博弈论书后习题

博弈论书后习题

3.在下图所⽰的标准式表述的博弈中，哪些战略不会被重复剔除严格劣战略所剔除？纯战略纳什均衡⼜是什么？

参与者2

参与者1 L

C M

T

B

R

5.(投票博弈)设有三个参与者)3,2,1(=i 要在三个项⽬（A,B 和C ）中投票选出⼀个。三个参与者同时投票，不允许弃权。因

此，三个参与者的战略空间为)3,2,1}(,,{==i C B A S i 。得票最多的项⽬被选中。如果没有任何项⽬得到多票数，那么项⽬A 就

被选中。某个项⽬被选中后三个参与者的收益函数如下：

2)()()(321===C u B u A u 1)()()(321===A u C u A u 0)()()(321===B u A u C u

（1） 写出此博弈的标准式表达；

（2） 求出此博弈的纯战略纳什均衡。

7.俩⼈分⼀块蛋糕，每个⼈独⽴地提出⾃⼰想要的份额。设1s 为参与者1想要的份额，

2s 为参与者2想要的份额，1s ，2s 的可⾏集为[0，1]。分配规则是，如果1s s 21≤+，那

么每⼈均能得到⾃⼰想要的份额，如果1s s 21>+，那么俩⼈什么也得不到，试证明：在此博弈中，任何满⾜关系式1s s *

2*

1=+的战略组合（*

2*

1s s ，）都是博弈的纯战略纳什均衡。

13.

