数列求和7种方法.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法

1、

等差数列求和公式:

S

n

n(aa) “ n(n -1)

1 n

nad

1

2

2

、

等比数列求和公式:

S

n

= y(1 -q)

n

a—■ a

1

1 -q

n

q

(q = 1)

1 -q

」4、 & 八 二

n(n 1) k n(n 1)(2n 1)

21

3、

2

6

n

3

1

2

灯

5、

Sk

n

八

n1)

k 4

+

］

［例1］已知

logx

3

-^―，求■…的前

x x x^

2

n项和.

log3

2

解：由

logx

-1

3

=logx = -log

s 3 2 =

log 3

2

由等比数列求和公式得

S = x xx

n

23

1 1

x(1 x)

n

2

(1

-班)_ 丄

1

J

_歹

-

1 -x

2

［例 2］设 S= 1+2+3+ …+n , n€ N求

n

，

f(n)

S

n

的最大值.

(n 32)S

n 1

解:

由等差数列求和公式得

S

= -(n 1)( n 2)

1

n

2

f(n)

,n 32)S

S

n

n 1

n 34n 64

2

1 1 .. 1

----------- = ------------------ 冬 ---

n 34 (n -- ) 50

648250

、

n In

— 8

、——，即 n= 8 时，

n f (n)

1

max

(

8

题1.等比数列

丄；■■的前项和S = 2- 贝

nn 1,y ■ - V '

n

+…+a

利用常用公式) (

利用常用公式) (

g -1)«* -1) _ - 3w" +

(2n

解：原式= . L

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前 n项和公式时所用的方法， 这种方法主要用于求数列｛a• b｝的前n

nn

项和，其中｛ a｝、｛ b｝分别是等差数列和等比数列.

n n

｝的通项之积

设 宀

xS =1x 3x5x7x(2n

n

234

：

-1)x

①—②得

(^x)S =1 2x 2x2x2x2x -(2n - 1)x

n

234n

n

（设制错

nJ

n

（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

［例 3］求和：①

& =1 3x 5x7x（2n -1）x .........................

23

S

（

1 -x）

h 2x (2n - 1)x

1 _ x

1 - x

」

n

nJ

解：由题可知，｛｝的通项是等差数列｛2n — 1｝的通项与等比数列｛

（2 n- 1）x

nd

x

n_1

S

n

口

c (2n -1)x—(2n 1)x(1 x)

nn

(1 - x)

2

2 4 6

［例4］求数列一

，，亍厂

2

2 2 2

23

解：由题可知,

Q

n

｛乍｝

S

的通

设

…自 .................

n

项是

2

n

2

Sn

等差

一亠』•.

2 2 2

234

数列

二 ..............

｛2n｝

2

门

1

的通

1 2 2

2 2

亠

①一②得一

（）

1 S

项与

n =

2

3

2 2n

等比

2 2 2

2

2

2

4

2

n

数列

2n

2

｛

=

2

吵

2

“

1

_ n Jl-1

2 2

23

练习题1 已知 ，求数列｛ ｝

a

n

的前项和.

nS

n

S…2

二於心二

答案：■

r

加九

2

2"+1

2 ｝

2

的通项之积

2

n 1

（设制错位）

（错位相减）

1 3 5 2^-1

练习题2 J J "- -' 的前n项和为

■ ■ ' ' ■■'・' ■ ■ ■

S* = 3

答案：

一攀

I

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序) ，再把它与原

数列相加，就可以得到 n个.

(a a)

1n

［例 5］求证：二

C3C5C(2n 1)C(n 1)2

0

：；

：

n

证明：设 ①

S =C3C5C(2n 1)C ......................................

n

0 ■ 2 - ■ ■ •

；

・：

把①式右边倒转过来得

S=(2 n 1)C(2 n-1)C3CC

n

：：；

：

「

又由C=C；^可得

；

S-(2n 1)C(2n-1)C3C

n

0

C

：

：」- ........... ..……②

；

①+②得 十…」

2S=(2n+2)(C+C+C+c) =2(n+1) 2

；；；；

0

：

n

S=(n 1) 2

；

n

［例 6］求 的值

sin 1 sin 2 sin sin 88 sin 89

2Q 2Q 20 2。 2。

解：设 ①

S =sin 1 +sin 2 +sin 3 + ■■ +sin 88 +sin 89 ................

将①式右边反序得

S = sin 89 sin 8^ s i n 3 s i n 2 s i n 1 ....................

