2023届湖南省浏阳一中九校联盟高三下学期第二次联考数学试题(word版)

2023

届湖南省浏阳一中九校联盟高三下学期第二次联考

数学

注意事项：

1..

答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上

2..

回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无

..

效

.

3..

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一､选择题：本题共小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符

8540.

合题目要求的

.

∣x11},Bx∣xaA{x

，且，则实数的取值范围为（）已知集合

AB



a

1.

A. B. C. D.



,1,00,1,







2.

在复数范围内解得方程的两根为，则（）

x4x50

2

x,x

12

xx

12

A.4 B.1 C.2 D.3

3.

已知函数，则下列论述正确的是（）

fxlogcosx



2

A.

x,x0,2fxfx0

1212





且，使

xx

12

B.

x,x,

12















，当时，有恒成立

xx

12

fxfx



12

2







k



,kZ∣xxxR



C.

2

使有意义的必要不充分条件为

fx



D.

使成立的充要条件为

fx







1

∣xxxR



44

2



4.34

如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为和，球的表面积为，则该圆台的体

100



积为（）

A. B. C. D.

175238





259



75



33

3

5.

两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥的方法研究圆锥曲线，他用平行于圆锥的轴的平面截取

圆锥得到的曲线叫做超曲线，即双曲线的一支，已知圆锥的轴截面为等边三角形，平面，平面

“”PQ



∥PQ



截圆锥侧面所得曲线记为，则曲线所在双曲线的离心率为（）

CC

A. B. C. D.2

2313

3

33

6.

下列关于统计概率知识的判断，正确的是（）

A.2

将总体划分为层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，且已知

x,x

12

s,s

12

22

xx

12

，则总体方差

sss

222

1

12

2



B.1

在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于

r

C.

已知随机变量服从正态分布，若，则

X

N,





PX1PX51



2



2

D.

按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据

27,30,37,m,40,5024,n,33,44,48,52

的第百分位数､第百分位数都分别对应相等，则

3050

mn67

7.

如图，是平行四边形所在平面内的一点，且满足

OABCD

1



AOBBOC,23|OA|2|OB|3|OC|6

，则（）

OD

26

A.2 B. C. D.1

3

2

8.

已知，且，对任意均有，则（）

a,bR

ab0x0



xabxblnxa0

A. B.

a0,b0a0,b0

C. D.

a0,b0a0,b0

二､多选题：本题共小题，每小题分，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

4520.

求全部选对的得分，部分选对的得分，有选错的得分

.520.

9.

已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确

R

fxfx2fx0yf2x



的是（）

A.2 B.

函数的周期为函数的图象关于对称

fxfx1,0



C. D.

函数为偶函数函数的图象关于对称

fxfx



x3

10.

已知为圆上的两点，为直线上一动点，则（）

A,B

O:xy1

22

P

l:xy20

A.

直线与圆相离

l

O

B.2

当为两定点时，满足的点最多有个

A,B



APB



2

P

C.

当时，的最大值是

AB3

PAPB

221

D.

当为圆的两条切线时，直线过定点

PA,PB

O

AB





11

,

22



11.

已知函数的部分图象如图所示，则（）

fxsinx(0,02)





A.





4



3



5



,



上单调递增在区间

B.

62



fx



C.

将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，

ycosx

可得函数的图象

fx



D.7

函数的零点个数为

y4fx2x



1



212



3

12.3

如图，正方体的棱长为，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱

ABCDABCDCC



MADDAP



上，且，则下列结论正确的有（）

PC1



A.

沿正方体的表面从点到点的最短路程为

AP

210

B.

保持与垂直时，点的运动轨迹长度为

PMBDM



22

C.

若保持，则点的运动轨迹长度为

PM13

M

4



3

99



D.

4

三､填空题：本题共小题，每小题分，共分

4520.

当在点时，三棱锥的外接球表面积为

MDBMAP



1



13.38__________.

已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为



x

2

x



14.

对于一个给定的数列，把它的连续两项与的差记为，得到一个新数列，把数



ab

n

aaaab

n1nn1nn



n

列称为原数列的一阶差数列若数列为原数列的一阶差数列，数列为原数列的一



babacb

nnnn



nn

.

