（完整版）排列组合常见21种解题⽅法
排列组合难题⼆⼗⼀种⽅法
排列组合问题联系实际⽣动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，⾸先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采⽤合理恰当的⽅法来处理。
教学⽬标
1.进⼀步理解和应⽤分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常⽤策略；能运⽤解题策略解决简单的综合应⽤题。提⾼学⽣解决问题分析问题的能⼒
3.学会应⽤数学思想和⽅法解决排列组合问题.
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成⼀件事，有n类办法，在第1类办法中有
m种不同的⽅法，在第2类
1
办法中有
m种不同的⽅法，…，在第n类办法中有n m种不同的⽅法，那么2
完成这件事共有：
种不同的⽅法．
2.分步计数原理（乘法原理）
完成⼀件事，需要分成n个步骤，做第1步有
m种不同的⽅法，做第2步
1
有
m种不同的⽅法，…，做第n步有n m种不同的⽅法，那么完成这件事共2
有：
种不同的⽅法．
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理⽅法相互独⽴，任何⼀种⽅法都可以独⽴地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的⽅法完成事件的⼀个阶段，不能完成整个事件．
解决排列组合综合性问题的⼀般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进⾏，确定分多少步及多少类。
3.确定每⼀步或每⼀类是排列问题(有序)还是组合(⽆序)问题，元素总数是多少及取出多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握⼀些常⽤的解题策略
⼀.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解：由于末位和⾸位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这
两个位置.
先排末位共有1
3C
然后排⾸位共有1
4C 最后排其它位置共有34A
由分步计数原理得1134
34288C C A =
练习题:7种不同的花种在排成⼀列的花盆⾥，若两种葵花不种在中间，也不
种在两端的花盆⾥，问有多少不同的种法？
⼆.相邻元素捆绑策略
例2. 7⼈站成⼀排
，其中甲⼄相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲⼄两元素捆绑成整体并看成⼀个复合元素，同时丙丁也看成⼀
个复合元素，再与其它元素进⾏排列，同时对相邻元素内部进⾏⾃排。由分步计数原理可得共有5225
22480A A A =种不同的排法
练习题：某⼈射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在⼀起的情形的不同种数为 20
三.不相邻问题插空策略
例3.⼀个晚会的节⽬有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节⽬不能连续出场,
则节⽬的出场顺序有多少种？
解：分两步进⾏第⼀步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第⼆步将4舞蹈插
⼊第⼀步排好的6个元素中间包含⾸尾两个空位共有种4
6A 不同的⽅法,
由分步计数原理，节⽬的不同顺序共有54
56A A 种
练习题：某班新年联欢会原定的5个节⽬已排成节⽬单，开演前⼜增加了两个新节⽬.如果将这两个新节⽬插⼊原节⽬单中，且两个新节⽬不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插⼊策略
例4.7⼈排队，其中甲⼄丙3⼈顺序⼀定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某⼏个元素顺序⼀定的排列问题，可先把这⼏个元素与其
他元素⼀起进⾏排列，然后⽤总排列数除以这⼏个元素之间的
全排列数，则共有不同排法种数是：73
73/A A
(空位法)设想有7把椅⼦让除甲⼄丙以外的四⼈就坐共有4
7A 种⽅法，其
余的三个位置甲⼄丙共有 1种坐法，则共有4
7A 种⽅法。
思考：可以先让甲⼄丙就坐吗?
（插⼊法)先排甲⼄丙三个⼈，共有1种排法，再把其余4四⼈依次插⼊共有⽅法
练习题:10⼈⾝⾼各不相等，排成前后排，每排5⼈，要求从左⾄右⾝⾼逐渐增加，共有多少排法？
5
10C
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习⽣分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法
解：完成此事共分六步：把第⼀名实习⽣分配到车间有 7 种分法.把第⼆名实习⽣分配到车间也有7种分依此类推，由分步计数原理共有67种不同的排法
练习题：
1．某班新年联欢会原定的5个节⽬已排成节⽬单，开演前⼜增加了两个新节⽬.如果将这两个节⽬插⼊原节⽬单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某8层⼤楼⼀楼电梯上来8名乘客⼈，他们到各⾃的⼀层下电梯，下电梯的⽅法87
六.环排问题线排策略
例6. 8⼈围桌⽽坐，共有多少种坐法?
解：围桌⽽坐与坐成⼀排的不同点在于，坐成圆形没有⾸尾之分，所以固定
⼀⼈44A 并从此位置把圆形展成直线其余7⼈共有（8-1）
！种排法即7！ A B C D E A
E H G F
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐⼀安排各个元素的位置，⼀般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种
⼀般地,n 个不同元素作圆形排列，共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有
1m n A n
练习题：6颗颜⾊不同的钻⽯，可穿成⼏种钻⽯圈 120 七.多排问题直排策略
例7.8⼈排成前后两排，每排4⼈，其中甲⼄在前排，丙在后排，共有多少排法解:8⼈排前后两排，相当于8⼈坐8把椅⼦，可以把椅⼦排成⼀排.个特殊
元素有24A 种，再排后4个位置上的特殊元素丙有1
4A 种，其余的5⼈在5
个位置上任意排列有55
A 种，则共有215
445A A A 种
后排
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2⼈就座规
定前排中间的3个座位不能坐，并且这2⼈不左右相邻，那么不同排法的种数是 346
⼋.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的⼩球，装⼊4个不同的盒内，每盒⾄少装⼀个球，共有多少不同的装法.
解：第⼀步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种⽅法.再把4个元素
(包含⼀个复合元素)装⼊4个不同的盒内有44A 种⽅法，根据分步计数原理装球的⽅法共有2454C A
练习题：⼀个班有6名战⼠，其中正副班长各1⼈现从中选4⼈完成四种不
同的任务，每⼈完成⼀种任务，且正副班长有且只有1⼈参加，则不同的选法有 192 种
九.⼩集团问题先整体后局部策略
例9.⽤1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在
两个奇数之间，这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当作⼀个⼩集团与３排队共有22A 种排法，
再排⼩集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222
222A A A 种排法.
练习题：
⼀般地，元素分成多排的排列问题，可归结为⼀排考虑，再分段研
⼩集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进⾏处理。
１.计划展出10幅不同的画，其中1幅⽔彩画,４幅油画,５幅国画, 排成⼀⾏陈列，要求同⼀品种的必须连在⼀起，并且⽔彩画不在两端，
那么共有陈列⽅式的种数为254
254A A A
2. 5男⽣和５⼥⽣站成⼀排照像，男⽣相邻,⼥⽣也相邻的排法有255
255A A A 种
⼗.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班⾄少⼀个，有多少种分配⽅案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成⼀排。相邻名额之间形成９个
空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每⼀种插板⽅法对应⼀种分法共有69C 种分法。