2 0 2。 2 0 2 0 2 0

.②

2 2

又因为

sinx=cos(90 —x),sin x cos x= 1

①+②得

2S (sin 1 cos 1 ) (sin 2 cos 2 )- - (sin 89 cos 89 )

n O n O n -Q n -Q n O n O

二= 89

S= 44.5

题1 已知函数

(反序)

反序相加) (

(反序)

反序相加) (

(1)证明：「―」I

2? io丿的

—+/ 77

+「+/

110

值.

(2)

丿

解：（i）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边 =右边

（2）利用第（1 ）小题已经证明的结论可知,

【

(5

+/ + / +/

二…二/ —

而 而 ，、

UoJ

/ Q X

则

2 +/

11U

丿

两式相加得:

£二？

所以 …

1(?

17+*

练习、求值:

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或

常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可

1 1 1

［例7］求数列的前n项和：,…

1 1, 4,-y • 7,…u • 3n - 2

；

a a a

1 1 1

解：设 爲…

S= (1 1) ( 4) ( 7)3n - 2)

n2

a a a

将其每一项拆开再重新组合得

S= (1 -

1

n

a

1 1

三 …嚣

—^j) (14 7 -3n _ 2)

当a= 1时,

S

n

a

±

(3n —1)n (3n +1)n

二 =

n

2 2

1

-丄 —

(

a

n

a_a + (3n_1)n

+3n T)n

1

_1 2

—

a-1 2

a

［例8］求数列｛n(n+1)(2n+1)｝的前n项和.

解：设 二 二

a k(k 1)(2k 1)2k 3k k

k

（分组）

（分组求和）

an(n 1) C

n

(2n)2 2n —1 2n 1

2

)

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用

.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）

重新组

.通项分解（裂项）如:

(1)

a

sin1

n

=f (n 1)

-f(n)

(2)

cosn cos(n 1)

-=tan(n 1) -tann

(3)

a

n

(4)

—

n

_(21)(2n 1)

(5)

1

a

n

_[

n(n

2n(n 1) (n 1)(n 2)

-1)(n

2(n 1) -n

则

2 2 (n 1)2

nnn

n(n 1) n(n 1)

n -2 (n 1)2

n4n

，

&=1 -

(7)

(An B)(A n C) C -B A n B An

(

(8)

a

n

[例9]

求数列

1 _____ 1

，-—，…的前

1 2 2 3

n项和.

n n 1

••• Sk(k 1)(2k 1)(2k 3k k)

3 2

n

八 八

k 4 k 4

（分

（分组求

分解，然后

将其每一项拆开再重新组合得

n n n

S= 、 、

n

2 k 3kk

k 4 k k 4

32

A

=亠亠 亠亠 亠亠

2(12n) 3(12n) (1 2 n)

333222

n (n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1)

2 2

解：设

a

n

2 2 2 n(n 1)( n 2)

2

2

五、裂项法求和

（裂

1 1 1

贝 ------- 十…

V S

n = ------------- +―=+ ---------------- _

，

（裂项求

1 + J2 V3 Jn +1

=、、〈

(.2 - .1) ( .3 -2) n 1 - n)

=.、

n 1 -1

丘七

亦 +

[例 10]

在数列｛a｝中,

n

a

n

1 2

——+ ---- +

n 1

解:

n

+—

，又

b

n

n

，求数列｛b｝的前n项的和.

n

aa

n n 1

a

n

••• b

n

n 1

— )

1 1 -8(--

n n 1

（裂项）

数列｛b ｝的前n项和

n

S

n

1 1 1 1 1 233

皿一（厂

））

1 1

（

1

（

蔦）

=

8(18n

（裂项求和）

+

[例 11]

求证:

cos1

cos88 cos89 sin 1

2

cos0 cos1 cos1 cos 2

解:

设

S -

cos0 cos1 cos1 cos 2

cos88 cos89

（裂项）

sin1

cos n cos(n 1)

tan(n 1) - tann

1 1 1

1

• (裂项求和)

S

一一

cos0 cos1 cos1 cos 2 cos88 cos89

1 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ {(tan 1 -ta nO ) (ta n2 - tan1 ) (tan3 - tan2 ) [tan 89 - ta n88 ]} sin

=

1

11 cos1

= = =

(tan 89 -tanO ) cot1 2~

sin 1 sin 1 sin 1

• 原等式成立

1 1 1

练习题

1.^447

X+-2)1) ________

++

⑶

心+

--- + ----- + ----- + + ---------------

练习题 2。，： r " / :=

六、分段求和法(合并法求和)

答案:

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这 些项放

在一起先求和，然后再求 S.

n

［例 12］ 求 cos1° + cos2° + cos3° + •…+ cos178° + cos179° 的值.