阶差数列，则称数列为原数列的二阶差数列已知数列的二阶差数列是等比数列，且



caa

n



nn

.

n

a2,a3,a6,a13

1234

，则数列的通项公式



a

n

a

n

__________.

15.

已知直线，抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点关于

l:y1

C:x4y

2

FFB

C

A,B

y

轴对称的点为若过点的圆与直线相切，且与直线交于点，则当时，直线的斜

PPBAB

.

A,BQ

l

QB3PQ

率为

__________.

16.__________.

已知不等式恒成立，则实数的最大值为

ealn(a0)

x

ax1



e

a

四､解答题：本题共小题，共分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤

670..

17.10

（本小题满分分）





bc

2sinC

a,b,cA,B,C

.

已知分别为三角形三个内角的对边，且有

ABC



6a



（）求角；

1

A

（）若为边上一点，且，求

2.

D

BC2CDADBDsinC

18.12

（本小题满分分）

记为数列的前项和，已知

S

n



a

n

n

a1,

1

（）求的通项公式；

1



a

n

（）令，记数列的前项和为，试求除以的余数

23.

b2

n

n



b

n

n

TT

n2n1

a

SS

nn

1

.

aa2

n1n

19.12

（本小题满分分）

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，

PABCDABCD

AB∥CD,ABBC,ABBC3,CD4,PCPD22,PA10

.

（）证明：平面平面；

1

PAB

ABCD

（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值

2.

PACPCD

20.12

（本小题满分分）直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主

播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收某贫困地区有统计数据显示，年该

.2022

地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图

1

如图所示，若将销售主播按照年龄分为年轻人（岁岁）和非年轻人（岁及以下或者岁及以

2“”20~39“”1940

上）两类，将一周内使用的次数为次或次以上的称为经常使用直播销售用户，使用次数为次或不足

66“”55

次的称为不常使用直播销售用户，且经常使用直播销售用户中有是年轻人

“”“”“”.

5

6

（）现对该地相关居民进行经常使用网络直播销售与年龄关系的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容

1“”

22002×

列联表，根据的独立性检验，能否认为经常使量为的样本，请你根据图表中的数据，完成



0.10

用网络直播销售与年龄有关？

使用直播销售情况与年龄列联表

经常使用直播售用户

不常使用直播销售用户

合计

年轻人非年轻人合计

（）某投资公司在年年初准备将万元投资到销售该地区农产品的项目上，现有两种销售方案供

220231000“”

选择：

方案一：线下销售､根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔

30%15%

不赚，且这三种情况发生的概率分别为

711

,,

10510

方案二：线上直播销售根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不

.50%30%

赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为

113

,,.

2510

针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由

.

参考数据：独立性检验临界值表



x

a

0.150.100.0500.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

2

n(adbc)

2

其中,nabcd.





abcdacbd

21.12

（本小题满分分）

xy

22

2

在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与点

xOy

W:1(ab0)

22

W

P0,2



ab

2

的距离的最大值为

4.

（）求椭圆的标准方程；

1

W

（）点在直线上，点关于轴的对称点为，直线分别交椭圆于两点（不同于

2

BBP

x4W

x

B

1

PB,PB

1

C,D

点）求证：直线过定点

..

CD

22.12

（本小题满分分）

已知

fxxxalnxa,aR



1

2

.

2

（）判断函数的单调性；

1

fx



（）若是函数的两个极值点，且，求证：

2

x,xxx

1212

gxfxaaxa1









1

2

0fxfx



12

1

.

2

湖南省届高三九校联盟第二次联考

2023

数学参考答案

一､选择题：本题共小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

8540.

合题目要求的

.

题号

答案

1 2 3 4 5 6 7 8

B C B D A C D B

二､多选题：本题共小题，每小题分，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

4520.

求，全部选对的得分，部分选对的得分，有选错的得分

520.

题号

答案

9 10 11 12

BC AD ABD BCD

三､填空题：本题共小题，每小题分，共分

4520.

13.

84

14.

2n1

n

15.



2

4

16.

e

2

四､解答题：本题共小题，共分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤

670..

17.1.

【解析】（）由，有，

2sinC









bc

sinBsinC

3sinCcosC

6a

sinA

即，

3sinAsinCsinAcosCsinBsinCsinACsinC



所以，即，

3sinAsinCsinCcosAsinC3sinAcosA1

又，故

A0,





A



3

.



