中山大学珠海校区2010学年度第二学期10级高等数学一期中考试题及参考答案

珠海校区2010学年度第二学期10级高等数学一期中考试题及参考答案

完成以下各题,每题10分.考试时间90分钟.

yy

1. 求满足条件的函数

du(esinx)dx(xecosy)dy

u(x,y).

)eP(x,ysxinQx,y(,xe)ycose,,

解

yyy

PQ

yx

故积分与路径无关,于是

u(x,y)(esinx)dx(xecosy)dy



y0

00

xy

xesinycosxC.

2.计算累次积分:

Idxdy.



0x

2

11

y

xy

1y

y111

00x0

3

dx解:Idxdydy



2

xyxy

1y1y

y

0

33

dydy



11

00

xy1y

22

33

1y1y

22

211d(1y)1

.1y

363

1

1

3

3



3

0

0

1y

3.

若D{(x,y)xy1},计算二重积分I(xy)dxdy.



D

解: 积分区域关于两个坐标轴都对称,且被积函数关于x,y均为偶函数,故如记

D(x,y)(x,y)D,x0,y0

1



I(xy)dxdy4(xy)dxdy



DD

1

4dx(xy)dy4[x(1x)(1x)]dx.



000

11x1

14

2

23

C

2222

xyds,其中C是圆周xy2x.求第一型曲线积分I

4.



解: 用极坐标:

圆周的方程为r2cos,故参数方程为x2cos,y2cossin.



2

ds(dx)(dy)(2sin2)(2cos2)d2d

2222







222

22

Ixyds22cos2d4cosd8.







C

22

22

5.

若C是上半圆周xy9,y0,方向由点(3,0)到点(3,0),求第二型曲线积分

22

Iydxxdy.



C

解:

圆周的极坐标方程为:x3cos,y3sin,0.故



I[(3sin)(3sin)(3cos)(3cos)]d





0



22



0

27(cossin)d



33





4

22



27(1sin)dsin(1cos)dcos27()36.







00



3

6.

已知函数f(x)连续,求证;f(x)dxf(y)dyf(x)dx.

0x0



aaa

2

1







2

证明;显然f(x)dxf(y)dyf(x)dxf(y)dy



axaa

000x

aaa

2



f(x)dxf(y)dyf(x)dx.







000

而变换积分次序后再换积分变量字母,有



aaayax

0x0000

f(x)dxf(y)dyf(y)dyf(x)dxf(x)dxf(y)dy

于是 证毕.



aaa

0x0

f(x)dxf(y)dyf(x)dx.

2

1







2

x

a

xf(x)dF(于是)a.

dy,记F(x)f(y)则



证法2:



0

0

aaaaa



0x000

f(x)dxf(y)dyf(x)[F(a)F(x)]dxF(a)f(x)dxF(x)f(x)dx

F(a)F(x)dF(x)F(a)F(x)F(a)f(x)dx.

222a2



aa

00

111

222

0

2







2222

z2xy与zxy所围立体的体积.

7. 求由曲面

22

解: 立体在xOy坐标面的投影为区域故

D{(x,y)xy1}.

VdVdxdydz2(1xy)dxdy



22

DD

21



2

00

2(xy)

22

xy

22

2d(1r)rdr.







22

8.

求三重积分I(ysinz)dV,其中是由锥面zxy与平面z所围的区域.





解: 由对称性, 故如记区域在xOy面的投影区域为D,则



ydV0.



IsinzdVrdrdsinzdz





D

r



d(1cosr)rdr4.





3

00

2



xdy(y1)dx(y1)

2

2

9.求曲线积分I,其中L方程为x1,逆时针方向.





x(y1)2

22

L

(y1)x

P(y1)xQ

22

P(x,y),Q(x,y),

,

222

解:

2222

x(y1)x(y1)

y[x(y1)]x

由于点(0,1)位于L所围区域(记为D)内,作圆周C: x+y=r,则由格林公式,

++222

I0,

xdy(y1)dx

22

x(y1)

(LC)





2222

2



rcosrsinxdy(y1)dxxdy(y1)dx



Id2.





22222



x(y1)x(y1)r

0

LC

10.计算曲面积分Idxdy,其中S为锥面zxy及平面z1,z2



S



e

z

xy

22

22

所围

立体的表面,取外侧.

解:

PQ0,R，记S所围的区域为,由高斯公式,

ePQRe

zz

e

z

xy

22

IdxdydVdV



S



22z22







2222

xyz



xyxy



e

z

rdrdzedz2(z1)eddz2e.





zz22

01010

r

1