初中数学数据分析知识点详细全面)

第五讲、数据分析

一、数据的代表

（一）、（1）平均数：一般地，如果有个数

n

xxx

12n

,,,,

那么，

x=(x+x++x)

作“拔”。

x

1

12n

叫做这个数的平均数，读

n

x

n

注：如果有个数

n

x,x,,x

12n



的平均数为的平均数为

xx

，则①； ②的平均数为

ax,ax,,ax

12



n

a

x+b,x+b,,x+b

12n



x

+

b

； ③。

ax+b,ax+b,,ax+b

12n



的平均数为

a

x

+b

（2）加权平均数：如果个数中，出现次，出现次，…，出现次（这里

n

xfxf

1122

xf

kk

f+f+f=n

12k

），

那么，根据平均数的定义，这个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均

n

x=

数，其中

f,f,,f

12k



叫做权。

（3）平均数的计算方法

xfxfxf

1122kk

++

x

n

1

(x+x++x)x=

12n

①定义法:当所给数据比较分散时，一般选用定义公式：

n

xfxfxf

++

22kk11

②加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：

x=

，其中

n

f+f+f=n

12k

。

x,x,,x,

12n

③新数据法：当所给数据都在某一常数的上下波动时，一般选用简化公式：。其中，常数通常

aa

x=x'+a

1

取接近这组数据平均数的较“整”的数，是新数

x'xa

1122

=x'=xa

，，…，。

x'=xa

nn

x'=(x'+x'++x')

12n

n

据的平均数（通常把

xxxx',x',,x',

12n12n

,,,,

叫做原数据，叫做新数据）。

（4）算术平均数与加权平均数的区别与联系

①联系：都是平均数，算术平均数是加权平均数的一种特殊形式（它特殊在各项的权相等，均为1）。

②区别：算术平均数就是简单的把所有数加起来然后除以个数。而加权平均数是指各个数所占的比重不同，按照相

应的比例把所有数乘以权值再相加,最后除以总权值。

（二）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。（注：不是唯一的，可存在多个）

（三）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组

数据的中位数。

（注：①在找中位数的时候一定要把数据按大小依次排列；②如果是奇数，则中位数是第个；若是偶数，则中位

nn

数处于第和第

nn

22

+1

个的平均数；③中位数一般都是唯一的）

n+1

2

二、数据的波动

（一）极差：

（1）概念：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。

（2）意义：能够反映数据的变化范围，是最简单的一种度量数据波动情况的量，极差越大，波动越大。

（二）方差：

（1）概念：在一组数据

xxx

12n

,,,,

中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用

x

“

s

”表示，即

s=[(xx)+(xx)++(xx)]

2222

2

1

12n

n

（2）意义：衡量数据波动大小的量，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，数据的波动越稳定。

222

2

注：如果有个数

n

x,x,,x

12n



的方差为的方差为的方差为

sss

，则①； ②；

ax,ax,,ax

12



n

a

x+b,x+b,,x+b

12n



2

2

③。

ax+b,ax+b,,ax+b

12n



的方差为

a

s

（三）方差的计算

（1）基本公式：

s=[(xx)+(xx)++(xx)]

2222

1

12n

n

n

xs=[(x+x++x)]

此公式的记忆方法是：方差等于原数据也可写成

2

（2）简化计算公式（Ⅰ）：

=x+x++xnx

1

2222

平方的平均数减去平均数的平方。

（3）简化计算公式（Ⅱ）:

s=[(x'+x'++x')nx']

2222

1

12n

n

2

1

12n

n

当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数

2

1

2222

此公式的记忆

a

，得到一组新数据，，…，，那么，

x'=xax'=xa

1122

x'=xa

nn

s=[(x'+x'++x')]x'

12n

n

方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。

（4）新数据法：原数据的方差与新数据，，…，的方差相等，也

x,x,,x,

12n

x'=xax'=xa

1122

（四）方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即

x'=xa

nn

就是说，根据方差的基本公式，求得

xxx

',',,',

12n

的方差就等于原数据的方差。

s=s=[(xx)+(xx)++(xx)]

2222

1

12n

n

三、统计学中的几个基本概念

1、总体:所有考察对象的全体叫做总体。

2、个体:总体中每一个考察对象叫做个体。

3、样本:从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。

4、样本容量:样本中个体的数目叫做样本容量。

5、样本平均数:样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。

6、总体平均数:总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。