2







BAD,0,

ADC2,DAC,ACD



，（）解法一：设，则

2



33



3

ADDC



在三角形中，由正弦定理知，，

ADC



2



sinsin







33





2

2sinsin





，即



33

化简得，，，则

tan



即

sinC1

.



2

3

,ACD



632

3

解法二：取中点，延长与的延长线交于点，连接，

ABMMD

ACNNB

1211

NBNCNMNBNAND

，由，由有

3322

12232





NBNANCNBNCNBNA

，设，则，即

NDNM



3322623

2

故，所以，即为中点





NA2NC

CAN

.

3

2CDBD

又为中点，所以，

ADBD,M

AB

NMAB

又，所以为正三角形，

A



3

ABN

.

又平分，所以

BCANsinC1

.

18.1

【解析】（）由有，即，

SSSSSSa

nnn1n1n

111



n1n



aa2aa2

n1nn1n

aa2

n1n

又，故，

a1

1

S

1

1

a

1

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，





S

n

1

1

2



a

n

S

n

n1

n1



aS

nn

，所以，即

a2

n

2

n2n2n1nn1

aaaaaaS

n1n1n1nn1nn1

，两式相减得，即，故

22222

aa

a

所以，

n1n

1

1

n1n1

因此的通项公式为



a

n

an

n

.

n2nn

（）由（）及，有，所以，

21

b2

n

n

b2T2242

n2n1

nn0n1n111n

又，

4(31)C3C3C31

nnn

a

因为均为正整数，所以存在正整数使得，

C,C,,C

nnn

01n1

k

43k1

n

2nn

故，

T22423k1

2n1

所以除以的余数为

T

2n1

32..

19.1

【解析】（）取中点靠近点的三等分点，

CDO

M,AB

A

因为底面为直角梯形，且，

ABCD

AB∥CD,ABBC

易知，

ABOM

因为，

PCPD22

所以，所以，

PMCD

ABPM

因为平面，

OMPMM,OM､PM

POM

所以平面

AB

POM

.

又平面，所以，

POPOMABPO

由，

PD22,PA10,MD2,OA1

得，

PO3,PM32

又，所以为等腰直角三角形，

OMBC3POM

所以，

POOM

又平面，

POAB,OMABO,OM､AB

ABCD

所以平面，

POABCD

又平面，所以平面平面

POABCD

PABPAB

.

（）由（）可知，三条直线两两互相垂直且交于点，

21

OB､OM､OP

O

以为坐标原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系，

O

OB､OM､OP

x､y､z

则，

A1,0,0,C2,3,0,P0,0,3,D2,3,0



故，

AC3,3,0,PC2,3,3,DC4,0,0



设平面的法向量为，

PAC

mx,y,z







mAC0,



3x3y0,

由有可取，





m3,3,1



2x3y3z0,





mPC0,



设平面的法向量为，

PCD

nx,y,z









nDC0,



4x0,



由有可取，





n0,1,1



.



2x3y3z0,





nPC0,



设平面与平面所成锐二面角为，

PACPCD



则，

cos



mn

mn

4238

19

192

238

.

19

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为

PACPCD

20.11“””“

【解析】（）由图知，年轻人占比为，即有人），非年轻

45.5%34.5%80%

20080%160(

人有人

”200

16040(

)

由图知，经常使用直播销售用户占比为，即有（人），

2“”

30.1%19.2%10.7%60%20060%120

不常使用直播销售用户有（人）

”.

20012080

“”

经常使用直播销售用户中的年轻人有

120100

5

（人），经常使用直播销售用户中的非年轻人有

“”120-

6

10020(

人

)



补全的列联表如下：

经常使用直播销售用户

不常使用直播销隹用户

合计

年轻人非年轻人合计

100 20 120

60 20 80

160 40 200

零假设：经常使用网络直播销售与年龄相互独立，即经常使用网络直播销售与年龄无关

H

0

.

于是

a100,b20,c60,d20

.

200(100206020)25

2

2.0832.706



120801604012

2

根据小概率的独立性检验，我们推断成立，



0.10

H

0

即认为经常使用网络直播销售与年龄无关

.

