二次三项式分解因式!!(有答案详解!!)

十字相乘法分解二次三项式因式

总结知识归纳

对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式

x(ab)xabxaxb

2



进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把

常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

对于二次三项（a、b、c都是整数，且）来说，如果存在四个整数

axbxc

2

a0

a，c，a，c

1122

满足，并且，那么二次三项式即

aaa，ccc

1212

acacb

1221

axbxc

2

aaxacacxcc

12122112

2



可以分解为。这里要确定四个常数，



axcaxc

1122

a，c，a，c

1122

分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

1. 在方程、不等式中的应用

例1. 已知：，求x的取值范围。

x11x240

2

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。

解：

x11x240

2

x3x80





x30x30





或

x80x80



x8x3

或

例2. 如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个

xxmx2mx2

432

多项式分解因式。

分析：应当把分成，而对于常数项-2，可能分解成，或者分解成，由此

xxx

422



1221

分为两种情况进行讨论。

解：（1）设原式分解为，其中a、b为整数，去括号，得：



xax1xbx2

22

432

xabxx2abx2



将它与原式的各项系数进行对比，得：

ab1，m1，2ab2m

解得：

a1，b0，m1

此时，原式

x2xx1



22

（2）设原式分解为，其中c、d为整数，去括号，得：



xcx2xdx1

22

432

xcdxxc2dx2



- 1 -

将它与原式的各项系数进行对比，得：

cd1，m1，c2d2m

解得：

c0，d1，m1

此时，原式

x2xx1



22

2. 在几何学中的应用

例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足

xyx2xyy20

，求长方形的面积。

22

分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。

解：

xyx2xyy20

22

x2xyyxy20



22

2



(xy)xy20



xy2xy10



或

xy20

xy10

又

xy8







xy20xy10



xy8xy8

或

解得：或





x5x3.5



y3y4.5

63

4

∴长方形的面积为15cm或

2

cm

2

4. 在代数证明题中的应用

例. 证明：若是7的倍数，其中x，y都是整数，则是49的倍数。

4xy

8x10xy3y

分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。

22

证明一：

8x10xy3y2x3y4xy



22

22x3y4x6y4xy7y



∵是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数）

4xy

∴是7的倍数

22x3y



而2与7互质，因此，是7的倍数，所以是49的倍数。

2x3y

8x10xy3y

证明二：∵是7的倍数，设（m是整数）

4xy

4xy7m

则

y4x7m

22

又∵

8x10xy3y2x3y4xy



22

2x12x21m4x4x7m7m14x21m49m2x3m



- 2 -

∵x，m是整数，∴也是整数

m2x3m



所以，是49的倍数。

8x10xy3y

22

中考点拨

例1. （2000·湖北）

把分解因式的结果是________________。

4xy5xy9y

42222

解：

4xy5xy9y

42222

y4x5x9

242

y4x9x1

yx12x32x3

222

22









说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。

例2. （2000·甘肃）

因式分解：_______________

6x7x5

2

2

解：

6x7x52x13x5



说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。

题型展示

例1. 若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ）

xymx5y6

22

A. 1 B. -1 C. D. 2

1

22

解：

xymx5y6xyxymx5y6



-6可分解成或，因此，存在两种情况：



2332

（1）x+y -2 （2）x+y -3

x-y 3 x-y 2

由（1）可得：，由（1）可得：

m1m1

故选择C。

说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系

数法确定其系数，这是一种常用的方法。

例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足。



ac4bacb

求证：

abbc

证明：

ac4bacb



- 3 -

2

2

ac4bacb0



a2acc4bc4ac4ab4b0

222

2

ac4bac4b0



ac2b0



ac2b0

abbc

2

2

2

说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。

例3. 若有一因式。求a，并将原式因式分解。

x5x7xa

32

x1

解：有一因式

x5x7xa

32

x1

∴当，即时，

x10

x1

x5x7xa0

32

a3

x5x7x3

xx4x4x3x3

322

2

32

xx14xx13x1



2

x1x4x3





x1x1x3



x1x3



2

说明：由条件知，时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是，分解时

x1x1

尽量出现，从而分解彻底。

x1

实战模拟

1. 分解因式：

（1） （2）

ab16ab39

22

15x7xy4y

（3）



x3x22x3x72

22

2

2nnn12n2

2. 在多项式，哪些是多项式

x1，x2，x3，x2x3，x2x1，x2x3

- 4 -

222



x2x10x2x9

的因式？

22

42

3. 已知多项式有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。

2xx13xk

32

4. 分解因式：；

3x5xy2yx9y4

22

5. 已知：，求的值。

xy0.5，x3y1.2

3x12xy9y

22

- 5 -

试题答案

1.

（1）解：原式

ab16ab39ab3ab13



（2）解：原式

3xy5x4y



nn1nn1

（3）解：原式

x3x4x3x18x4x1x6x3





22

2

2.

解：

xxxx



21029

22

42

x2x9x2x1





2222

22

22

22

2

x2x3x2x3x2x1x2x1



x2x3x3x1x1x2x1





∴其中是多项式

x1，x3，x2x3，x2x1

22



x2x10x2x9

的因式。

22

42

说明：先正确分解，再判断。

3.

解：设

2xx13xk2x1xaxb





322

3232

则

2xx13xk2x2a1xa2bxb





2a11



a2b13





bk





a1



解得：



b6



k6



且

k6

2xx13x62x1xx62x1x3x2





322

说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，

则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。

4.

解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。

设

3x5xy2yx9y4

3xymx2yn



3x5xy2ym3nx2mnymn



22

22

- 6 -



m3n1



比较同类项系数，得：



2mn9



mn4





m4

解得：



n1



3x5xy2yx9y43xy4x2y1

22



5.

解：

3x12xy9y

22

22

3x4xy3y



3xyx3y



xyxy

0.5，31.2

30.51.21.8

原式

说明：用因式分解可简化计算。

- 7 -