)$，共有1260种不同的排列方式。
一般地，当n个不同元素没有限制地安排在m个位置上时，排列数为m的n次方。
练题：
1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为42.
2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯的方法有7!种。
例6.8人围桌而坐，共有多少种坐法？
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从此位置把圆形展成直线，其余7人共有（8-1）！种排法，即7.
一般地，n个不同元素作圆形排列，共有(n-1)!种排法。如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列，共有A(n,m)/m种排法。
练题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？答案为120.
例7.8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法？
解：8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排。特殊元素有A(4,2)种，再排后4个位置上的特殊元素丙有A(4,1)种，其余的5人在5个位置上任意排列有A(5,5)种，则共有A(4,2)×A(4,1)×A(5,5)种排法，即1520种。
一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究。
练题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是346.