求下图所⽰标准式表述的博弈的混合战略纳什均衡。

参与者1

参与者2

L

R D

U

C

15.⽃鸡博弈故事的⼀种版本是，两个⼈相遇在⼀个独⽊桥上，每个⼈要选择是⾃⼰先过还是让对⽅先过。如果两个⼈选择T

（表⽰“强硬”，⾃⼰要先过），那么他们将在桥中间顶⽜，甚⾄掉如⽔中，这时每个⼈得到的效⽤为-1；如果两个⼈均选择W

（表⽰“软弱”，

让对⽅先过），那么他们都将在桥头等待，这时每个⼈得到的效⽤为0；如果⼀个⼈选择T ⽽另⼀个⼈选择W，那么选择T的⼈

将先过河，得到的效⽤为2，选择W的⼈将后过河，得到的效⽤为1。（有⼈⼜称这⼀博弈为“鹰鸽博弈”。他们将战略T解释

为“鹰派”，将战略W 解释为“鸽派”）

（1）求此博弈的混合战略纳什均衡；

（2）如果再补充⼀个信息：两个⼈是⼀男⼀⼥。你认为此博弈的两个纯战略纳什均衡，哪⼀个应作为聚焦均衡？

第⼆章

1.参与者1(丈夫)和参与者2(妻⼦)必须独⽴地决定出门郊游时是否带上⾬伞。他们知道下⾬的概率是50%。每个⼈的收益如

下：如果只有⼀⼈带伞，下⾬时带伞者的效⽤为-

2.5，不带伞者（沾点光）的效⽤为-3；不下⾬时带伞者的效⽤为-1,不带伞者的效⽤为0。如果两个都带伞，下⾬时每⼈的效应

为-2，不下⾬时每⼈的效⽤为-1。如果两⼈都不带伞，下⾬时每⼈的效⽤为-5，不下⾬时每⼈的效⽤为1。试就下列三种情况

给出博弈的扩展式表述（博弈树）和标准式表述（收益的双变量矩阵）。

(1)两⼈出门前都不知道是否会下⾬，并且两⼈同时决定是否带伞，即每⼀⽅在决

策时都不知道对⽅的决策；

(2)两⼈出门前都不知道是否会下⾬，但参与者1先决策，参与者2在观察到参与

者1是否带伞后再决定⾃⼰是否带伞；

(3) 参与者1出门前知道是否会下⾬，参与和2不知道，但参与者1先决策，参与者2决策。

5.在⼀个由三寡头垄断竞争的市场中，市场需求函数由Q P -=100给出，这⾥

321q q q Q ++=，其中i q 表⽰企业i 的产量（3,2,1=i ）。已知三个企业⽣产的边际成本

为2，并且没有固定成本。

（1）各企业按下述顺序进⾏产量决策：①企业1和企业2先同时选择产量1q 、2q ；②企业3观测到1q 、2q ，再选择产量3q 。

求此博弈的⼦博弈精炼解（各企业均衡产量和利润）。

（2）各企业按下述顺序进⾏产出决策：①企业1选择产量1q ；②企业2和企业3观测到1q ，并同时选择产量2q 、3q 。求此博

弈的⼦博弈精炼解。

7.考虑如下双寡头垄断市场带战略性投资博弈：企业1和企业2⽬前情况下的单位⽣产成本都是2=c 。企业1筹划引进⼀项新技

术可以使单位⽣产成本降低到1=c ，但引进该项⽬技术需要的投资为f 。第⼀阶段，企业1选择是否投资；第⼆阶段，企业2可

以观察到企业1的决策，这时两企业同时选择产量（库诺特博弈）。假定市场逆需求函数为

)(1421q q p +-=，这⾥21,q q 分别是企业1、2选择的产量，p 是市场价格。问投资f 处

于什么⽔平，企业1将会投资引进新技术？

13.现将3.6.2⼩节讨论的⽆限次重复库诺特模型博弈稍加改变：将两个企业扩充为n 个企业，其他条件不变。

（1）如果在某⼀阶段博弈中，除了企业i 之外，其余1-n 个企业都⽣产垄断产量

2/)(c a q m -=的 平均产量n c a n q m 2/)(/-=，企业i 为了追求最⼤利润，它的最优产

量i q 是多少？相应的最⼤利润是多少？

（2）在⽆限次重复博弈中，n 个企业采取触发战略：⾸先⽣产量n c a n q m 2/)(/-=，此后继续选择⽣产n q m /，直到有⼀个企

业选择偏离n q m /，然后永远选择阶段博弈的均衡产量（参见第2章思考题第8题）。问贴现因⼦δ满⾜什么条件，能使触发战

略组合构成⼀个⼦博弈精炼纳什均衡？

（3）当n 充分⼤时，试就δ的变化趋势，分析各个企业采取触发战略产⽣的默契合作难易程度。

第三章

1.考虑如下静态贝叶斯博弈：①⾃然决定收益情况，由下图)(a 或)(b 给出，选择)(a 或)(b 的概率分别为p 或p 1；

②参与者1知道⾃然选择了)(a 还是)(b ，但参与者2不知道；③参与者1和参与者2同时⾏动（参与者1选择T 或B ，同时参与者2

选择L 或R ）。

（1）给出此博弈的扩展式表述（博弈树）； （2）求此博弈纯战略贝叶斯纳什均衡。

参与者1

参与者2

L

R

B

T

（a ）

参与者1

参与者2

L

R B

T （b ）

第四章

1.对下列两个扩展式博弈，分别写出其标准式表述形式，并且找出所有的纯战略纳什均衡、⼦博弈精炼纳什均衡以及贝叶斯均

衡。

(a)

3.考察下图所⽰博弈。

（1）验证（D ，L ，R ′）是惟⼀的⼦博弈精炼纳什均衡；

（2）运⽤精炼贝叶斯均衡定义体现的要求1～4，检验均衡战略（D ，L ，R ′）和均衡推断1~

=p 共同构成博弈的精炼贝叶斯均衡；

（3）验证（A ，L ，L ′）和0=p 是博弈的⼀个纳什均衡；

（4）验证（A ，L ，L ′）和0=p 满⾜精炼贝叶斯均衡定义体现的要求1～３，但不满⾜要求4，因此，（A ，L ，L ′）和0=p

不能构成精炼贝叶斯均衡。

9. 思考下图所⽰博弈（因为该类型的博弈是泽尔腾最先研究的，且博弈树形状像⼀匹马，因此，此）博弈戏称为“泽尔腾的

马”）。

（1）检验（A,D,L）和（B,D,R）是此博弈的纳什均衡；

（2）求此博弈的⼦博弈精炼纳什均衡；

（3）求此博弈的精炼贝叶斯均衡；

（4）求此博弈的序贯均衡。

11. 现将本章5.5.1讨论不完全信息囚徒困境有限次重复博弈中的合作⾏为时，明智类型囚徒1和明智类型囚徒2博弈的收益矩阵

（如图5-42所⽰）修改为下图。

囚徒2

囚徒1

沉默沉默

坦⽩

坦⽩

这⾥，a>-1,b<-6.

（1）导出在⼆阶段重复博弈中，第⼀阶段选择沉默的充分条件；

（2）导出在三阶段重复博弈中，图5-27是⼀个精炼贝叶斯均衡的均衡路径的充分条件。