解排列组合问题的常用技巧
解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确问题是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答。同时还要注意讲究一些策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。结合我们几年的教学下面介绍几种常用的技巧。
一、合理分类与准确分步法
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，作到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
【例1】五个人从左到右排成一排，其中甲不在中间，乙不在末尾，不同的排法有 （ ）
A ．96种
B ．120种
C ．78种
D ．72种
分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：①若甲在末尾，剩下四人可自由排，有4
4
A 种排法；②若甲在第一，二，四位置上，则有1
31
33
3A A A 种排法。由分类计数原理，不同排法
共有781
3133344=+A A A A 种，答案：C
二、正难反易转化法
对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难问题，从正面入手情况较多，不易解决，这时可从反面入手，将其转化为一个简单问题来处理。
【例2】马路上有10只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？
分析： 关掉第1只灯的方法有8种，关第二只，第三只时需分类讨论，十分复杂。若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在7只亮灯的8个空中插入3只暗灯，但还要满足不插在两端”的问题。故关灯
方法种数为3
6C 。
三、混合问题“先选后排”
对于排列组合混合问题，可先选出元素，再排列。 【例3】4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？ 分析： 因有一空盒，故必有一盒子放两球。①选：从四个球中选2个有2
4C 种，从4个盒中选3个盒有3
4C 种；②排：把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对
选出的3盒作全排列有33A 种，故所求放法有1443
33424=A C C 种。
四、特殊元素“优先安排法”
对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。
【例4】用0，1，2，3，4，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。 A ． 24个 B ．30个 C ．40个 D ．60个
分析：由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分为两类：① 0排末尾时，
有2
4A 个1。②0不排在末尾时，则有131312A A A 个，由分数计数原理，共有偶数1
3131224A A A A +=30
个，答案：B
练习1、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，
若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）
（A ） 280种 （B ）240种 （C ）180种 （D ）96种
练习2、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这
两个位置先排末位共有_1
3C __
然后排首位共有_1
4
C __
最后排其它位置共有___ 由分步计数原理得2883
41413
=A C C 五、局部问题“整体优先法”
对于局部排列问题，可先将局部看作一个元与其余元素一同排列，然后在进行局部排列。 【例5】7人站成一排照相，要求甲乙两人之间恰好隔三人的站法有多少种？
分析： 甲、乙及间隔的3人组成一个“小整体”，这3人可从其余5人中选，有2
5C 种；这个“小整体”与其余2人共3个元素全排列有3
3A 种方法，它的内部甲、乙两人有2
2A 种站
法，中间选的3人也有33A 种排法，故符合要求的站法共有7203
3223325=A A A C 种。
六、总体淘汰法
对于含有否定字眼的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减。
例如在例4中，也可用此法解答：五个数字组成三为数的全排列有3
5A 个，排好后发现
0不能排首位，而且数字1，3也不能排末位，这两种排法要除去，故有30
1
313222435=--A A A A A 个偶数
七、相邻问题用“捆绑法”法
对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看成一个“大”的元素与其它的元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。
【例6】7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？
分析： 把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余4人共5个元作全排列，有5
5A 种排
法，而甲乙、丙、之间又有33A 种排法，故共有55A 72003
3=A 种排法。
练习、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈
列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ） （A ）
5
5
44A A （B ）
5
5
4433A A A （C ）
5
5
4413A A A （D ）
5
5
4422A A A
34
A 13
C 4
34
A
分析：先把三种不同的画捆在一起，各看成整体，但水彩画不放在两端，则整体有22A 种
不同的排法，然后对4幅油画和5幅国画内部进行全排，有5
5
44A A 种不同的排法，所以不同
的陈列方式有
5
5
4422A A A 种，选D 。
八、不相邻问题用“插空法”
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。
【例7】在例6中， 若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？
分析： 先将其余四人排好有4
4A 种排法，再在这人之间及两端的5个“空”中选三个位
置让甲乙丙插入，则有35A 种方法，这样共有14003
544=A A 种不同排法。
九、定序问题倍缩、空位法
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。
【例8】(倍缩法)6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？
分析： 不考虑附加条件，排队方法有6
6A 种，而其中甲、乙、丙的3
3A 种排法中只有
一种符合条件。故符合条件的排法有1203
366=÷A A 种。
（空位法）设想有6个位置让除甲乙丙以外的3人排列共有3
6A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法，则共有3
6A 种方法
十、元素相同问题隔板
将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数），每份至少一个元素，可以用
m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为1
1--m n C
【例9】6人带10瓶汽水参加春游，每人至少带1瓶汽水，共有多少种不同的带法？
分析：将所求问题转化——10个相同的球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放1个球，有多少种不同的放法。
即把排成一行的10个“0”分成6份的方法数，这样用5块闸板插在9个间隔中，共有
种12659=C 即共有126种不同的带法。
练习.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
十一、分排问题“直排法”、环排问题线排
把几个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其它的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理。
【例10】7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？ 分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件，故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有7
7A 种。
一般地,n 个不同元素作圆形排列，共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素
中取出m 个元素作圆形排列共有
m
n A m
1种排法 例如. 5人围桌而坐，共有多少种坐法?
