高一上册数学函数应用知识点

高一上册数学函数应用知识点

高一上册数学函数应用知识点

在年少学习的日子里，大家对知识点应该都不陌生吧？知识点是

知识中的最小单位，最具体的内容，有时候也叫“考点”。那么，都

有哪些知识点呢？以下是店铺整理的高一上册数学函数应用知识点，

欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

一次函数

一、定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx（k为常数，k≠0）

二、一次函数的性质：

1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b（k为任意不为零的实数b取任何实数）

2、当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1、作法与图形：通过如下3个步骤

（1）列表；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一

次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x

轴和y轴的交点）

2、性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等

式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x

轴总是交于（—b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3、k，b与函数图像所在象限：

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b>0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线通过原点

当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函

数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限；当k<0时，直线只通

过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函

数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式

y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和

y2=kx2+b……②

（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：

1、当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2、当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函

数。设水池中原有水量S。g=S—ft。

六、常用公式：

1、求函数图像的k值：（y1—y2）/（x1—x2）

2、求与x轴平行线段的中点：|x1—x2|/2

3、求与y轴平行线段的中点：|y1—y2|/2

4、求任意线段的长：√（x1—x2）^2+（y1—y2）^2（注：根

号下（x1—x2）与（y1—y2）的平方和）

二次函数

一、定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax^2+bx+c

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开

口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越

大开口就越小，IaI越小开口就越大。）

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

二、二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a（x—h）^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a（x—x？）（x—x？）[仅限于与x轴有交点A（x？，

0）和B（x？，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

h=—b/2ak=（4ac—b^2）/4ax？，x？=（—b±√b^2—4ac）

/2a

三、二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

四、抛物线的性质

1、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x=—b/2a。

对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2、抛物线有一个顶点P，坐标为P（—b/2a，（4ac—b^2）/4a）

当—b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2—4ac=0时，P在x轴

上。

3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。

5、常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6、抛物线与x轴交点个数

Δ=b^2—4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b^2—4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b^2—4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数

（x=—b±√b^2—4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

五、二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax^2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1、二次函数y=ax^2，y=a（x—h）^2，y=a（x—h）^2+k，

y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它

们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式顶点坐标对称轴

y=ax^2（0，0）x=0

y=a（x—h）^2（h，0）x=h

y=a（x—h）^2+k（h，k）x=h

y=ax^2+bx+c（—b/2a，[4ac—b^2]/4a）x=—b/2a

当h>0时，y=a（x—h）^2的.图象可由抛物线y=ax^2向右平

行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。

当h>0，k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再

向上移动k个单位，就可以得到y=a（x—h）^2+k的图象；

当h>0，k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再

向下移动|k|个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；

当h<0，k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动

k个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；

当h<0，k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动

|k|个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；

因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，

将一般式化为y=a（x—h）^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称

轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。

2、抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象：当a>0时，开口向上，

当a<0时开口向下，对称轴是直线x=—b/2a，顶点坐标是（—b/2a，

[4ac—b^2]/4a）。

3、抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），若a>0，当x≤—b/2a时，

y随x的增大而减小；当x≥—b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，

当x≤—b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥—b/2a时，y随x的增

大而减小。

4、抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；

（2）当△=b^2—4ac>0，图象与x轴交于两点A（x？，0）和B

（x？，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=

（a≠0）的两根。这两点间的距离AB=|x？—x？|

当△=0。图象与x轴只有一个交点；

当△<0。图象与x轴没有交点。当a>0时，图象落在x轴的上方，

x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任

何实数时，都有y<0。

5、抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0（a<0），则当

x=—b/2a时，y最小（大）值=（4ac—b^2）/4a。

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最

值的取值。

6、用待定系数法求二次函数的解析式

（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对

对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c（a≠0）。

（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式

为顶点式：y=a（x—h）^2+k（a≠0）。

（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析

式为两根式：y=a（x—x？）（x—x？）（a≠0）。

7、二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的

综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考

题，往往以大题形式出现。

反比例函数

形如y=k/x（k为常数且k≠0）的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质：

反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数，有f（—x）=—f（x），图像关于原

点对称。

另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上

任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩

形面积是定值，为∣k∣。

如图，上面给出了k分别为正和负（2和—2）时的函数图像。

当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

知识点：

1、过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂

线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。

2、对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数（即y=k/

（x±m）m为常数），就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。

（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）

【高一上册数学函数应用知识点】