解：设 S= cosl° + cos2° + cos3° + ••• + cos178° + cos179°

n

••• cosn -cos(180 - n )

二(找特殊性质项)

••• S= (cosl ° + cos179 ° ) + ( cos2° + cos178 ° ) + ( cos3° + cos177 °) + • • •

n

+ (cos89° + cos91 °) + cos90° (合并求和)

=0

［例 13］数列{a}: 二 ,求 S.

n2 3 n 2 * 1 * 2002

a = 1,a=3, a= 2,aa- a

解：设

S=

2002 a*i ' a2 a^ ' a2002

由 可得

a1, a3, aa

i 2 3 = , n 2 ~ n d n

- -

2a_ a

a^ = -1, a = -3, a^ = -2,

5

a1, a

7 8 = 3

~

, aa3, a2,1, a

6k 1 - 6k 2 6k 3 4 =6k 5 - 6 ~

1_3,=2

=

2,

- -

9

a

〜

a' O' aa

6k 1 ■ a6k 2 ■ a6k 3 sk .4 6k 5 6k

•- 2002 …-a

0

(找特殊性质项)

(合并求和) S= 丁

a a a

1232002

aa) aa%) aa)

? s@7 ? $ @6k 1 sk 2 sk s

=佝

+ …(a1993 * Q994 +1998+ 1999 2000 2001 2002

，)

'aa+ a* a* a

=

aaaa

aaa

1999 2000 2001 2002

=

6k 1 6k 2 6k 3 6k 4

°

=5

解：设 亠

Snlogsd IogaToga

n 2

3310

由等比数列的性质 (找特殊性质项) 二二

和对数的运算性质 得

m • np • q= aaaa

mnpq

log M log N = log M N

aaa

(logaloga) - logaloga S=(logaloga)

3 2 ? ?s § 3 6n 3 i 3io

「((合并求和)

)

=「「(

(logai a) (logaa) - logaa

s ios 2 ?ss 6

)

=亠

log 9 log9 Tog 9

333

=io

练习、求和:

练习i 设巳- U」+ …-［匚二*则r =

题

练习题 2 .若 = i-2+3-4+ …+(-i) ，则 等于

S-n

n

n

i

S+ S+ s ()

i7 33 50

A.i B.-i C.0 D .2

为奇)

4

为偶)

解：对前n项和要分奇偶分别解决，即： = L 答案：A

练习题 3 …的值是

S2

n

i00-99+98-97++2-i

222222

B.5050 C.i0i00 D.20200 A.5000

解：并项求和，每两项合并，原式 =(i00+99)+(98+97)+ …+(2+i)=5050.答案：B

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列

的前n项和，是一个重要的方法

1 1

解：由于

111 1 999 9 (10-1)

k

一；个厂 一个

9 7T 9

• •• 111111X11

n个 1

（找通项及特征）

111 1

=

—(10 -1) —(10 -1) —(10 -1) (10 -1)

123n

9 9 9 9

初

（分组求

=

(

101010

12

9

_

9 10—1

丄(「

1 1

1

10(10 -1) n

n

1

)

9

n个1

(10 _10_9 n)

n 1

81

OC

［例16］已知数列{a}:

n

a

n

解：「畑〜宀旳

（

n1

8

(n 1)(n 3)

,(n 1)(a-a

求a 的值.

n n 1

)

n a

^-（^^

）［］

（

TqT

（找通项及特征）

丄「丄-丄)

)

8

（分组、裂项求和）（设制分

n 4 n# n 3 n 4

11

) 8( n 4 n 3 n

4

）

（裂

1

• 」、(「

' (n 1)(a- a=4

n n

n n T

壬

n 2

1

4 4

-) 8~

3

_ —

13 3

=

4 (

提高练习：

1.已知数列［中，是其前项和，并且

Qn Sn

n

⑴设数列 二

b a-2a（n =1,2,

nnn

,

⑵设数列

c

n

Sn 1 II),

n 1 n 1

二

4a2(1,2,a

= =

1

,

寺，,,…，求证:

2

2

）

（

数列

c

1

是等

—

8 []

(n 2)(n 4) (n 3)(n 4)

2.设二次方程 x -+1=0(n € N)有两根 和 且满足 6 -2 +6 =3 .

aa x

nn

+i

a B,a a 3 3

(1)试用表示a ;

a

nn 1

⑵求证：数列心「|｝是等比数列；

7 * *

⑶当幻二冷时，求数列｛%｝的通项公式.

3a =8=2a =2a ^a nN a

•数列 冲，印月且满足⑴求数列 ?的通项公式；

4 2

nnnn

・

；

⑵设 =|印 ，求 ； 说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数

SI & | Ja|S

n n n

列”一章的学习。