（）若按方案一，设获利万元，则可取的值为的分布列为：

2

XX

11

300,150,0,X

1

X

1

300 0

150

p

711

10510

711

1500180(EX300



万元

)

10510

711711

DX(300180)(150180)(0180)12033018035100



1

222222

1051010510

711

2222

(150)018035100DX300

）；（或



1

10510

1

若按方案二，设获利万元，则可取的值为的分布列为：

XX

22

500,300,0,X

2

X

2

500 0

300

p

113

2510

113

EX5003000190(



2

万元，

)

2510

113113

DX(500190)(300190)(0190)310490190



2

222222

106900

25102510

113

2222

190106900DX500(300)0

）（或

.



2

2510

EXEX,DXDX



1212

，

①方案一与方案二的利润均值差异不大，但方案二的方差要比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一线

下销售更稳妥，故选方案一

.

②方案一的利润均值低于方案二，选择方案二

.

21.1

【解析】（）设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为得，

c

W

2

a2b2c

2

mn

22

设点为椭圆上一点，则，

Tm,n



22

1,bnb

2bb

因为，所以，

P0,2



TPm(n2)2b2nn4n4(n2)82b

当时，；，解得（舍去）

0b2b2

|TP|(b2)82b4

max

2222222

22

当时，，解得，所以，

b2

|TP|82b4

max

2

b2

a22

.

xy

22

故椭圆的标准方程为

W

1

.

84

（）当斜率不存在时，设且，则

2①.

CD

Cx,y,22x22



000

x0

0

Dx,y



00



直线为，令得，

CPx4

yx2

y2

0



4y8

B4,2



0

x

0

x

0





4y8

0

2B4,



.

同理可得

1

x

0



B

与关于轴对称，

B

1

x

220

4y84y8

00

.

xx

00

解得，矛盾；

x4

0

②

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

CDCD

ykxm

设，其中且，则

Cx,y,Dx,y



1122

x0x0

12

m2

.



ykxm,



222

联立方程组消去，化简可得，



xy

22

y



2k1x4kmx2m80

1,



48



Δ16km42k12m888k4m0

222222

，则

m8k4

22

，



4km2m8

2

所以，

xx,xx

1212

22

12k12k

又，所以，

P0,2



k,k

PCPD

y2y2

12

xx

12

y2y2

12

x2yx2y

，直线的方程为，所以直线的方程为

PD

xx

12

PC

令得，

x4

y2,y2

BB

4y84y8

12

1

xx

12

4y84y8

12

4

，因为和关于轴对称，所以，即

xx

12

B

1

B

x

yy0

BB

1

又代入上式，整理可得，

ykxm,ykxm

1122



48kxx4m8xx0

1212

即，化简可得或（舍去），

8m4km8k4

2

2k1

2



0

m4k2m2

所以，直线的方程为，即，

CD

ykx4k2

y2kx4



所以，直线过定点

CD



4,2

.

22.1

【解析】（）易知函数的定义域为，

fxa,





又，

fxx1





xx1a



a

xaxa

1

2

xx,fxfx



在上单调递减，在上单调递增；当时，



0,11,



2

a0

当时，在上单调递减，在上单调递增；

a0

fxa,a1a1,





当时，在上单调递减，在和上单调递增；

1a0

fx0,a1a,0a1,





当时，在上单调递增；

a1

fx1,





当时，在上单调递减，在和上单调递增

a1

fxa1,0a,a10,







.

（）由，

2

gxfxaaxa1xxalnx,x0









11

2

22

axxa

2

有，由题意可知是方程的两根，

gxx1





x,x

12

xxa0

2

xx

11

a0,0xx1

12

，因此，且

42

11

22

所以

fxfxxxalnxaxxalnxa



12111222

22

xx1,xxa

1212

xxxxalnxxxxxxaln

xaxa

11

22

1212121212



11

2xa2xa

22



xxaln

xa

1



12

1

.

2xa

2

（）先证：

i.

fxfx0



12

证法一：

要证明，只需证明，

fxfx0



12

xxaln0

xa

1



12

1

2xa

2

a1

a1

xaxx

122

lnlnlnln1ln1

又，

a1

xaxx

221

a1

xx

11

故只需证明，

ln1ln111





11







111111111

xx