甲
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于：坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人甲并从此位置把圆形展成直线其余4人共有种44A 种排法，即)15( ！
十二、枚举法
例11、 将数字1、2、3、4填在标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填上一个数字，且每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有几种？
它们是：
把符合条件的安排不重复、不遗漏的一一列举出来，是
最简单、最原始但也是最基本的计数方法．教材中多次应用到，高考中常用枚举法解决问题． 例12．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法有（ ）
A ．5种
B ．6种
C ．7种
D ．8种
解析：根据所给选项数字较小，不难用枚举法解决．
单片买3张，磁盘买2盒，花钱320元；单片买3张，磁盘买3盒，花钱390元；单片买3张，磁盘买4盒，花钱460元；单片买4张，磁盘买2盒，花钱380元；单片买4张，磁盘买3盒，花钱450元；单片买5张，磁盘买2盒，花钱440元；单片买6张，磁盘买2盒，花钱500元．故选购方式有7种，选A ．
例13．从1到100的一百个自然数中，每次取出两个数，使其和大于100，这样的取法共有多少种？
解： 从1到100的一百个自然数中，每次取出两个数，其中必有一个是较小的．我们先按较小的一数枚举，而当较小的数取定以后，使和超过100的另一个相应较大的数不难一一例举，所有情况如下表：
甲
乙 丙
丁
戊
1 2
3
4
4 4 1
3 1 3
1 4
3 3
2 1 2
3 2 1
1 3
4 4
4 1 2
2 2 1
所以共有：1+2+3+…+49+50+49+…+1=2500种不同的取法．
【例14】9 人组成篮球队，其中7人善打前锋，3人善打后卫，现从中选5人（两卫三锋，且锋分左、中、右，卫分左右）组队出场，有多少种不同的组队方法？
分析：由题设知，其中有1 人既可打锋，又可打卫，则只会锋的有6人，只会卫的有2 由表知，共有9002
233262212362236=++A A C A C A A A 种方法。
十三、分组问题
例15：8本不同的书，按照以下要求分配，各有多少种不同的分法?⑴一堆1本, 一堆2本, 一堆5本；⑵甲得1本，乙得2本，丙得5本；⑶甲、乙、丙三人， 一人1本, 一人2本, 一人5本；⑷平均分给甲、乙、丙、丁四人；⑸平均分成四堆；⑹分成三堆，一堆4本，一堆2本，一堆2本；⑺给三人一人4本, 一人2本, 一人2本。
解析：小题⑴属非平均分组问题，仅仅分组, 分组与顺序无关，是组合问题，共有1
1
2358C C C 种不同的分法；小题⑵属非平均分组定向分配问题，先分组，再分配, 但是是定向分配不涉及排序，共有1
12
35
8C C C 种不同的分法；小题⑶属非平均分组不定向分配问题，先分组，再分配, 与顺序有关，需排序，共有3
31
12
35
8A C C C 种不同的分法；小题⑷属平均分组不定向分配问题，先分
组有4422242628A C C C C 种分法，再分配, 与顺序有关, 有4
4A 种排列，共有444
422242628)(A A C C C C 种不同的分配方法；小题⑸属平均分组问题, 分组与顺序无关，是组合问题，有4
4
2
2
242628A C C C C 种不
